数学必修二关于直线与方程的课件

1、3.1 直线的倾斜角与斜率3.1.1 倾斜角与斜率第三章 直线与方程笛卡儿（1596-1650）：法国数学家、物理学家和哲学家，堪称17世纪以来欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一，被誉为“近代科学的始祖”. 几何问题代数化观察下面的跷跷板，跷跷板的位置固定吗？1.正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.（重点）2.理解直线的倾斜角的唯一性.3.理解直线的斜率的存在性.（难点）4.斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式（重点、难点）思考1 已知直线l经过点p，直线l 的位置能够确定吗？yxolll不确定.过一个点有无数条直线.这些直线有何区别？它们的倾斜程度不同如何描述直线的倾斜程度？pxy

2、o规定：当直线l和x轴平行或重合时，它的倾斜角为0.lx轴正向与直线l向上方向之间所成的角.直线倾斜角的范围为：0180 .一、直线的倾斜角思考2 直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系？平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角;倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角;倾斜程度相同的直线其倾斜角相同.xyollpll思考3 确定平面直角坐标系中一条直线的几何要素是什么？xyo【提示】直线上的一个定点及它的倾斜角二者缺一不可pl思考4 日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量呢？前进量升高量升高量坡度（比）前进量453 m3 m坡度越大，楼梯越陡前进量升高量“坡度（比）”是“倾斜角”的正切值.xyo45二、直

3、线斜率的定义通常用小写字母k表示，即ktan (90 ). 一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率(slope).倾斜角不是90的直线都有斜率.时o o= =9 90 0，k k不不存存在在. .注意：xyo111( ,)p x y222(,)p xyxyo1x2x1y2y21(,)q xy211212,p pqxxyy 且如图，若为锐角，21rt p pq在中，22 11tantanqpkppqpq2121yyxx0.思考5 已知一条直线上的两点坐标，如何计算斜率？结论：当时，斜率k0.090 xyo111( ,)p x y222(,)p xy若为钝角， =设o o2 2 1 11 1

4、2 21 12 2= =1 18 80 0 - -（p pp pq q ）, ,且且x x x x , ,y y y y ，o ot ta an n= =t ta an n( (1 18 80 0 - -) )= = - -t ta an n. .2121在在rtrtpqp中pqp中，2 21 1p p q qt ta an n= =p pq q21211212y -yy -y=，=，x -xx -x所以2 21 12 21 11 12 22 21 1y y - -y yy y - -y yk k= =t ta an n= =- -= =x x - -x xx x - -x x0.2x1x1y

5、2y21(,)q xy结论：当90180时 ， 斜 率 k 0.同样，当 的方向向上时，也有 成立.21p p2121tanyyxx111(,)p xy222(,)p xyxyoxyo111(,)p x y222(,)p xy说明：此公式与两点坐标的顺序无关.222(,)p xy111( ,)p x y思考6 当直线p1p2平行于x轴，或与x轴重合时， 还适用吗？为什么？2121yykxxxyo21210yykxx适用222( ,)p x y111( ,)p x yxyo思考7 当直线平行于y轴，或与y轴重合时，公式还适用吗？不适用，因为分母为0，斜率不存在.三、斜率公式公式特点：(1)与两点

6、坐标的顺序无关.(2)公式表明,直线的斜率可以通过直线上任意两点的坐标来表示,而不需要求出直线的倾斜角.(3)当x1=x2时,公式不适用,此时=90.211221 ().yykxxxx经过两点 的直线的斜率公式111222( ,),(,)p x yp xy12()xx例1 如图，已知a(3，2),b(-4，1),c（0，-1）,求直线ab，bc，ca的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.oxyacb121;437abk 解：直线ab的斜率1 121;0( 4)42bck 直线bc的斜率直线ca的斜率1231.033 cak分析：直接利用公式求解.由 及 知，直线ab与ca的倾斜角均为锐

7、角；由 知，直线bc的倾斜角为钝角0abk0cak0bck斜率为正，倾斜角为锐角；斜率为负，倾斜角为钝角；斜率为0，倾斜角为0；斜率不存在时，倾斜角为直角.例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，2及-3的直线l1，l2，l3及l4.xy解：设a1（x1,y1）是l1上任意一点，根据斜率公式有1101,0yx即x1=y1.设x1=1，则y1=1，于是a1的坐标是（1,1）过原点及点a1（1,1）的直线即为l11l分析：找出直线上异于原点的点.1ao同理l2是过原点及点a2（1，-1）的直线， l3是过原点及点a3（1，2）的直线， l4是过原点及点a4（1，-3）的直线x1

8、a1l3l2l4l2a4ay3aol11.已知a(3，5)，b(4，7)，c(-1，x)三点共线，则x等于( )a.-1 b.1 c.-3 d.3解：选c.因为 又a，b，c三点共线，所以kab=kac，即 解得：x=-3.a ab ba ac c7 7- -5 5x x- -5 5x x- -5 5k k= = =2 2, ,k k= = = - -, ,4 4- -3 3- -1 1- -3 34 4x524 ，2设直线l过原点，其倾斜角为，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为()a45 b135c135d当0135时，为45；当135180时，为13

