《轴对称图形与等腰三角形》全章复习与巩固(提高)知识讲解

1、轴对称图形与等腰三角形全章复习与巩固（提高）撰稿：常春芳【学习目标】1. 认识轴对称、轴对称图形，理解轴对称的基本性质及它们的简单应用；2. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法;3. 了解垂直平分线、角平分线的概念，掌握其性质定理及应用【知识网络】轴对称图形红段线段垂直平分线角平分线等腰三角形性质及判定轸边三角闿【要点梳理】 要点一、轴对称【高清课堂：389304轴对称复习，本章概述】1. 轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点

2、所连线段的垂直平分线要点诠释：轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合.一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定2.轴对称把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴成轴对称的两个图形的性质：要点诠释： 轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合.成轴对称的两个图形一定全等； 如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分 线； 两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上3.轴对称图形与

3、轴对称的区别和联系区别：轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形.要点二、作轴对称图形1作轴对称图形（1） 几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段 端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形2. 用坐标表示轴

4、对称点（x, y ）关于x轴对称的点的坐标为（x, y ）;点（x,y ）关于y轴对称的点 的坐标为（一x, y ）;点（x, y ）关于原点对称的点的坐标为（一 x , y ）.3. 对称轴的作法若两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.因此只要找到一对对应点，再作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴.轴对称图形的对称轴作法相同.要点诠释：在轴对称图形和成轴对称的两个图形中， 对应线段、对应角相等.成轴对称的两个图形， 如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上.如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线

5、对称要点三、等腰三角形1. 等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形（2 ）等腰三角形性质 等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”； 等腰三角形顶角的平分线、 底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45 ° .（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.2. 等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形（2） 等边三角形性质：等边三

6、角形的三个角相等，并且每个角都等于60° .（3）等边三角形的判定： 三条边都相等的三角形是等边三角形； 三个角都相等的三角形是等边三角形； 有一个角为60 °的等腰三角形是等边三角形 .3. 直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.要点四、线段垂直平分线、角平分线的性质定理1线段的垂直平分线性质定理定理1:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等定理2:到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上2.角平分线的性质定理定理1角平分线上的点到角两边的距离相等定理2角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上【典型

7、例题】类型一、轴对称的性质与应用1如图，由四个小正方形组成的田字格中, ABC的顶点都是小正方形的顶点.在田字格上画与 ABC成轴对称的三角形，且 顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形（不包含厶ABC本身）共有（）个 C.3个 D.4 个【思路点拨】 分别以正方形的对角线和田字格的十字线为对称轴，来找三角形【答案】C;【解析】先把田字格图标上字母如图，确定对称轴找出符合条件的三角形，再计算个数. HEC与厶ABC关于CD对称； FDB与厶ABC关于BE对称； GEDM ABC关于HF对称；关于AG对称的是它本身.所以共 3个.【总结升华】本题考查了轴对称的性质；确定对称轴然后找出成轴对称的三

8、角形是解题的关 键.举一反三:【变式】如图， ABC的内部有一点 P,且D, E, F是P分别以AB, BC, AC为对称轴的对称 点.若 ABC的内角/ A= 70°,/ B= 60°,/ C= 50°，则/ ADBZ BEOZ CFA =()A.180 °B.270°C.360°D.480°c【答案】c；解：连接AP, BP, CPD, E, F是P分别以AB BC, AC为对称轴的对称点/ ADB=Z APB / BEC=Z BPC / CFA=Z APC/ AD聊/ BEOZ CFA=Z APB+Z BPOZ APC

9、= 360°2、已知/ MON= 40° , P为/ MON内一定点,0M±有一点A, ON上有一点B,当厶PAB的周长取最小值时，求/ APB的度数.【思路点拨】 求周长最小，利用轴对称的性质，找到P的对称点来确定 A、B的位置，角度的计算，可以通过三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算【答案与解析】解：分别作P关于OM ON的对称点R, P2 ,连接RF2交0M于A, ON于 B.则厶PAB为符合条件的三角形 / MON= 40°/ Rpp2 = 14011/ RPA = - Z PAB,/ F2PB = - Z PBA.221 ( / PABZ P

10、BA)+Z APB= 140 °2 Z PABZ PBA 2 Z APB= 280 °Z PAB=Z P +Z RPA, Z PBA=Z P, +Z P,PBZ P +Z P2 + Z PPP2 = 180° Z APB= 100【总结升华】 将实际问题抽象或转化为几何模型，将周长的三条线段的和转化为一条线段, 这样取得周长的最小值 举一反三:【变式】如图，在五边形 ABCDEKZ BAE= 120°,Z B=Z E= 90°, AB= BC, AE= DE 在AMNZ ANM的度数为BC DE上分别找一点 M, N,使得 AMN勺周长最小时，

