《复变函数》第1章

1、复 变 函 数（第四版）电 子 教 案2021-10-31复变函数(第四版)第2页第一章 复数与复变函数1 复数及其代数运算1.复数的概念复变函数自变量为复数的函数.复变函数研究的中心对象: 解析函数复变函数论又称为解析函数论i 虚数单位 i 2 =1复数：z = x + iy (或 z = x + yi ), x, y 为实数实部：x = Re(z)虚部：y = Im(z)纯虚数：z = iy( y 0 )2021-10-31复变函数(第四版)第3页2. 复数的代数运算(1) 加(减)法: (2) 乘法: 按多项式法则相乘iyxiyx z = 0 x = y = 0z1= x1 + iy1

2、,z2= x2 + iy2 ,z1 = z2 x1 = x2 , y1 = y2注意：任意两个复数不能比较大小.z1= x1 + iy1 ,z2= x2 + iy2 ,共轭复数：z1 z2 =( x1 x2 ) + i ( y1 y2 )z1 z2 =( x1+ iy1 )( x2+ iy2 ) = ( x1 x2 y1 y2 ) + i( x2 y1+ x1 y2 ) 2021-10-31复变函数(第四版)第4页(3) 除法: 复数的运算满足交换律、结合律和分配律. (4) 共轭复数性质21zzz 2211iyxiyx)()(22222211iyxiyxiyxiyx2222211222222

3、121yxyxyxiyxyyxxi),2121zzzz,2121zzzz;2121zzzzii);zz iii);)Im()Re(22zzzziv), )Re(2zzz. )Im(2zizz2021-10-31复变函数(第四版)第5页证例1解:.2121zzzz)(221121iyxiyxzz)()(21122121yxyxiyyxx)(221121iyxiyxzz)()(21122121yxyxiyyxxP.4设 z1= 55i , z2= 3 + 4i , 求21zz与21zz21zzi515721zzi5157)4355(21iizz2021-10-31复变函数(第四版)第6页例2解:设

4、,131iiiz求 Re(z), Im(z)与.zz)1)(1 ()1 (3iiiiiiiz)2323(iii2123,23)Re(z,21)Im(z222123zz.252021-10-31复变函数(第四版)第7页2 复数的几何意义1. 复平面, 复数的其它表示法复数的加减法可用向量的三角形法则和平行四边形法则.(1) z = x + iy点( x, y )( 几何表示法 )直角坐标平面 xoy复平面.点与复数对应x 实轴y 虚轴(2) z = x + iy( 向量表示法 )OP向量模| OPzr22yx 由此:),(yxPxyor2021-10-31复变函数(第四版)第8页结论: 辐角:

5、辐角主值: , |zz ,22zzzz,zx ,zy ,|yxz 2121zzzz(两边之和大于第三边)|2121zzzz(两边之差小于第三边)zArg( z 0 )无穷多个, 相差2k .xyz )Argtan(zarg00kzz2argArgk = 0, 1, 2, 当z = 0时, | z | = 0 , 而辐角不确定. 2021-10-31复变函数(第四版)第9页Arg z的主值arg z (z 0)可由Arc tan 的主值arc tan 来确定:例:xyxy其中2arctan2xyz = 3 + 3i42argz.43) 1arctan(arg(z或1arctan4)43 (图示)

6、000arctan0020arctanarg00yxyxxyyxxxyz，二象限二象限在第一、四象限2021-10-31复变函数(第四版)第10页(3) 三角表示法(4) 指数表示法例iyxz)sin(cosir由欧拉公式sincosiei得irez 求3sin3cosiz和3cosi3sinz 的辐角主值.解:3sin3cosiz, )3sin()3cos(i3argz3cos3siniz, )32sin()32cos(i32argz62021-10-31复变函数(第四版)第11页例1解: 1)将下列复数化为三角表示式与指数表示式:1) iz2122) 5cos5siniz, 4412r)4