9、5d3.请标出以下直线的倾斜角.xyoxyoxyoo oa ab bc c- -c c( (1 1) )k k= = =0 0, , = =0 0 . .b b- -a a解解：4.已知a,b,c是两两不等的实数，求经过下列两点的直线的斜率及倾斜角. (1)a(a,c),b(b,c). (2)c(a,b),d(a,c). (3)p(b,b+c),q(a,c+a).线o o( (2 2) )直直c cd d的的斜斜率率不不存存在在, , = = 9 90 0 . .o opqpq（3）3）k=1, k=1, = 45 .= 45 .xo2-115.画出经过点（0,2），且斜率为2与-2的直线.y

10、解：斜率为2的直线经过（0,2），（-1,0）两点；斜率为-2的直线经过（0,2），（1,0）两点.1.直线倾斜角的定义及其范围：2.斜率k与倾斜角 之间的关系：3.斜率公式：ktan(90 ). “几何问题代数化”的思想. 2112122112().yyyykkxxxxxx或0180 . 不是每一粒种子都能发芽，不是每一段路程都铺满鲜花，不过不要忘记，乌云遮不住太阳的光华。3.1.2 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定两条直线平行与垂直的判定平面内两条直线有哪些位置关系？平面内两条直线有哪些位置关系？平行或相交平行或相交能否通过斜率来能否通过斜率来判断两条直线的判断两条直线的位置关系？位置

11、关系？xyo o. 为了在平面直角坐标系内表示直线的倾斜程度，为了在平面直角坐标系内表示直线的倾斜程度，我们引入倾斜角的概念，进而又引入了直线的斜率我们引入倾斜角的概念，进而又引入了直线的斜率. .1.1.理解并掌握两条直线平行与垂直的条件理解并掌握两条直线平行与垂直的条件. . （重点）（重点）2.2.会运用条件判断两直线是否平行或垂直会运用条件判断两直线是否平行或垂直. . （难点）（难点）x xy yo ol2 21 12 2时时，k k 与与k k 满满足足什什么么关关系系？1l2l21即即1 12 2k k = = k kllll1 12 21 12 2, ,或或与与重重 合合l l

12、1 12 21 12 2设设两两条条直直线线 , , 的的斜斜率率分分别别为为思思考考1 1 k k , ,k k ，1 12 2k k = = k k1 12 2 = =l1 1l l1 12 2设设两两条条直直线线 , , 的的斜斜率率思思都都考考2 2 不不存存在在，ll1 12 2两两直直线线 与与 有有何何位位置置关关系系？1x xy yo o2解析：解析：斜率均不存在的两条斜率均不存在的两条直线平行或重合直线平行或重合.1l2l一、两条直线平行的判定一、两条直线平行的判定特别地，两直线的倾斜角都为特别地，两直线的倾斜角都为9090时，它们互相平行时，它们互相平行或重合或重合. .l

13、l1 12 21 12 2k k = = k k公式成立的条件：公式成立的条件：两直线不重合；两直线不重合；两直线的斜率均存在两直线的斜率均存在. .x xy yo o1l2l设两条直线设两条直线 与与 的斜率分别为的斜率分别为 ，1l2l2,k1k例例1 1 已知已知a(2a(2，3)3)，b(-4b(-4，0)0)，p(-3p(-3，1)1)，q(-1q(-1，2)2)，试判断直线试判断直线baba与与pqpq的位置关系，并证明你的结论的位置关系，并证明你的结论. .解解: :直线直线baba的斜率的斜率b ba a3 3- -0 01 1k k= = =, ,2 2- - （- -4 4

14、） 2 2p pq q2 2- -1 11 1k k= = =, ,- -1 1- -( (- -3 3) )2 2直线直线pqpq的斜率的斜率因为所以线b ba ap pq qk k= = k k , ,直直b ba ap pq q. .例例2 2 已知四边形已知四边形abcdabcd的四个顶点分别为的四个顶点分别为a(0a(0，0)0)，b(2b(2，1)1)，c(4c(4，2)2)，d(2d(2，3)3)，试判断四边形，试判断四边形abcdabcd的形状，并给出证明的形状，并给出证明. .因为所以所以边边a ab bc cd db bc cd da a1 1k k= = k k= = -

15、 -, ,2 23 3k k= = k k= =, ,2 2a ab bc cd d, ,b bc cd da a. .四四形形a ab bc cd d是是平平行行形形解解四四. .：分析：分析：判断两组对边是否分别平行判断两组对边是否分别平行. .y yl1 1o ox xl2 21 12 2l l12121212 设设两两条条直直线线 , , 的的斜斜率率分分别别为为k k思思3 3,k,k考考, ,ll1 12 21 12 2 时时，k k 与与k k 满满足足什什么么关关系系？图o o2121o o21211 11212如如， = +90 ，+90 ，1 1tantan =tan(=t

