信号与线性系统教学资料第5讲

1、第3章 连续信号的正交分解 3.4-3.5周期信号的频谱，非周期信号的频谱，傅里叶变换2021-10-31信号与线性系统第5讲2 矢量分解与正交矢量空间 正交函数集的定义,正交函数集的完备性 函数在正交函数集的分解 复变正交函数集的定义 三角、指数函数集构成正交函数集 三角傅立叶级数， 信号表示为三角傅立叶级数的分量表示 信号可表示为傅立叶级数的条件 指数傅立叶级数，复振幅系数，以及与三角级数系数的关系 关于信号用傅立叶级数表示的几点说明 物理意义、正交函数集的范畴、被表达函数的周期性2021-10-31信号与线性系统第5讲32021-10-31信号与线性系统第5讲4( )1ft( )1ft

2、022ttktttktt00002()02() c o s ()04 1 , 3 , 5 , . . . .2() s i n ()0 ttntnaftd ttaftntd ttnbftntd tnt411( )sin()sin(3)sin(5).35ftttt110t/2ttf(t)2021-10-31信号与线性系统第5讲5 离散性频谱是不连续的线条。 谐波性线条只出现在谐波位置。 收敛性谱线高度为该谐波的振幅，总趋势是收敛的2021-10-31信号与线性系统第5讲6 脉冲幅度为a 脉冲宽度为 脉冲重复 周期t 一个周期内表达式 展开为指数傅里叶级数 复振幅表示为f(t)a-t022t周期性

3、矩形脉冲信号周期性矩形脉冲信号t2t2t)(tfa02t2t22222sin()sin()1122( )2tjntjnttnnaaf t edtaedtntttntnc2021-10-31信号与线性系统第5讲7( )()jntjntnnanftesaett nc0atc)(22tnsatacannxsinxxsa)(抽样抽样函数函数 sin()sin()2()2nnaaantsanntttttnc2021-10-31信号与线性系统第5讲8抽样函数sa(x) 令t=5 ,在n=0,n=1,n=2,， 求a0、a1、a2各次谐波振幅。 用相应长度线段代表,并按频率高低排列，得振幅频谱。 三种振幅频

4、谱表示方式 复数振幅an 振幅频谱an=|an| 指数级数系数cnsa(x)sa(x) 0 2 0 2 a an n0 0 2/ 4/ 2/ 4/ 0 0 2/ 4/ 2/ 4/ |a|an n| |c cn n0 0 2/ 4/ 2/ 4/ 2021-10-31信号与线性系统第5讲9复数振幅an一般为复函数，当an为实函数时可用幅度正、负表示相位为0和，形成幅度谱和相位谱合一，否则就必须分解为振幅频谱和相位频谱表示；振幅频谱an=|an|为实数，仅仅对幅度描述；指数级数系数cn是复函数，引入了负频率变量，同时，振幅幅度减半。2021-10-31信号与线性系统第5讲10 /t对频谱结构的影响

5、不变而t增大时： 谱线变密。因=2/t，故t ； 谱线高度减小。an与t成反比 t 不变而 减小时 振幅过零点谐波频率提高。包络形状的变化 整个频谱振幅相应减小，收敛速度降低。 0 , t 谱线密集成连续 振幅趋近零且平坦无过零点 这就是冲激函数的频谱02a5an n=0 n= n= n=0n 2 (a) t=5 4 6 0a5ann2 (b) t=10 2 4 6 0a10ann4 (c) t=20 2 4 6 )2(2)(2nsatatnsataan2021-10-31信号与线性系统第5讲11 频带宽度定义： 对于一个信号，从零频率开始到需要考虑的最高分量的这一频率范围，是信号所占有的频带

6、宽度，简称频宽。 一般以振幅第一个过零点为频带宽度。 若振幅没有过零点，则以振幅下降到最高幅度的10%所对应的频率点为频宽。 信号的时间特性和频率特性间的关系 时间函数中变化较快的信号必定具有较宽的频带。2021-10-31信号与线性系统第5讲12 四种对称关系 偶函数 ：对称纵轴 奇函数 ：对称原点 奇谐函数 ：半周期镜像 偶谐函数：半周期重叠( )()f tft)2()(nttftf)2()(nttftf( )( )f tft2)()()(tftftfe2)()()(tftftfo)()()(tftftfoen任意函数任意函数f(t)的奇、偶分量表示法：的奇、偶分量表示法：2021-10-

7、31信号与线性系统第5讲13 周期函数展开为三角傅里叶级数 偶函数项 奇函数项 余弦函数为偶函数，正弦函数为奇函数 偶函数只有直流分量和余弦项 奇函数只有正弦项 奇谐函数只有奇数谐波项 偶谐函数只有偶数谐波项)sincos(2)(10tnbtnaatfnnn2021-10-31信号与线性系统第5讲14 an是实数 bn0 cn是实数( )jntnnftce 0024( ) c o sttntaftntd tt2nnnacc01( )c o s2nnaftant.)5cos2513cos91(cos42)(2ttteetf-t/2ef(t)t/2t2021-10-31信号与线性系统第5讲15 a

8、n a0 0 bn是实数 cn是虚数( )jntnnftce 0024( ) s inttntbftntd tt2nnnbccj 1( )s innnftbnte/2-e/2t/2 -t/2f(t)t 0.)3sin312sin21(sin)(tttetf2021-10-31信号与线性系统第5讲16l 沿时间轴移半个周期；l 符号反转；l 波形不变； 偶次谐波系数为0a2n=b2n=0t/2-t/20tdttntftatn.) 12cos()(42012dttntftbtn.) 12sin()(420122021-10-31信号与线性系统第5讲17l 沿时间轴移半个周期；l 波形不变；l 奇次

