高考不等式历考题解析及专题讲解

1、 、不等式一、考试要求不等式是中学数学的重点内容，是进一步学习高等数学的基础知识和重要工具，因而也是数学高考的考查重点，在历年的高考数学试题中有相当的比重，这些试题不仅考查有关不等式的基本知识、基本技能、基本方法，而且注重考查逻辑思维能力、运算能力，以及分析问题和解决问题的能力.不等式的性质在解不等式、证不等式中的应用、证明不等式既是重点又是难点，要求掌握证明不等式的基本方法：作差比较法、综合法、分析法，重点掌握作差比较法.熟练掌握一元一次不等式（组）、一元二次不等式的解法，在此基础上掌握简单的无理不等式、指数不等式、对数不等式的解法.1、理解不等式的性质及其证明。2掌握两个（不扩展到三个）正

2、数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用。3掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。4掌握简单不等式的解法。5理解不等式|a|-|b|a+b|a|+|b|。6能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题 7通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识二、高考试题回放1（福建卷）不等式的解集是（ a ）abcd2（福建卷）下列结论正确的是（ b ）a当bc的最小值为2d

3、当无最大值3（湖北卷）对任意实数a，b，c，给出下列命题：“”是“”充要条件；“是无理数”是“a是无理数”的充要条件“a>b”是“a2>b2”的充分条件；“a<5”是“a<3”的必要条件.其中真命题的个数是（ b ）a1b2c3d44. （辽宁卷）6若，则的取值范围是（ c ）abcd5. （辽宁卷）在r上定义运算若不等式对任意实数成立，则（ c ）abcd6. (全国卷) 设，函数，则使的的取值范围是（b）（a）（b）（c）（d）7. （山东卷），下列不等式一定成立的是（ a ）（a）（b）（c）（d）8. （天津卷）9设是函数的反函数，则使成立的x的取值范围为（a

4、）a b c d 9. （天津卷）已知 ，则a2b2a2cb2a2b2c c2c2b2a d2c2a2b10. (重庆卷)不等式组的解集为(c ) (a) (0,)；(b) (,2)；(c) (,4)；(d) (2,4)。11.(江西卷）已知实数a、b满足等式下列五个关系式：0<b<a a<b<0 0<a<b b<a<0 a=b其中不可能成立的关系式有（ b ）a1个b2个c3个d4个7. (全国卷) （13）若正整数m满足，则m = 155 。三、考试题分析：1、（湖北卷）（本小题满分14分）已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设

5、数列的各项为正，且满足 （）证明（）猜测数列是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；（）试确定一个正整数n，使得当时，对任意b>0，都有解：（）证法1：当即 于是有 所有不等式两边相加可得 由已知不等式知，当n3时有，证法2：设，首先利用数学归纳法证不等式 （i）当n=3时， 由 知不等式成立.（ii）假设当n=k（k3）时，不等式成立，即则即当n=k+1时，不等式也成立.由（i）、（ii）知，又由已知不等式得 （）有极限，且 （）则有故取n=1024，可使当n>n时，都有四、例题分析：b)m，且对m中的其它元素(c，d)，总有ca，则a=_分析：读懂并能揭示问题中的数学实质

6、，将是解决该问题的突破口怎样理解“对m中的其它元素(c，d)，总有ca”？m中的元素又有什么特点？解：依题可知，本题等价于求函数x=f(y)=(y+3)·|y-1|+(y+3)(2)当1y3时，所以当y=1时，= 4解题回顾：题设条件中出现集合的形式，因此要认清集合元素的本质属性，然后结合条件，揭示其数学实质即求集合m中的元素满足关系式例2已知非负实数，满足且，则的最大值是（ ） a b c d 解：画出图象，由线性规划知识可得，选d解题回顾：注意数形结合思想的应用。例3数列由下列条件确定：（1）证明：对于,（2）证明：对于证明：（1）（2）当时，=。例4若二次函数y=f(x)的图象

7、经过原点，且1f(-1)2，3f(1)4，求f(-2)的范围分析：要求f(-2)的取值范围，只需找到含人f(-2)的不等式(组)由于y=f(x)是二次函数，所以应先将f(x)的表达形式写出来即可求得f(-2)的表达式，然后依题设条件列出含有f(-2)的不等式(组)，即可求解解：因为y=f(x)的图象经过原点，所以可设y=f(x)=ax2+bx于是解法一(利用基本不等式的性质)不等式组()变形得()所以f(-2)的取值范围是6，10解法二(数形结合)建立直角坐标系aob，作出不等式组()所表示的区域，如图6中的阴影部分因为f(-2)=4a-2b，所以4a-2b-f(-2)=0表示斜率为2的直线系

8、如图6，当直线4a-2b-f(-2)=0过点a(2，1)，b(3，1)时，分别取得f(-2)的最小值6，最大值10即f(-2)的取值范围是：6f(-2)10解法三(利用方程的思想)又f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)，而1f(-1)2，3f(1)4， 所以 33f(-1)6 +得43f(-1)+f(1)10，即6f(-2)10解题回顾：(1)在解不等式时，要求作同解变形要避免出现以下一种错解：2b，84a12，-3-2b-1，所以 5f(-2)11(2)对这类问题的求解关键一步是，找到f(-2)的数学结构，然后依其数学结构特征，揭示其代数的、几何的本质，利用不等式的基本性质、数形结

9、合、方程等数学思想方法，从不同角度去解决同一问题若长期这样思考问题，数学的素养一定会迅速提高例5设函数f(x)=ax2+bx+c的图象与两直线y=x，y=x，均不相交.试证明对一切都有.分析：因为xr，故|f(x)|的最小值若存在，则最小值由顶点确定，故设f(x)=a(x-x0)2+f(x0)证明：由题意知，a0设f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，则又二次方程ax2+bx+c=±x无实根，故1=(b+1)2-4ac0，2=(b-1)2-4ac0所以(b+1)2+(b-1)2-8ac0，即2b2+2-8ac0，即b2-4ac-1，所以|b2-4ac|1解题回顾：从上述几个例子可以看出，在证明与二次函数有关的不等式问题时，如果针对题设条件，合理采取二次函数的不同形式，那么我们就找到了一种有效的证明途径例7某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。为了保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？解：设2001年末的汽车保有量为，以后每年末的汽车保有量依次为，每年新增汽车万辆。由题意得五、专项训练：一、选择题1. 已知方程有一负根且无正根，则实数a的取值范围是a.