16、an( +90 )= -,+90 )= -,tantan即即k k = -1.k k = -1.12121.llk k 反之，成立反之，成立,可得可得ll1 11 12 2 设设两两条条直直线线 的的斜斜思思考考率率k k = = 0 0, , 的的4 4斜斜率率不不存存在在, ,ll1212 吗吗？1lx xy yo o2l若一条直线的倾斜角为若一条直线的倾斜角为9090, , 另一条直线的倾斜角为另一条直线的倾斜角为0 0, , 则两直线互相垂直则两直线互相垂直. .ll1212二、两条直线垂直的判定二、两条直线垂直的判定ll1 12 21 12 2设设两两条条直直线线 与与 的的斜斜率率

17、分分别别为为k k , ,k k ，ll12121212k k = -1.k k = -1.特别地：特别地：一条直线的倾斜角为一条直线的倾斜角为9090，另一条直线的，另一条直线的倾斜角为倾斜角为0 0，两直线互相垂直，两直线互相垂直. .y yl1 1o ox xl2 2两直线的斜两直线的斜率均存在率均存在. .例例3 3 已知已知a a（-6-6，0 0），），b b（3 3，6 6），），p p（0 0，3 3），），q q（6 6，-6-6），试判断直线），试判断直线abab与与pqpq的位置关系的位置关系. .解：解：直线直线abab的斜率的斜率a ab b6 6- -0 02 2k

18、 k= = =, ,3 3- - （- -6 6） 3 3p pq q- -6 6- -3 33 3k k= = = - -, ,6 6- -0 02 2直线直线pqpq的斜率的斜率因为所以线a ab bp pq qk k k k= = - -1 1, ,直直a ab bp pq q. .分析：分析：分别求出两直线的斜率，观察斜率之间的关系分别求出两直线的斜率，观察斜率之间的关系. .例例4 4 已知已知a a（5 5，-1-1），），b b（1 1，1 1），），c c（2 2，3 3）三点，试判断三点，试判断abcabc的形状的形状. .分析：分析：结合图形可猜想结合图形可猜想abbcab

19、bc， abcabc为直角三角形为直角三角形. .线a ab b1 1直直a ab b的的斜斜率率k k解解= = - -：, ,2 2线bcbc直直bc的bc的斜斜率率k= 2,k= 2,因为所以线，所以o oabbcabbck k= -1,直k k= -1,直ababbc即bc即abc = 90 ,abc = 90 ,abc是abc是直直角角三三角角形形. .1.1.已知直线已知直线l1 1过点过点a(-1a(-1，1)1)和和b(-2,-1)b(-2,-1)，直线，直线l2 2过点过点c(1c(1，0)0)和和d(0d(0，a a) )，若，若l1 1l2 2, ,则则a a的值为的值为

20、( )( )a.-2 b.2 c.0 d. a.-2 b.2 c.0 d. 解：解：选选a.a.l1 1, ,l2 2的斜率分别为的斜率分别为2,-2,-a a, ,由由l1 1l2 2，可知，可知a a=-2.=-2.122.2.直线直线l的倾斜角为的倾斜角为3030，若直线，若直线l1 1l，则直线，则直线l1 1的斜率的斜率k k1 1=_=_；若直线；若直线l2 2l, ,则直线则直线l2 2的斜率的斜率k k2 2=_.=_.解：解：由斜率定义，直线由斜率定义，直线l的斜率的斜率k=tan 30k=tan 30= =因为因为l1 1l，所以，所以k k1 1=k= .=k= .因为因

21、为l2 2l, ,所以所以k k2 2k=-1,k=-1,答案：答案：3321k3.k 所以3 3333，3.3.若直线若直线l经过点经过点(a-2,-1)(a-2,-1)和点和点(-a-2,1)(-a-2,1)且与经过点且与经过点(-2(-2，1)1)，斜率为，斜率为 的直线垂直，则实数的直线垂直，则实数a a的值为的值为_._.23234.4.判断下列各对直线平行还是垂直：判断下列各对直线平行还是垂直：（1 1）经过两点）经过两点a(2,3),b(-1,0)a(2,3),b(-1,0)的直线的直线l1 1，与经过点，与经过点p(1,0)p(1,0)且斜率为且斜率为-1-1的直线的直线l2

22、2. .（2 2）经过两点）经过两点c c（3,13,1），），d d（-2,0-2,0）的直线）的直线l3 3，与经过，与经过点点 m m（1 1，-4-4）且斜率为）且斜率为-5-5的直线的直线l4 4. .解：解：（1 1）垂直）垂直. .解：解：（2 2）垂直）垂直. .5.5.已知已知a(1a(1，2),b(-1,0),c(3,4)2),b(-1,0),c(3,4)三点，这三点是三点，这三点是否在同一条直线上，为什么？否在同一条直线上，为什么？线线因为两线点所以点线a ab bb bc ca ab bb bc c0 0 - - 2 2直直a ab b的的斜斜率率k k= = = 1

23、1; ;- -1 1- -1 14 4- -0 0直直b bc c的的斜斜率率k k= = = 1 1. .3 3 - - （- -1 1）k k= = k k, ,且且直直有有公公共共b b, ,三三解解共共：. .分析：分析：证明两直线斜率相等且有公共点证明两直线斜率相等且有公共点. .“几何问题代数化几何问题代数化”的思想的思想. . ll1 12 21 12 2k k = = k k1.1.两条直线平行的判定：两条直线平行的判定：（两条直线不重合且斜率均存在）（两条直线不重合且斜率均存在）.2.2.两条直线垂直的判定：两条直线垂直的判定：ll1 12 21 12 2k k k k =

