神奇的旋转几何题

1、例1有公共顶点c的abc和cde都是等边三角形.（1）求证：ad=be；（2）如果将cde绕点c沿顺时针方向旋转一个任意角，ad=be还成立吗？推广：四边形abde和acfg都是正方形，连结ec,bg，如果将abde绕点a旋转一个任意角，问ec与bg有何关系.例2.课本例题推广：（1）如图，在四边形abcd中，abad，bad=bcd=90°，且四边形abcd的面积36，求线段bc与cd的和.（2）已知：在五边形abcde中，abae，bcdecd，abcaed180°求证：ad是cde的平分线（3）如图，在梯形abcd中，adbc，且bcad；d90°，bccd

2、12，abe45°若ae10，求ce的长adbfcem例3已知e、f分别在正方形abcd边ab和bc上，ab=1，edf=45°.求bef的周长.例4. 已知：在acb中，acb90°，acbc，d、e在ab边上，且使得dce45°求证：ad、de、eb三条线段确定的数量关系练习：1 在abc中，ab=ac，如图，bac=90°，dae=45°，bd=2，ce=3 .求de的长.拓展：如图，在等腰三角形abc中，ab=ac，（1）p是三角形内的一点，且apb=apc求证：pb=pc（2）d是三角形内一点，若adbadc求证dbcdcb

3、（3）若p为正方形abcd内一点，papbpc=123试证apb=135° 2（正方形中的三角形旋转）已知：如图，e是正方形abcd边bc上任意一点，af平分ead交cd于f，试说明be+df=ae.拓展：已知：在正方形abcd中，e、f分别是bc、cd上的点，（1）如图（1），若有be+df=ef，求：eaf的度数.（2）如图（2），若有eaf =45º.求证：be+df=ef.（3）如图（3），若eaf=45º，ahef求证：ah=ab （4）如图（4），若正方形abcd边长为1，cef的周长为2求eaf的大小（5）如图（5），若ab=，且bae=30

4、6;，daf=15º，求aef的面积（6）如图（6），正方形abcd被两条与边平行的线段ef、gh分割成4个小矩形，p是ef与gh的交点，若矩形pfch的面积恰是矩形agpe面积的2倍试确定haf的大小，写出推导的过程 （1） （2） （3） （4） （5） 练习：（答案）1在abc中，ab=ac，如图，bac=90°，dae=45°，bd=2，ce=3 .求de的长.拓展：如图，在等腰三角形abc中，ab=ac，（1）p是三角形内的一点，且apb=apc求证：pb=pc（2）d是三角形内一点，若adbadc求证dbcdcb 分析: 将abc以a为中心逆时针旋转一

5、角度bac，到ace的位置连de，由adbadc，得 aecadc又 ade=aed，相减，得 decedc cdce即 cdbd，从而dbcdcb拓展（3）若p为正方形abcd内一点，papbpc=123试证apb=135° 分析:利用正方形的特点设法经过旋转使ap、pb、pc相对集中，为简单起见不妨设pa=1， pb=2，pc=3绕b点顺时针旋转90º，使cbp到abe的位置，这时be=2，ae=3，pbe=90ºpe=，bpe=45º.又 ape=90°于是 apb=135°拓展（4）在等边三角形内有一点p连接p与各顶点的三条线

6、段的长为3、4、5.求正三角形的边长.（答案：）分析:将cpb旋转到apb，连接pp，延长bp，过a作adbd.易知app是直角三角形，因为bpp=60º，所以apd=30º，则ad=2，dp=.旋转讲解2例1：（05大连）如图1，操作：把正方形cgef的对角线ce放在正方形abcd的边bc的延长线上（cgbc），取线段ae的中点m（1）探究：线段md、mf的关系，并加以证明（2）在你经历说明（1）的过程后，可以从下列、中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明dm的延长线交ce于点n，且ad=ne；将正方形cgef绕点c逆时针旋转45°（如图2），其他条件不变；

7、在的条件下，且ce=2ad（3）将正方形cgef绕点c旋转任意角度后（如图3），其他条件不变探究：线段md、mf的关系，并加以证明图abcdfmgeabcdfmgeabcfmge图1图图1练：1.（08北京）请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形abcd和菱形befg中，点a、b、e在同一条直线上，p是线段df的中点，连结pg、pc.若abcbef60°，探究pg与pc的位置关系及的值.小聪同学的思路是：延长gp交dc于点h ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决. 请参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段pg与pc的位置关系及的值；（2）将图1中的菱形be