7、2412(4iz).2123(4i,23cos21sin.65(或122arctan33arctan65 z 在第三象限 ) 三角式:)65sin()65cos(4iz指数式:iez654书 P.72021-10-31复变函数(第四版)第12页解: 2)例2. 见书 P.8 ( 自阅 )续上页例 15cos5siniz)52sin()52cos(i103sin103cosi三角式: 103sin103cosiz指数式:iez1032021-10-31复变函数(第四版)第13页平面图形与复数形式方程例3通过两点 z1= x1+iy1与z2= x2+iy2的直线的方程解法一:由过两点(x1, y1

8、), (x2, y2)的直线的参数方程)()(121121yytyyxxtxx得复数形式的参数方程)(121zztzz)(t解法二:如图,z z1与z2 z1共线)(121zztzz即)(121zztzzz2ozz12021-10-31复变函数(第四版)第14页例4解: 1)解: 2)求下列方程所表示的曲线1) | z + i | = 2 ;2) | z 2i | = | z +2 | ;3). 4)Im( zi几何上看| z + i | = | z (i ) | = 2 :的距离为2的点轨迹, 即中心为(i ),半径为2的圆. 代数推导: 设 z = x + iy 则 | x + (y +

9、1)i | = 2x2 + (y + 1)2 = 4| z 2i | = | z +2 | 到点 2i 和2 距离连结2i 和2 的线段的垂直平分线.与点i相等的点轨迹 :| x +(y2)i | = | (x +2) + yi |x2 +(y2)2 = (x +2)2 + y2 y = x(见书P10 图1.5)2021-10-31复变函数(第四版)第15页解: 3)问: 续上页例 44)Im( zi4)Im(yixi1y = 4 y = 3| z +3 | + | z +1 | = 4 中 z 的轨迹?到定点 z = 3和 z = 1的距离和为常数 椭圆.(左焦点)(右焦点)2021-10

10、-31复变函数(第四版)第16页2. 复球面 任取一与复平面切于原点的球面, 原点称球面的南极, 过原点且垂直平面的直线与球面的交点称为球面的北极. 连接平面上任一点与球面北极的直线段与球面有一个交点, 又在平面上引入一个假想点与球面北极对应, 构成扩充复平面与球面点的一一对应, 即复数与球面上的点的一一对应, 球面称为复球面.2021-10-31复变函数(第四版)第17页规定:注:1.在高等数学中, 可以分为+和. 而在复 变函数中只有唯一的无穷远点. (这样才能 与复球面一一对应)2. 引入唯一无穷远点在理论上有重要意义. 可以作为复平面的唯一的边界点. 在扩充的复平面上, 直线可看成是一

11、个圆. | | = +, + = + = = = = = , 0,0.0）可为中（无特殊说明, 平面仍指有限平面.2021-10-31复变函数(第四版)第18页3 复数的乘幂与方根1. 乘积与商,111ierz 222ierz )(2121212121iiierrererzz)(121212ierrzz, | |. 12121zzzzTh2121ArgArg)(Argzzzz(两端可能值相等,即集相等 ),|. 21212zzzzTh1212ArgArgArgzzzz2021-10-31复变函数(第四版)第19页几何意义:特别:z1z2 : z1 逆时针旋转一个角度arg z2 , 并伸长 |

12、 z1| 到 | z2| 倍.:12zzz2 顺时针旋转一个角度arg z1 ,并伸长.|11倍zi z1 对 z1 实行一次旋转变换, 旋转角 .22021-10-31复变函数(第四版)第20页例1方法一:已知正三角形的两个顶点为 z1= 1 与z2 = 2 + i , 求它的另一个顶点. 解:设 z3 = x + yi |zz|zz|zz|zz|123212312) 1()2(2) 1(2222yxyx231233yx2021-10-31复变函数(第四版)第21页方法二:类似13112)3(3zzzzz得或旋转绕)(12313zzezzi)1)(2321(iii )2321()2321(i