24、= - -1 1（两条直线不重合且斜率均存在）（两条直线不重合且斜率均存在） 不是什么人都可以交往的，慎交朋友。笑看人生潮起潮落，守住自己的心。3.2 直线的方程3.2.1 直线的点斜式方程如何确定高架桥直线桥面的确切位置呢？(1)已知两点可以确定一条直线.2121yykxx在平面直角坐标系内如何确定一条直线呢？(2)已知直线上的一点和这条直线的一个方向（斜率或倾斜角）可以确定一条直线.斜率公式：（x1x2）1.理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用 范围.（重点）2.能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程. （难点）3.体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.4.会利用直线方程判断

25、直线平行或垂直.思考1 已知直线l经过已知点p0（x0，y0），并且它的斜率是k，p(x,y)是直线l上不同于点p0的任意一点,那么x，y满足什么关系？xyop(x,y)lp0(x0,y0)0 00 0y-yy-yk =k =x-xx-x为0000可可化化y-y = k x-xy-y = k x-x关于x,y的方程思考2 满足方程y-y0=k(x-x0)的所有点p(x,y)是否都在直线l上? 为什么？ 当 时时满0 00 00 00 00 0p p与与p p重重合合 ，有有x x= =x x , ,y y= =y y , ,此此足足y y- -y y = =k k( (x x- -x x）；l

26、当时则过点为线0 0000000000 0y-yy-yxxx，x，k =,即k =,即p(x,y)在p(x,y)在p(x ,y ),p(x ,y ),x-xx-x斜斜率率k的k的直直上上. . 由直线上一定点和直线的斜率确定的直线方程，叫直线的点斜式方程.直线的点斜式方程l的0 00 00 0过过点点p p( (x x , ,y y ) ), ,斜斜率率为为k k的的直直线线方方程程为为：00(yyk xx）.成立的条件：直线的斜率存在.xyol000(,)p x y思考3 已知直线l经过已知点p0（x0，y0），且它的斜率不存在，直线l的方程是什么？xyol000(,)p xy000 xxx

27、x或思考4 当直线l的倾斜角是0时，直线l 的方程是什么？xol000(,)p xy000yyyy或y思考5 x轴、y轴所在直线的方程分别是什么？ y=0 x=0 xoy例1 直线l经过点p0（-2，3），且倾斜角=45，求直线l的点斜式方程，并画出直线l. 解：这条直线经过点p0（-2，3）, 斜率k=tan 45=1.代入点斜式方程得y-3=x+2.oxyp05-5l思考6 已知直线l的斜率是k，与y轴的交点是p(0，b)，求直线方程.代入点斜式方程得，即y= kx+b. oxy直线l 的方程:y-b=k（x-0）,p（0，b）点斜式的特例直线l与y轴交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y

28、轴上的截距. 截距的概念方程由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式.y=kx+b斜截式方程成立的条件：直线的斜率存在.oxyb斜率在y轴上的截距思考7 方程y=kx+b与我们学过的一次函数表达式类似，你能说出一次函数y=2x-1，y=3x，y=-x+3的图象的特点吗？y=2x-1的斜率为2，在y轴上的截距为-1;y=3x的斜率为3，在y轴上的截距为0;y=-x+3的斜率为-1，在y轴上的截距为3.思考8 若直线l的斜率为k，在x轴上的截距为a，则直线l的方程是什么？解：y=k(x-a)11122212122例例已已知知直直线线 ：y y= =k k x

29、 xb b， ：y y= =k k x x+ +b b ，试试讨讨论论：（1 1） / / / 的的条条件件是是什什么么？（2 2）的的条条件件是是什什么么？llllllllll忆忆断断两两条条线线结结论论时时关关时时关关1 12 21 12 21 12 21 12 21 12 21 12 2回回用用斜斜率率判判直直平平行行、垂垂直直的的. .思思考考（1 1） / / /，k k，k k ，b b，b b 有有何何系系？（2 2） ，k k，分分析析：k k ，b b，b b 有有何何系系？则则时时轴轴点点时时则则时时们们对对线线llllllllllllllll121212121212121

30、2121212121212121212121212121211122211122212121212121212121212（1）1）若若 / ，/ ，k = k ，k = k ，此此， 与与y的y的交交不不同同，即即b b b ；b ；反反之之k = k ，k = k ，且且b b b，b， / ./ .（2）2）若若 ，k k = -1；k k = -1；反反之之k k = -1，k k = -1， . .于于是是我我得得到到，于于直直：y = k x+b，y = k x+b， ：y = k x+b ，y = k x+b ，/k = k 且/k = k 且b b b ；b ；k k解解k k

