多元微积分：7-4数量积向量积

1、一、两向量的数量积一、两向量的数量积二、两向量的向量积二、两向量的向量积三、向量的混合积三、向量的混合积四、小结四、小结第四节第四节 数量积数量积 向量积向量积 混合积混合积一、两向量的数量积定义定义两个向量的夹角两个向量的夹角 ab ab( , )a b 0定义定义两向量的数量积两向量的数量积cosa ba b 其中其中 为两向量的夹角为两向量的夹角 |cosWFsF s 实例实例为什么要这样定义数量积？为什么要这样定义数量积？常力沿直线做功常力沿直线做功Fsab cos|baba |cos,Prjabb |cos,Prjbaa |.PrjPrjbaa bbaab数量积也称为数量积也称为“点

2、积点积”、“内积内积”. .结论结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模和另两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积一个向量在这向量的方向上的投影的乘积. .注注请记住关于数量积的说明：关于数量积的说明：0)2( ba.ba )(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0cos .ba .|)1(2aaa )(,ba , 0cos . 0cos| baba, 0 .|cos|2aaaaa 证证证证 ,2 ,2 数量积符合下列运算规律：数量积符合下列运算规律：（1 1）交换律）交换律：;abba （2 2）分配律）分配律：;)(cbcacba （3 3）若）若

3、为数为数： ),()()(bababa 若若 、 为数为数： ).()()(baba ,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 ikkjji, 1| kji. 1 kkjjiixxyyzza ba ba ba b数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式数量积的坐标计算公式数量积的坐标计算公式 cos|baba ,|cosbaba cos222222xxyyzzxyzxyza ba ba baaabbb 两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式ab0 xxyyzza ba ba b由此可知两向量垂直的充要条件

4、为由此可知两向量垂直的充要条件为解解ba )1(2)4()2(111 . 9 222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ,21 ajbbabPr|)3( . 3|Pr bbaajb .43 例例 2 2 证证明明向向量量c与与向向量量acbbca)()( 垂垂直直.证证cacbbca )()()()(cacbcbca )(cacabc 0 cacbbca )()(|FOQM sin|FOP 实例实例二、两向量的向量积LFPQO 向向量量a与与b的的向向量量积积为为 bac sin|bac (其中其中 为为a与与b的夹角的夹角)定义定义c的方向既垂直于的方向既垂直

5、于a，又垂直于，又垂直于b，指向符合，指向符合右手系右手系. .关于向量积的说明：关于向量积的说明：. 0)1( aa)0sin0( ba)2(/. 0 ba)0, 0( ba向量积也称为向量积也称为“叉积叉积”、“外积外积”.向量积符合下列运算规律：向量积符合下列运算规律：（1）.abba （2）分配律：分配律：.)(cbcacba （3）若若 为数：为数： ).()()(bababa )(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0sin , 0 )(0sin . 0sin| baba证证ba/ba/或或0 ,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(

6、kbjbibzyx ,kji , 0 kkjjii, jik , ikj ,kij . jki , ijk kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式向量积还可用三阶行列式表示向量积还可用三阶行列式表示zyxzyxbbbaaakjiba ba/zzyyxxbababa 由上式可推出由上式可推出zzyxbaaa 000, 0 yxaa补充补充xb、yb、zb不不能能同同时时为为零零，但但允允许许两两个个为为零零，例如，例如，abbac 例例 3 3 求求与与kjia423 ，kjib2 都都垂垂直直的的单单位位向向量量.解解zyxzy

7、xbbbaaakjibac 211423 kji,510kj , 55510|22 c|0ccc .5152 kj例例 4 4 在顶点为在顶点为)2 , 1, 1( A、)2 , 6, 5( B和和)1, 3 , 1( C的三角形中，求的三角形中，求AC边上的高边上的高BD.ABC解解D3, 4 , 0 AC0 , 5, 4 AB三角形三角形ABC的面积为的面积为|21ABACS 22216121521 ,225 | AC, 5)3(422 |21BDS | AC|521225BD . 5| BD例例 5 5 设向量设向量pnm,两两垂直，符合右手规则，且两两垂直，符合右手规则，且4| m，2