9、谐波系数为0l 可看成t1=t/2的周期函数l 作为周期t分析，系数为l 作为周期t1分析，系数为 f(t)t/2-t/20t-ttdttntftatn202)2cos()(4dttntftbtn202)2sin()(41121122( ) co s()ttnaftnt d tt1121122( ) sin ()ttnbftnt d tt1120122( )ttaft d tt0n 2021-10-31信号与线性系统第5讲18函数为周期偶函数且奇谐函数函数为周期偶函数且奇谐函数只含基波和奇次谐波的余弦分量只含基波和奇次谐波的余弦分量函数为周期奇函数且奇谐函数函数为周期奇函数且奇谐函数只含基波和

10、奇次谐波的正弦分量只含基波和奇次谐波的正弦分量t/2-t/2t/2-t/22021-10-31信号与线性系统第5讲19函数为偶谐函数函数为偶谐函数含有直流分量和偶次谐波分量含有直流分量和偶次谐波分量函数为奇函数函数为奇函数只含有正弦分量只含有正弦分量函数为偶函数且偶谐函数函数为偶函数且偶谐函数含有直流分量和偶次余弦分量含有直流分量和偶次余弦分量t/2-t/2t/2-t/2t/2-t/22021-10-31信号与线性系统第5讲20对称情况对称情况偶函数偶函数f(t)=f(-t)奇函数奇函数f(t)=-f(-t)性质性质只有常数项只有常数项及余弦项及余弦项20)(2tdttfta0an (n 0)

11、20cos)(4ttdtntft20sin)(4ttdtntftn=1,2,3,bn0只有正弦项只有正弦项00 偶谐函数偶谐函数f(t)=f(t) 只有偶次谐波只有偶次谐波只有奇次谐波只有奇次谐波20)(2tdttft20cos)(4ttdtntftn=2，4，6，n=1, 2, 3, 20sin)(4ttdtntftn=2，4，6，奇谐函数奇谐函数f(t)=-f(t)020cos)(4ttdtntftn=1，3，5，20sin)(4ttdtntftn=1，3，5，2021-10-31信号与线性系统第5讲21讨论周期脉冲信号的频谱函数时候发现周期无穷大成为非周期信号，频谱谱线密集变得连续，幅度

12、收缩为无穷小；如何表示整体无穷小但仍有相对振幅差别的非周期信号频谱？通过对频谱的定义公式乘t/2，可以保持振幅之间的相对大小关系，由此产生一个对非周期信号频谱有意义的定义；考虑t趋向无穷大，对于原信号傅里叶级数求和表达式进行积分转化，得到一个很有用途的新的定义：2021-10-31信号与线性系统第5讲22 定义f(t)为ft(t)在t 的非周期函数 周期函数ft(t)的复振幅表示为 两边乘t，当t时，极限量用符号f(j)表示； 当t时，趋于无穷小用d 表示， n趋于； f(j)的量纲为：单位频带的振幅，称其为原函数f(t)的频谱密度函数。221( )tjntttcft ed ttn22()li

13、mlim( )tjnttntttf jt cft edtdtetfjftj)()(2021-10-31信号与线性系统第5讲23 f(j)表示为复函数 幅度频谱|f(j)| 相位频谱() 复函数的共轭性 ()()()jfjfjedtetfjftj)()(dtetfjftj)()(n若若f(t)为实函数，则为实函数，则f(j )和和f(-j )共轭，有下列结果共轭，有下列结果n f*(j ) = f(-j )n进而推导，由于进而推导，由于 f(j ) = | f(j )|e -j ( )n 则有则有 f* (j ) =|f(j )|e j ( ) f(-j ) =|f(-j )|e -j (- )

14、n上面两个复函数相等，则函数的模和相角都相等，有下面等式上面两个复函数相等，则函数的模和相角都相等，有下面等式n | f(j )| = | f(-j )| 和和 ( ) = - (- )n结论：结论：2021-10-31信号与线性系统第5讲24f(j)表达f(t)tjnntttjntntjnntedtetftectf22)(1)(dtnd22,dedtetftftftjtjtt)(21)(lim)(dejftj)(21dtetfjftj)()(dejftftj)(21)(正正反反2021-10-31信号与线性系统第5讲25非周期信号进行傅里叶积分也要满足狄利克雷条件。（有限间断点、有限极值和积

15、分收敛）绝对可积条件的积分表达式，为以下积分收敛这是一个充分条件，不是必要条件；后面要介绍的周期函数的傅里叶变换表现出：函数虽然不是绝对可积，但存在傅里叶变换。() ftd t 2021-10-31信号与线性系统第5讲26宽度，幅度a的单脉冲信号（门函数）傅里叶变换tf (t)a202f(t) =a | t | /2 dtetfjftj)()(22dteatj222()sin22jjaaeeja sa f(j)f(j) aa 0 0 4262021-10-31信号与线性系统第5讲27包络外形是抽样函数，幅度是a 乘积频谱具有收敛性，即信号的大部分能量都集中在低频段；过0点在为周期对应的角频率的整数倍位置与周期脉冲频谱的异同包络外形一致，原来以周期t的角频率作为基波，只在基波与谐波有值现在是连续函数当减小时，频谱的收敛速度变慢，即脉宽与频宽成反比当趋近0时，单脉冲