31、：= -1.= -1.1.直线方程可表示成点斜式方程的条件是 （ ）a.直线的斜率存在 b.直线的斜率不存在c.直线不过原点 d.不同于上述选项a2.经过点 且倾斜角是30的直线的方程是 （ ）a. b.c. d. 2 2（， ）23(2)yx32(2)3yx 32(2)3yx23(2)yxc3.直线 x-y+a=0(a为常数)的倾斜角为( )a.30 b.60 c.150 d.120解：选b.由直线方程得y= x+a，所以斜率 k= ,设倾斜角为, 所以tan= ,又0180， 所以=60.3333解：4.已知直线l1的方程为y2x3，l2的方程为y4x2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的

32、截距相同，求直线l的方程由斜截式方程知直线l1的斜率k12，又因为ll1，所以l的斜率kk12.由题意知l2在y轴上的截距为2，所以l在y轴上的截距b2，由斜截式可得直线l的方程为y2x2.直直线线方方程程已知已知条件条件结构形式结构形式适用范围适用范围点点斜斜式式斜斜截截式式斜率k和直线在y轴上的截距by y = = k kx x+ +b b能表示不垂直于x轴的直线点1 11 11 1p p( (x x , ,y y ) )和斜率k1 11 1y y- -y y = =k k( (x x- -x x ) )能表示不垂直于x轴的直线 不是拥有幸福的人才幸福，而是知道幸福的人才幸福。幸福不在于享

33、受了多少，而在于感受了多少。3.2.2 直线的两点式方程解：解：设直线方程为：设直线方程为：y=kx+by=kx+b（k0k0）一般做法：一般做法：342，kbkb 由已知得：由已知得：12kb， 解方程组得：解方程组得：所以，直线方程为所以，直线方程为: y=x+2.: y=x+2.待定系数法待定系数法方程思想方程思想已知直线经过已知直线经过p p1 1(1,3)(1,3)和和p p2 2(2,4)(2,4)两点两点, ,求直线的方程求直线的方程还有其他的方法吗？还有其他的方法吗？还有其他做法吗？还有其他做法吗？432143312120由由斜斜率率公公式式得得到到斜斜率率再再由由直直线线的的

34、点点斜斜式式方方程程得得，化化简简可可：得得解解.().kyxxy 34 312 1，yx 即：即：得得: : y=x+2.y=x+2.解：解：设设p(x,y)p(x,y)为直线上不同于为直线上不同于p p1 1 , , p p2 2的动点的动点, ,与与p p1 1(1,3)(1,3)，p p2 2(2,4)(2,4)在同一直线上在同一直线上, ,根据斜根据斜率相等可得：率相等可得：11 211 2ppp pppp pk= kk= k1.1.掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围. . ( (重点重点) )2.2.了解直线方程截距式的形式特点及适用范

35、围了解直线方程截距式的形式特点及适用范围. .3.3.掌握中点坐标公式掌握中点坐标公式. .( (重点重点) )4.4.通过四种形式方程的对比，掌握类比思想通过四种形式方程的对比，掌握类比思想. .( (难点难点) )解：解：设点设点p(x,y)p(x,y)是直线上不同于是直线上不同于p p1 1 , , p p2 2的点的点211121.xyyxyyxx 可得直线的两点式方程：可得直线的两点式方程：211121,yyyyxxxx 所以所以因为因为k kpppp1 1= k= kp p1 1p p2 2, ,记忆特点：记忆特点：1.1.左边全为左边全为y y，右边全为，右边全为x.x.2.2.

36、两边的分母全为常数两边的分母全为常数. . 3.3.两边分子，分母中的减数分别相同两边分子，分母中的减数分别相同. .已知两点已知两点p p1 1(x(x1 1 ,y,y1 1),p),p2 2(x(x2 2,y,y2 2) )（其中（其中x x1 1xx2 2，y y1 1y y2 2）, ,求通过这两点的直线方程求通过这两点的直线方程是不是已知任一直线中的两点就能用两点式写出直线方是不是已知任一直线中的两点就能用两点式写出直线方程程 呢？呢？112121yyxxyyxx注意：注意：两点式不能用来表示平行于坐标轴或与坐标轴重合的直线的方程两点式不能用来表示平行于坐标轴或与坐标轴重合的直线的方

37、程那么两点式不能用来表示哪些直线的方程呢那么两点式不能用来表示哪些直线的方程呢? 当当x x1 1x x2 2或或y y1 1= = y y2 2时时, ,直线直线p p1 1p p2 2没有两点式方程没有两点式方程. .( (因为因为x x1 1x x2 2或或y y1 1= = y y2 2时时, ,两点式方程的分母为零两点式方程的分母为零, ,没有意义没有意义) )不是不是! ! 若点若点p p1 1(x(x1 1,y,y1 1),p),p2 2(x(x2 2,y,y2 2) )中有中有x x1 1x x2 2, ,或或y y1 1= = y y2 2, ,此时过这两点的直线方程是什此时