8、| n，3| p，计算，计算pnm )(.解解),sin(|nmnmnm , 8124 0),( pnm pnm )( cos|pnm .2438 依依题题意意知知nm 与与p同同向向，定义定义cbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa ,kajaiaazyx ,kbjbibbzyx 设设,kcjcicczyx 混合积的坐标表达式混合积的坐标表达式三、向量的混合积（1）向量混合积的几何意义：）向量混合积的几何意义：acbba 关于混合积的说明：关于混合积的说明：)2(cbacba )(acb )(.)(bac （3）三向量）三向量a、b、c共面共面. 0 cba 已知已知2 cba

9、， 计算计算)()()(accbba .解解)()()(accbba )()accbbbcaba ccbcccacba )(0)()(acbaacaaba )(0)()(0 0 0 0 cba )(cba )(2 2cba . 4 例例6例例 7 7 已知空间内不在一平面上的四点已知空间内不在一平面上的四点),(111zyxA、),(222zyxB、),(333zyxC、),(444zyxD, 求四面体的体积求四面体的体积.解解由由立立体体几几何何知知，四四面面体体的的体体积积等等于于以以向向量量AB、AC、AD为为棱棱的的平平行行六六面面体体的的体体积积的的六六分分之之一一.61ADACAB

10、V ,121212zzyyxxAB ,131313zzyyxxAC ,141414zzyyxxAD 14141413131312121261zzyyxxzzyyxxzzyyxxV 式中正负号的选择必须和行列式的符号一致式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.向量的数量积向量的数量积向量的向量积向量的向量积向量的混合积向量的混合积（结果是一个数量）（结果是一个数量）（结果是一个向量）（结果是一个向量）（结果是一个数量）（结果是一个数量）（注意共线、共面的条件）（注意共线、共面的条件）四、小结思考题思考题已已知知向向量量0 a，0 b，证证明明2222)(|bababa .思考题解答思考题解答)(

11、sin|,2222bababa )(cos1|,222baba 22|ba )(cos|,222baba 22|ba .)(2ba 练练 习习 题题7 7、设、设kjia23 ，kjib 2 , , 则则ba = _ = _， ba = _ = _ _ , , ba3)2( = _ = _, , ba2 = _ = _，),cos(ba = = _ _ ；8 8、设、设a= =kji 32, ,kjib3 和和,2jic 则则 bcacba)()( =_ =_ ,_ , )()(cbba _ _ ,_ , cba )( = _ = _ ._ .二二、 已已 知知cba,为为 单单 位位 向向

12、量量 ， 且且 满满 足足0 cba，计计算算accbba . .三三、设设质质量量为为 1 10 00 0 千千克克的的物物体体从从点点)8,1,3(1M沿沿直直线线移移动动到到点点)2,4,1(2M计计算算重重力力所所作作的的功功（长长度度单单位位为为米米，重重力力方方向向为为Z轴轴负负方方向向）. .四、四、 设设 4,1,2,2,5,3 ba，问，问 与与怎样的关系怎样的关系能使行能使行zba与与 轴垂直轴垂直 . .五、五、 应用向量证明：应用向量证明：1 1、 三角形的余弦定理；三角形的余弦定理；2 2、 直径所对的圆周角是直角直径所对的圆周角是直角 . .六、六、 已知已知cba,两两垂直，且两两垂直，且 cbascba 求求,3,2,1的长度的长度 与它和与它和cba,的夹角的夹角 . .七、七、 计算以向量计算以向量212eep 和和212eeq 为边的三角为边的三角形的面积，其中形的面积，其中1e和和2e是相互垂直的单位向量是相互垂直的单位向量 . .练习题答案练习题答案一、一、1 1、30 ； 2 2、3 3； 3 3、平行四边形的面积；、平行四边形的面积； 4 4、以、以cba,为邻边的平行六面体的体积；为邻边的平行六面体的体积； 5 5、零向