一元微积分：D2习题课

1、一、一、 导数和微分的概念及应用导数和微分的概念及应用机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、 导数和微分的求法导数和微分的求法 导数与微分 第二章 导数导数 :xxfxxfxfx)()(lim)(0当时,为右导数当时,为左导数0 x)(xf0 x)(xf 微分微分 :xxfxfd)()(d机动 目录 上页 下页 返回 结束 关系关系 :可导可微( 思考 P124 题1 )(1) 利用导数定义解决的问题 (3)微分在近似计算与误差估计中的应用(2)用导数定义求极限1) 推出三个最基本的导数公式及求导法则xxxCxcos)(sin;)(ln;0)(1其他求导公式都可由它们及求导法则推出;2)

2、 求分段函数在分界点处的导数 , 及某些特殊函数在特殊点处的导数;3) 由导数定义证明一些命题.机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(0 xf 存在,求.)()(lim0200 xxfxxxfx解解: : 原式=xxfxxxfx )()(lim02002)( xx2)( xx)(0 xf 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若0) 1 (f且) 1 (f 存在 , 求.tan) 1()cos(sinlim20 xexxfxx解解: 1)cos(sinlim20 xxx原式 =220)cos(sinlimxxxfx且0) 1 (f联想到凑导数的定义式220) 1cossin1 (limxxxf

3、x1cossin2xx1cossin2xx) 1 (f) 1 (f )211 ( ) 1 (21f 机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(xf在2x处连续,且, 32)(lim2xxfx求. )2(f 解解:)2(f)(lim2xfx)2()()2(lim2xxfxx02)2()(lim)2(2xfxffx2)(lim2xxfx3思考思考 : P124 题2机动 目录 上页 下页 返回 结束 1lim)() 1() 1(2xnxnnebaxexxf试确定常数 a , b 使 f (x) 处处可导,并求. )(xf 解解: :)(xf1x,bxa 1x, ) 1(21ba1x,2x,1时x;)

4、(axf时，1x.2)(xxf) 1 ()1 ()1 (fff) 1 () 1 (ff得处可导，在利用1)(xxf即ba1) 1(21ba2a机动 目录 上页 下页 返回 结束 , 1,2ba2) 1 ( f1,21,2)(xxxxf)(xf 是否为连续函数 ?机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(xf1x,bxa 1x, ) 1(21ba1x,2x,1时x,)(axf时，1xxxf2)()(xf设0)(,xxf在讨论解解:)(lim0 xfx又xfxfx)0()(lim0所以 )(xf0 x在处连续. 即)(xf0 x在处可导 .xxx1sinlim20)0(0fxxx1sinlim000

5、,1sin2xxx0,0 x处的连续性及可导性. xxxx120sinlim0)0( f机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 正确使用导数及微分公式和法则 2. 熟练掌握求导方法和技巧(1) 求分段函数的导数注意讨论界点界点处左右导数是否存在和相等(2) 隐函数求导法对数微分法(3) 参数方程求导法极坐标方程求导(4) 复合函数求导法(可利用微分形式不变性)转化转化(5) 高阶导数的求法逐次求导归纳 ;间接求导法;利用莱布尼兹公式.机动 目录 上页 下页 返回 结束 , )(arctansin1sinxxxfeey其中)(xf可微 ,.y求解解:yd)d(sinsin xxee)d(sin

6、sinxxee)d(arctan)(arctan11xxf )d(sinsinsinxeexx)d(cossinxxxeee)d(11)(arctan1112xxxfxexexxd) sin(cossinxfxxd)(arctan1112xyyddxxee cos机动 目录 上页 下页 返回 结束 ，有定义时设)(0 xgx 且)(xg 存在, 问怎样选择cba,可使下述函数在0 x处有二阶导数.)(xf解解: 由题设)0(f 存在, 因此1) 利用)(xf在0 x连续, 即, )0()0()0(fff得)0(gc 2) 利用, )0()0(ff0)0()(lim)0(0 xgxgfx)0(

7、g0)0()(lim)0(20 xgcbxxafxb而)0( gb得0,2xcbxax0, )(xxg机动 目录 上页 下页 返回 结束 )0( gb3) 利用, )0()0( ff0)0()(lim)0(0 xgxgfx)0( g0)2(lim)0(0 xbbxafxa2而得)0(21 ga)0(gc )(xf0,2xcbxax0, )(xxg机动 目录 上页 下页 返回 结束 ) 10(1sin 222yytttx确定函数, )(xyy 求.dd22xy解解: :方程组两边对 t 求导,得txddt 2txddyttycos12dd故xydd)cos1)(1(ytt22 ttyddycostydd0) 1(2ttyddtxdd机动 目录 上页 下页 返回 结束 22ddxy)(ddddxyttxdd )()cos1)(1(ddyttt) 1(2t yttysin)