38、过这两点的直线方程是什么么? ?当当x x1 1x x2 2时方程为：时方程为：x xx x1 1或或x xx x2 2当当y y1 1= = y y2 2时方程为：时方程为：y=yy=y1 1或或y=yy=y2 2y-0 x-ay-0 x-a= =b-00-ab-00-a x x l b(0,b) b(0,b) a(a,0) a(a,0) o o y y解：解：将将a(aa(a，0 0），），b b（0 0，b)b)的坐标代入两点式得：的坐标代入两点式得：xyxy即即+=1.+=1.abab例例1 1 已知直线已知直线l与与x x轴的交点为轴的交点为a(a,0),a(a,0),与与y y轴的

39、交点为轴的交点为b(0,b)b(0,b)，其中，其中a0,b0,a0,b0,求直线求直线l的方程的方程. .直线的截距式方程直线的截距式方程1.xyab直线方程由直线在直线方程由直线在x x轴和轴和y y轴的截距确定轴的截距确定, ,所以叫做直线方程的所以叫做直线方程的截距式方程截距式方程. .在在y轴上的截距轴上的截距在在x x轴上的截轴上的截距距截距式适用于横、纵截距都存在且都不为截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0 0的直线的直线. .例例2 2 已知三角形的三个顶点已知三角形的三个顶点a(-5,0),b(3,-3),a(-5,0),b(3,-3),c(0,2)c(0,2)，求，求bc

40、bc边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程. .解：解：过过b(3,-3),c(0,2)b(3,-3),c(0,2)的两点式方程为：的两点式方程为：这就是这就是bcbc边所在直线的方程边所在直线的方程. .，y-2x-0y-2x-0= =-3-23-0-3-23-0整整理理得得，5x+3y-6=0.5x+3y-6=0.设点为 则标为3 3+ +0 0 - -3 3+ +2 23 31 1b bc c的的中中m m, , m m的的坐坐（，），即即（ ， - - ）. .2 22 22 22 2过线为这边线线31y-0 x+531y-0 x+

41、5a(-5,0),m（a(-5,0),m（ ， - ）- ）的的直直方方程程=,=,13132222-0+5-0+52222整整理理得得x+13y+5=0.x+13y+5=0.就就是是bc上bc上的的中中所所在在直直的的方方程程. .1 11 11 12 22 22 21 12 21 12 2以以p p （x x ，y y ) ), ,p p( (x x , ,y y ) )为为端端点点的的线线段段的的中中点点坐坐标标为为x x + +x xy y + +y y（, ,) ). .2 22 2中点坐标公式中点坐标公式例例3 3 求经过点求经过点p(-5p(-5，4)4)，且在两坐标轴上的截距相

42、等的直线方程，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. .xy分析：分析：截距均为截距均为0 0时，时，设方程为设方程为y=kx,y=kx,截距均不为截距均不为0 0时，时，设为截距式求解设为截距式求解. .o o解：解：当截距均为当截距均为0 0时，设方程为时，设方程为y=kx,y=kx,把把p(-5p(-5，4)4)代入上式得代入上式得 即直线即直线方程为方程为当截距均不为当截距均不为0 0时，设直线方程为时，设直线方程为把把p(-5p(-5，4)4)代入上式得代入上式得 直线方程为直线方程为 即即 综上：直线方程为综上：直线方程为 或或4.5yx 4,5k 1,xyaa1.a 1,xy 10

43、.xy 45yx 10.xy 截距为零不容忽截距为零不容忽视视1.1.若直线若直线l与直线与直线y=1,x=7y=1,x=7分别交于点分别交于点p p，q q，且线段，且线段pqpq的中点坐标为的中点坐标为(1(1，-1)-1)，则，则直线直线l的斜率为的斜率为( )( )1 11 13 32 2a a. . b b. .- - c c. .- - d d. .3 33 32 23 3解：解：选选b.b.依题意，设点依题意，设点p(a,1),q(7,b),p(a,1),q(7,b),则有则有 解得解得从而可知直线从而可知直线l的斜率为的斜率为，a a+ +7 7= =2 2b b+ +1 1=

44、 = - -2 2-3-11-3-11= - .= - .7+537+53a5,b3,x-yx+（1 1）2 2- -3 3= =解解：0 0. .（2 2）y y = =5 5. .1 12 2( (1 1) )p p( (2 2，1 1) ), ,p p( (0 0， - -3 3) ). .( (2 2) )a a( (0 0，5 5) ), ,b b( (5 5，0 0) ). .3.3.求经过下列两点的直线方程求经过下列两点的直线方程: :2.2.直线直线ax+by=1(ab0)ax+by=1(ab0)与两坐标轴围成的面积是与两坐标轴围成的面积是_._.1 12 2 a ab b4

45、4. .设直线设直线l的方程为的方程为(a+1)x+y+2-a=0(ar).(a+1)x+y+2-a=0(ar).若直线若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程的方程. .解：解：当直线过原点时，该直线在当直线过原点时，该直线在x x轴和轴和y y轴上的截距为零，显然相等轴上的截距为零，显然相等. .所以所以a=2,a=2,方程即为方程即为3x+y=0.3x+y=0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为当直线不过原点时，由截距存在且均不为0 0，得得 =a-2,=a-2,即即a+1=1,a+1=1,所以所以a=0a=0，即直线方程为，即直线方程为x+y+2=

