中考专题解析切线证明Word版

1、传播优秀word版文档 ，希望对您有帮助，可双击去除！专题解析切线证明切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径切线的性质定理的推论: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点切线的性质定理的推论: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径图1oabcd【例1】如图1，已知ab为o的直径，点d在ab的延长线上，bdob，点c在圆上，ca

2、b30º求证：dc是o的切线思路：要想证明dc是o的切线，只要我们连接oc，证明ocd90º即可证明：连接oc，bcab为o的直径，acb90ºcab30º，bcabobbdob，bcodocd90ºdc是o的切线【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线oabcd图22341【例2】如图2，已知ab为o的直径，过点b作o的切线bc，连接oc，弦adoc求证：cd是o的切线思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线也就是既要注意运用

3、圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理欲证明cd是o的切线，只要证明odc90º即可证明：连接odocad，13，24oaod，1234又obod，ococ，obcodcobcodcbc是o的切线，obc90ºodc90ºdc是o的切线图3oabcd231【例3】如图2，已知ab为o的直径，c为o上一点，ad和过c点的切线互相垂直，垂足为d求证：ac平分dab思路：利用圆的切线的性质与圆的切线垂直于过切点的半径证明：连接occd是o的切线，occdadcd，ocad12ocoa，1323ac平分dab【评析】已知一条直线是某圆的切线时，切线的位置一般是确定

4、的在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直切线【例4】如图1，b、c是o上的点，线段ab经过圆心o，连接ac、bc，过点c作cdab于d，acd=2bac是o的切线吗？为什么？解：ac是o的切线理由：连接oc，oc=ob，ocb=bcod是boc的外角，cod=ocb+b=2bacd=2b，acd=codcdab 于d，dco+cod=90°dco+acd=90°即ocacc为 o上的点，ac是o的切线【例5】 如图2，已知是abc的外接圆，ab是的直径，d是ab的延长线上的一点，aedc交dc的延长线于点e，且ac平分eab求证：de是

5、o的切线证明：连接oc，则oa=oc， cao=aco，ac平分eab，eac=cao=ac，aeco，又aede，code，de是o的切线二、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段，证明此垂线段的长等于半径【例6】 如图3，ab=ac，ob=oc，o与ab边相切于点d求证：ac是o的切线证明:连接od，作oeac，垂足为eab=ac,ob=ocao为bac角平分线，dao=eaoo与ab相切于点d，bdo=ceo=90°ao=aoadoaeo，所以oe=odod是o的半径，oe是o的半径o与ac 边相切【例7】 如图，在abc中，ab=ac，以ab为直径的o交bc于d

6、，交ac于e，b为切点的切线交od延长线于f.求证：ef与o相切.证明：连结oe，ad. ab是o的直径， adbc. 又ab=bc， 3=4. bd=de，1=2. 又ob=oe，of=of， bofeof（sas）. obf=oef. bf与o相切， obbf. oef=900. ef与o相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的 【例8】如图，ad是bac的平分线，p为bc延长线上一点，且pa=pd.求证：pa与o相切.证明一：作直径ae，连结ec.ad是bac的平分线， dab=dac. pa=pd， 2=1+dac. 2=b+dab， 1=b. 又b=e， 1=e ae是o的直径

7、， acec，e+eac=900. 1+eac=900. 即oapa. pa与o相切.证明二：延长ad交o于e，连结oa，oe. ad是bac的平分线， be=ce， oebc. e+bde=900. oa=oe， e=1. pa=pd， pad=pda. 又pda=bde, 1+pad=900 即oapa. pa与o相切说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.【例9】如图，ab=ac，ab是o的直径，o交bc于d，dmac于m求证：dm与o相切.证明一：连结od. ab=ac， b=c.ob=od，d1=b. 1=c. odac. dmac，dmod.dm与o相

8、切证明二：连结od，ad.ab是o的直径，adbc.又ab=ac, 1=2.c dmac，2+4=900oa=od，1=3.3+4=900.即oddm.dm是o的切线说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知.【例10】 如图，已知：ab是o的直径，点c在o上，且cab=300，bd=ob，d在ab的延长线上.求证：dc是o的切线证明：连结oc、bc. oa=oc， a=1=300.boc=a+1=600. 又oc=ob，obc是等边三角形.dob=bc.ob=bd， ob=bc=bd. occd. dc是o的切线.说明：此题解法颇

9、多，但这种方法较好.【例12】 如图，ab是o的直径，cdab，且oa2=od·op.求证：pc是o的切线.证明：连结oc oa2=od·op，oa=oc， oc2=od·op， . 又1=1， ocpodc. ocp=odc. cdab， ocp=900. pc是o的切线.说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的【例13】 如图，abcd是正方形，g是bc延长线上一点，ag交bd于e，交cd于f.求证：ce与cfg的外接圆相切.分析：此题图上没有画出cfg的外接圆，但cfg是直角三角形，圆心在斜边fg的中点，为此我们取fg的中点o，连结oc，证明ceoc即可得解.

10、证明：取fg中点o，连结oc. abcd是正方形， bccd，cfg是rt o是fg的中点， o是rtcfg的外心. oc=og， 3=g， adbc， g=4. ad=cd，de=de， ade=cde=450， adecde（sas） 4=1，1=3. 2+3=900, 1+2=900. 即ceoc. ce与cfg的外接圆相切二、若直线l与o没有已知的公共点，又要证明l是o的切线，只需作oal，a为垂足，证明oa是o的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”【例14】 如图，ab=ac，d为bc中点，d与ab切于e点.求证：ac与d相切.证明一：连结de，作dfac，f是垂足. ab是d的切线， deab. dfac， deb=dfc=900. ab=ac， b=c. 又bd=cd， bdecdf（aas） df=de. f在d上. ac是d的切线证明二：连结de，ad，作dfac，f是垂足.ab与d相切，deab.ab=ac，bd=cd，1=2.deab，dfac，de=df.f在d上.ac与d相切.说明：证明一是通过证明三角形全等证明df=de的，证明二是利用角平分线的性质证明df=de的，这类习题多数与角平分线有关.【例15】 已知：如图，ac，bd