8、fg绕点b顺时针旋转，使菱形befg的对角线bf恰好与菱形abcd的边ab在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2），你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；（3）若图1中abcbef（0°90°），将菱形befg绕点b顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含的式子表示）例2.在平面直角坐标系xoy中，已知直线yx交x轴于点c,交y轴于点a.等腰直角三角板obd的顶点d与点c重合，如图1所示.把三角板绕着点o顺时针旋转，旋转角度为，使b点恰好落在ac上的b处，如图2所示.（1） 求图1中的点b的坐标；（2） 求的值；（

9、3） 若二次函数ymx23x的图象经过（1）中的点b，判断点b是否在这条抛物线上，并说明理由. 图1 图2练：1.如图9，若abc和ade为等边三角形，m，n分别eb，cd的中点，易证：cd=be，amn是等边三角形（1）当把ade绕a点旋转到图10的位置时，cd=be是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（2）当ade绕a点旋转到图11的位置时，amn是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当ab=2ad时，ade与abc及amn的面积之比；若不是，请说明理由图9 图10 图11图82.已知正方形abcd中，e为对角线bd上一点，过e点作efbd交bc于f，连接df，g为df中

10、点，连接eg，cg（1）求证：eg=cg；（2）将图中bef绕b点逆时针旋转45º，如图所示，取df中点g，连接eg，cg问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 （3）将图中bef绕b点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）fbadceg图fbadceg图dfbace图图1（答案）练：1.（08北京）请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形abcd和菱形befg中，点a、b、e在同一条直线上，p是线段df的中点，连结pg、pc.若abcbef60°，探究pg与pc的位置

11、关系及的值.小聪同学的思路是：延长gp交dc于点h ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决. 请参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段pg与pc的位置关系及的值；（2）将图1中的菱形befg绕点b顺时针旋转，使菱形befg的对角线bf恰好与菱形abcd的边ab在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2），你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；（3）若图1中abcbef（0°90°），将菱形befg绕点b顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含的式子表示）【解答】（1）线段pg与pc的位置关系

12、是pgpc； （2）猜想：（1）中的结论没有发生变化证明：如图，延长gp交ad于点h，连结ch、cg p是线段df的中点， fp = dp由题意可知 adfg gfp=hdp gpf=hpd ， gfphdp gp=hp， gf=hd 四边形abcd是菱形， cd =cb，hdcabc60°由abcbef60°，且菱形befg的对角线bf恰好与菱形abcd的边ab在同一条直线上，可得 gbc60° hdc =gbc 四边形befg是菱形， gf=gb hd=gb hdcgbc ch=cg，dchbcg dchhcbbcg+hcb=120°即 hcg120

13、° ch= cg，ph=pg， pgpc，gcphcp=60° （3） 6.（2007海淀二模）在平面直角坐标系xoy中，已知直线yx交x轴于点c,交y轴于点a.等腰直角三角板obd的顶点d与点c重合，如图1所示.把三角板绕着点o顺时针旋转，旋转角度为，使b点恰好落在ac上的b处，如图2所示.（4） 求图1中的点b的坐标；（5） 求的值；（6） 若二次函数ymx23x的图象经过（1）中的点b，判断点b是否在这条抛物线上，并说明理由. 图1 图2解：（1）直线y-x交x轴于点c,交y轴于点a，点a的坐标为（，），点c的坐标为（2，0）. 等腰直角三角板obd的顶点d与点c重合

14、，od=，.过点b作bmoc于m.om=.bm=1，ob=.点b的坐标为（，）；（2）oa=，oc=2，aco=30°.过点o作oeac于e. oe=1.在rtbeo中，ob=，oe=1，boe=45.eod=90.又eoc=60，cod=30.=30；（3）判断：点b在这条抛物线上. 点b在直线ac上，点b的坐标为（a，-a）.a2（-a）2 ob2，a2（-a）2（）2.解方程，得a1，a2（不合题意，舍去）.点b的坐标为（，）. 又二次函数ymx23x过（，），m.二次函数的解析式为y-2x23x. 把x=代入y-2x23x，得y=.点在这条抛物线上.20、（2009年常德市）

15、图9 图10 图11图8如图9，若abc和ade为等边三角形，m，n分别eb，cd的中点，易证：cd=be，amn是等边三角形（1）当把ade绕a点旋转到图10的位置时，cd=be是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（2）当ade绕a点旋转到图11的位置时，amn是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当ab=2ad时，ade与abc及amn的面积之比；若不是，请说明理由提示：（1）抓住不变量易解，fbadceg图fbadceg图 （2）能证得adc 与 aeb是直角三角形，再用勾股定理和相似三角形的性质求解。21、（2009东营）已知正方形abcd中，e为对角线bd上一点，过e点作efbd交bc于f，连接df，g为df中点，连接eg，cg（1）求证：eg=