46、0.x+y+2=0.所以直线所以直线l的方程为的方程为3x+y=03x+y=0或或x+y+2=0.x+y+2=0.a2a1直线方程名称直线方程名称直线方程形式直线方程形式适用范围适用范围点斜式点斜式斜截式斜截式 两点式两点式截距式截距式00()yyk xx112121yyxxyyxx 1xyab 不垂直不垂直x x轴轴不垂直不垂直x x轴轴不垂直坐标轴不垂直坐标轴不垂直坐标轴且不不垂直坐标轴且不经过原点经过原点ykxb 不是真正的朋友，再重的礼品也敲不开心扉。 培根3.2.3 直线的一般式方程我们共学习了哪几种直线方程的形式我们共学习了哪几种直线方程的形式? ?00()yyk xx点斜式点斜式

47、ykxb斜截式斜截式112121yyxxyyxx两点式两点式1xyab截距式截距式1.1.明确直线方程一般式的形式特征明确直线方程一般式的形式特征. .（重点）（重点）2.2.会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率 和截距和截距. .（难点）（难点）3.3.会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式. . （难点）（难点）ax+by+c=0(a,bax+by+c=0(a,b不同时为不同时为0 0）我们把关于我们把关于x,yx,y的二元一次方程的二元一次方程叫做直线的一般式方程，简称一般式叫做直线的一般式方程，简称一

48、般式. .一般式适用于任意一条直线一般式适用于任意一条直线. .探究探究1 1：直线的一般式方程：直线的一般式方程特别：特别：对于直线方程的一般式，一般作如下约定：对于直线方程的一般式，一般作如下约定： x x的系数为正，的系数为正，x,yx,y的系数及常数项一般不出现分数，的系数及常数项一般不出现分数，一般按含一般按含x x项、项、y y项、常数项的顺序排列项、常数项的顺序排列. . 直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程都是关于程都是关于x x，y y的方程，上述四种直线方程，能的方程，上述四种直线方程，能否写成如否写成如ax+ by+c=0ax+

49、by+c=0（a,ba,b不同时为不同时为0 0）的统一形）的统一形式？式？点斜式：点斜式：00()yyk x x00( 1)0kxy ykx 探究探究2 2：一般式方程与其他形式方程的转化：一般式方程与其他形式方程的转化斜截式：斜截式：y=kx+b kx-y+b=0y=kx+b kx-y+b=0两点式：两点式： （y y1 1-y-y2 2）x+(xx+(x2 2-x-x1 1)y+ )y+ x x1 1y y2 2-x-x2 2y y1 1=0=0截距式：截距式： bx+ay-ab=0bx+ay-ab=0112121yyxxyyxxxy1ab例例1 1 已知直线经过点已知直线经过点a a（

50、6 6，- 4- 4），斜率为），斜率为 ，求直线的点斜式和一般式方程求直线的点斜式和一般式方程. .43解：解：经过点经过点a(6a(6，-4),-4),斜率为斜率为 的直线的点斜式的直线的点斜式方程为方程为化成一般式，得化成一般式，得4x+3y-12=0.4x+3y-12=0.44(6).3yx 43例例2 2 把直线把直线l的一般式方程的一般式方程x-2y+6=0 x-2y+6=0化成斜截式，化成斜截式，求出直线求出直线l的斜率以及它在的斜率以及它在x x轴与轴与y y轴上的截距，并画轴上的截距，并画出图形出图形. .解：解：将原方程化成斜截式得将原方程化成斜截式得因此，直线因此，直线l

51、的斜率的斜率 ，它在，它在y y轴上的截距是轴上的截距是3 3，在直线在直线l的方程的方程x-2y+6=0 x-2y+6=0中，中，xyo o3.2xy12k -6-63 3令令y=0y=0，可得，可得 x=-6x=-6，即直线，即直线l在在x x轴上的截距是轴上的截距是-6.-6.1212121212121212aaccaacc=,且=,且bbbbbbbbl lllll1 12 21 11 11 11 12 22 22 22 21 11 11 12 22 22 21 12 21 12 21 12 21 12 2探探究究3 3 如如果果直直线线 , , 的的方方程程为为 : :a a x x+

52、 +b b y y+ +c c = = 0 0, ,: :a a x x+ +b b y y+ +c c = = 0 0( (a a b b c c 0 0, ,a a b b c c 0 0) ), ,若若 / / / , ,则则a a , ,a a , ,b b , ,b b ，c c ，c c 满满足足什什么么条条件件？例例3 3 已知直线已知直线l1 1：ax+(a+1)y-a=0ax+(a+1)y-a=0和和 l2 2：(a+2)x+2(a+1)y-4=0(a+2)x+2(a+1)y-4=0，若，若l1 1/l2 2，求，求a a的值的值. .llll当时显当时无解综12121 12

53、 2a+1=0,即a+1=0,即a = -1，a = -1，:x =1, :x = 4,然:x =1, :x = 4,然平平行行. .aaaaaa-1，-1，:y = -x+,:y = -x+,a+1a+1a+1a+1a+24a+24:y = -x+,:y = -x+,2(a+1)2(a+1)2(a+1)2(a+1)aa+2aa+2-= -，-= -，a+12(a+1)a+12(a+1)由由得得. .a4a4. .a+a+解解：12(a+1)12(a+1)上上：a = -1.a = -1.l lllll1 12 21 11 11 11 12 22 22 22 21 11 11 12 22 22