13、z2312333，由)(12313zzezzi可得iz2312333续上页例 1(书P14 图1.8)Z3xy0Z1Z2Z3 /32021-10-31复变函数(第四版)第22页补例:证:若 | z1| = | z2| = | z3| . 求证 .arg21arg121323zzzzzz三点共圆)arg()arg(arg13231323zzzzzzzz= 12argargzz2Z1Z2Z32021-10-31复变函数(第四版)第23页2. 幂与根 棣莫弗(De Moivre)公式 z 的 n 次方根 :)sin(cosninrznn( n为负整数时亦成立)r = 1 :nininsincos)s

14、in(cosnkzw )2sin2cos(nkinkrn( k = 0, 1, 2, , n-1)为以原点为中心, nr为半径的圆的内接正n 边形的 n 个顶点.2021-10-31复变函数(第四版)第24页特别:补例1:1 的 n 次方根也叫 n 次单位根.1 的三次方根:, 10w,23211iw.23212iw x11 + x7 + x3 = x2 + x + 1解: x31 = (x1)(x2 + x + 1), 而 x2 + x + 1 = 0故 x 是一个三次单位根. 从而 x11 = x9 x2 = x2 , x7 = x ,x3 =1 .= 0已知 x2 + x + 1 = 0

15、 , 求 x11 + x7 + x3 的值.2021-10-31复变函数(第四版)第25页补例2:证:求证23sincos3cos3cos32sinsincos33sin易知3)sin(cos3sin3cosii)sincos3(cos23)sinsincos3(32i比较虚部与实部, 即得所证. 2021-10-31复变函数(第四版)第26页补例3:解:但(1 + z )5 = (1z )5 验证知 z1 .故原方程可写成:1115zz,11zzw令则 w5 = 1 .,52ikewk = 0, 1, 2, 3, 4,iew 即.58,56,54,52, 011wwz11iiee1sinco

16、s1sincosii)sin(coscos2)cossin(sin2222222ii2tani故原方程的根为:,tan2iz .58,56,54,52, 0解方程2021-10-31复变函数(第四版)第27页4 区域1. 区域的概念(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)zo的邻域: |zzo|的全体点. (半径为的圆域)模zo的去心邻域: 0 |zzo| M内点: zoG, zo的某个邻域属于G, zo为G的内点开集: 集内的每个点都是内点.连通集: 连接G内任意两点的折线也属于G.区域: 连通的开集.边界点: zo的任意一个邻域内既有属于G的点又有不属于G的点. zo为边界点。闭区域:

17、区域 + 边界 = G边界可以是曲线, 也可以是孤立点. 2021-10-31复变函数(第四版)第28页2. 单连通域与多连通域(1) 简单闭曲线:(2) 光滑曲线:设 z(t) = x(t) + i y(t)(atb)为复平面上一条连续曲线, ( x(t), y(t)连续)一条没有重点的连续曲线称为简单曲线或约当曲线, 如果简单曲线的起点与终点重合, 称为简单闭曲线.简单曲线自身不相交( t1 t2z(t1) z(t2) )称为光滑曲线.(a t b),0)()()()(22时连续且与当tytxtytx由几条光滑曲线依次连接而成的曲线, 称为按段光滑曲线.曲线 z = z(t) = x(t)

18、 + i y(t)2021-10-31复变函数(第四版)第29页(3) 单连通域:从几何上看:特征: 若属于区域G的任何简单闭曲线C的内部也属于G, 则称G为单连通域; 否则称为多连通域.单连通域即是无洞、无割痕的域.属于单连通域的任何一条简单闭曲线, 在域内可以经过连续变形而缩成一点. 常见曲线与区域:2021-10-31复变函数(第四版)第30页常见曲线与区域:2021-10-31复变函数(第四版)第31页1. 定义 设 G 是复平面上的一个点集, 如果有一个确定的法则存在, 按照这一法则,对于集合G中的每一个复数 z, 都有一个或几个复数w = u + i v 与之对应, 那么称复变数w