54、 21 12 21 12 21 12 2探探究究4 4 如如果果直直线线 , , 的的方方程程为为 : :a a x x+ +b b y y+ +c c = = 0 0, ,: :a a x x+ +b b y y+ +c c = = 0 0( (a a b b c c 0 0, ,a a b b c c 0 0) ), ,若若 , ,则则a a , ,a a , ,b b , ,b b 满满足足什什么么条条件件？12121212a a +b b =0.a a +b b =0.1.1.若直线若直线l在在x x轴上的截距为轴上的截距为-4-4，倾斜角的正切值为，倾斜角的正切值为1 1，则直线则直

55、线l的点斜式方程是的点斜式方程是_._.直线直线l的斜截式方程是的斜截式方程是_._.直线直线l的一般式方程是的一般式方程是_._.y-0=x+4y-0=x+4y=x+4y=x+4x-y+4=0 x-y+4=0解：解：(1)x+2y-4=0(1)x+2y-4=0. . 2.2.根据下列条件，写出直线的一般式方程：根据下列条件，写出直线的一般式方程： 12121 11 1 经经过过点点a(8a(8， -2),-2),斜斜率率是是-.-.2 22 2 经经过过点点b(4b(4，2),2),平平行行于于x x轴轴. .3 33 3 在在x x轴轴，y y轴轴上上的的截截距距分分别别是是 ， -3.-

56、3.2 24 4 经经过过点点p(3p(3， -2),p(5-2),p(5， -4).-4).(2)y-2=0(2)y-2=0. . (3)2x-y-3=0 (3)2x-y-3=0. . (4)x+y-1=0.(4)x+y-1=0.( (1 1) )k k = = - -3 3, ,b b = =5 5. .53yxo o5xyo o-5-54 43.3.求下列直线的斜率以及在求下列直线的斜率以及在y y轴上的截距，并画出图形轴上的截距，并画出图形. .xyxy(1)3x+y-5 = 0. (2) -=1.(1)3x+y-5 = 0. (2) -=1.4545(3)x+2y = 0. (4)7

57、x-6y+4 = 0.(3)x+2y = 0. (4)7x-6y+4 = 0.5 5(2)k =,b = -5.(2)k =,b = -5.4 4 （-2,1-2,1）234 4- -7 7xo oyxo oy1 1(3)k = - ,b =0.(3)k = - ,b =0.2 27272(4)k =,b =.(4)k =,b =.63634.4.已知线段已知线段pqpq两端点的坐标分别为两端点的坐标分别为p(-1p(-1，1)1)和和q(2q(2，2)2)，若直线，若直线l:x+my+m=0:x+my+m=0与线段与线段pqpq有交点，有交点，求实数求实数m m的取值范围的取值范围. .解：

58、解：如图所示，直线如图所示，直线l:x+my+m=0:x+my+m=0过定点过定点a(0a(0，-1)-1)，当，当m0m0时，时，qapa31k,k2,k.2ml 解得解得 或或 当当m=0m=0时，直线时，直线l的方程为的方程为x=0 x=0，与线段，与线段pqpq有交点，所以，实数有交点，所以，实数m m的取值范围为的取值范围为10m22m0,321m|m.321132,mm2 所以或1.1.直线方程的一般式直线方程的一般式ax+by+c=0ax+by+c=0（a a，b b不同时为不同时为0 0）2.2.直线方程的一般式与特殊式的互化直线方程的一般式与特殊式的互化. .3.3.两条直线

59、平行与垂直的判定两条直线平行与垂直的判定. .不同的品格导致不同的兴趣爱好。3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.1 两条直线的交点坐标3.3.2 两点间的距离想一想：我们上体育课时，用的体育器材中，有哪些涉及两条直线的位置关系呢？1.理解两直线的交点与方程组的解之间的关系，会 求两条相交直线的交点坐标.(重点)2.能够根据方程组解的个数来判断两直线的位置 关系.(难点)3.能够推导两点间距离公式.(重点)4.会应用两点间距离公式证明几何问题.(难点)1111111122222222已已知知两两条条直直线线 :a x+b y+c = 0 :a x+b y+c = 0 : a x+b y+c

60、= 0 : a x+b y+c = 0相相交交, ,如如何何求求这这两两条条直直线线交交点点的的坐坐标标? ?ll1. 两条直线的交点两条直线的交点两条直线的交点几何元素及关系几何元素及关系代数表示代数表示点点m m直线直线l点点m m在直线在直线l上上直线直线l1 1与与l2 2的交点是的交点是m mm(a,b)(a,b)l: : a ax x+ +b by y+ +c c = = 0 0l: : a aa a+ +b bb b+ +c c = = 0 0m的坐标满足方程m的坐标是方程组的解111111222222a a+b b+c = 0,a a+b b+c = 0,a a+b b+c =