19、 是复变数 z 的函数 (简称复变函数), 记作w = f (z) 单值: 一个 z 对应 w 的一个值.多值: 一个 z 对应 w 的两个或两个以上的值.5 复变函数2021-10-31复变函数(第四版)第32页 一个复变函数确定了自变量为 x、y 的两个二元实变函数.例:z = x + y i ,w = f (z) = f (x + i y) = u + i v相当于两个关系式: u = u (x, y),v = v (x, y).z1w 令 z = x + i y , w = u + i v )1yixw（则yix 122yxyix对应两个二元实变函数对应两个二元实变函数即即z1w ,y

20、xxu22 22yxyv2021-10-31复变函数(第四版)第33页例: 涉及四个变量 x、y、u、v , 故不能用一个平面, 也不能用三维空间中的几何图形表示. 反映 z 平面上的一个点集 G (定义集合)到 w平面上一个点集 G* (函数值集合)的一个映射.x2 + y21zw1u2 + v21 几何意义:2021-10-31复变函数(第四版)第34页代入法：已知,1111)(2222yxyiyxxzf将其写成关于 z = x + i y 的解析式.,2zzxizzy2zzizzizzzzzf112112)(zz1补例:解: 常用的方法有三种.2021-10-31复变函数(第四版)第35

21、页设零法：将式中项凑成 x iy 的组合)(1)()(22iyxyxiyxzfzzzz1zz1设式中 y = 0, 得 f (x), 代回 f (z)最简单211)(xxxfxx1zzzf1)(拼凑法：2021-10-31复变函数(第四版)第36页Gz平面G*w平面z原象w象(映象)f映射w = f (z)今后不再区分函数与映射(变换). 若 G 与 G* 的映射是一一对应, 则有逆映射 z = (w). 即 w = f (w), z = f (z).2. 映射的概念2021-10-31复变函数(第四版)第37页(1) w = 关于实轴的一个对称映射 (将z与w重叠)z象与映象是关于实轴对称的

22、全同图形.例:2021-10-31复变函数(第四版)第38页(2) w = z2z = x + y i w = u + i v , u = x2y2 , v = 2xy.arg w = 2arg z 辐角增大一倍.角形域角形域2021-10-31复变函数(第四版)第39页z 平面:x2y2 = c1 ,2xy = c2(以 y = x 和坐标轴为渐近线的等轴双曲线):2wzw两族平行直线:u = c1 ,v = c2 .(图示见书 P24 图1.17 )2021-10-31复变函数(第四版)第40页1. 函数的极限(1) 定义:(2) 几何意义w = f (z)在 zo的去心邻域 0 |zzo

23、| 0, () 0, 使 0 |zzo| 时, 有| f (z)A | 0, 0, 当 0 | (x + i y) (xo + i yo ) | 时, | (u + i v) (uo + i vo ) | , ，时即2020)()(0yyxx| (uuo ) + i (vvo ) | . ，时2020)()(0yyxx| uuo | , | vvo | 0, 0, 有，时当2020)()(0yyxx,2|0uu2|0vv| f (z)A| = | (uuo ) + i (vvo ) | | uuo | + | vvo |22= Azfzz)(lim0证: 充分性.2021-10-31复变函数(

24、第四版)第44页由此知：复变函数极限的定义，形式上与一 元实函数类似，实质上却相当于二元函数的极限。（导致导数概念的苛刻）例:221lim ziz求22)(yixzxyiyx2223)(lim2221yxyx42lim21xyyxiziz43lim2212)21 (i2021-10-31复变函数(第四版)第45页Th2.同样有基本式:如果,)(lim0Azfzz.)(lim0Bzgzz则BAzgzfzz )()(lim) 10ABzgzfzz)()(lim)20)0()()(lim)30BBAzgzfzz,lim00zzzz）为常数ccczz(lim02021-10-31复变函数(第四版)第46页证:证明函数|)Re()(zzzf当 z 0 时的极限不存在.,iyxz令22)(yxxzf则22)(0)(0lim),(limyxxyxukxyxkxyx220)1 (limxkxx.112k它随 k 的不同而不同,.),(lim00不存在yxuyx.)(lim0不存在zfz例: 2021-10-31复变函数(第四版)第47页irez 设coscos)(rrzf则当 z 沿不同射线 ar