11、则Z【答案】110120 ° D . 130( )A 100 °BC；提示：找A点关于BC的对称点A1，关于ED的对称点A2，连接A1A2，交BC于M 点，ED于 N点，此时 AMN周长最小.Z AMNbZ ANMk 180°-Z MAN 而 2Z BAMkZ AMN 2Z EAN=Z ANM Z BAWZ EANFZ MAN= 120° ,所以Z AMNbZ ANMk 120° .类型二、等腰三角形的性质与判定3、如图，在 ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且 BE = AC，延长 BE交AC于F.求证：AF = EF【思路点拨

12、】 证AF = EF，只需证明/ FAE = Z AEF，考虑中线倍长，构造全等三角形、等 腰三角形【答案与解析】证明：延长 AD至U H使DH = AD，连接BH。/ AD是BC边上的中线， BD = CD在厶 ADC 和厶 HDB 中，BD = DC，/ BDH =Z CDA ,=HD , ADC HDB ,/ 1=Z H , BH = ACBE = BH ,/ BE = AC , 3=Z H,1 =Z 3又/ 2 =Z 3,/ 1=Z 2, AF = EF举一反三:【变式】已知，如图,求证：AM1JAB + AC).AD为厶ABC的内角平分线，且 AD = AB , CM丄AD于M.A【

13、答案】证明：延长AM至点E,使ME = AM，连结CE.v AM ME,CM AE, AC CE. E CAM.v AD平分 BAC, CAM BAM. E BAM. AB/ CE. BBCE.v AB AD,二 BADB.又v CDE ADB,二 CDE BCE.二 DE CE.二 2AM AE AD DE AB AC.1 AM AB AC2类型三、等边三角形的综合应用4、如图所示，已知等边三角形 ABC中，点D, E, F分别为边 AB, AC , BC的中点，M为直线BC上一动点， DMN为等边 三角形.（1）如图（1）所示，当点M在点B左侧时，请你判断 EN与MF有怎样的数量关系？点

14、F是否在直线NE 上?（2）如图（2）所示，当点M在BC上时，其他条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图（2）证明；若不成立，请说明理由.【答案与解析】 解：(1)EN = MF，点F在直线 NE 上.证明：连接DF, DE ,/ ABC是等边三角形，AB = AC = BC .又 D , E, F是厶ABC三边的中点， DE , DF, EF为三角形的中位线.DE = DF = EF,Z FDE = 60°.又/ MDN +Z NDF = Z MDF，/ NDF + Z FDE =Z NDE ,/ DMN 为等边三角形， DM = DN，/ MD

15、N = 60°/ MDF =Z NDE .DF DE在厶DMF和厶DNE中， MDF NDE ,DM DN DMF 也厶 DNE ,MF = NE, / DMF =Z DNE ./ DMF + 60° =/ DNE + / MFN/ MFN = 60° FN / AB ,又 EF / AB , E、F、N在同一直线上.(2)成立证明：连结 DE , DF, EF,/ ABC是等边三角形，AB = AC = BC .又 D , E, F是厶ABC三边的中点， DE , DF, EF为三角形的中位线.DE = DF = EF, / FDE = 60°.又/

16、MDF +/ FDN = 60°,/ NDE + / FDN = 60 / MDF =/ NDE .DF DE在厶DMF和厶DNE中， MDF NDE ,DM DN DMF DNE ,MF = NE.【总结升华】此题综合应用了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定全等是证明线段相等的重要方法（2）题的证明可以沿用（1）题的思路.11半得到CM=-AB=BM再根据在直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半得到CB=-22AB=BM则CM=CB而D为MB的中点，根据等腰三角形的性质即可得到结论.【答案与解析】证明：/ ACB=9C° , M为 AB中点，1

17、CMd AB=BM2/ ACB=90，/ A=30°,1 CB= AB=BM2 CM=CB/ D为MB的中点， CD! BM 即 CDL AB.【总结升华】 本题考查了含30°的直角三角形的性质：30°所对的边等于斜边的一半；也考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及等腰三角形的性质.举一反三：【变式】如图，在ABC中，BA=B（CZB=120°,AB的垂直平分线MN交AC于D,求证：AD= -DCAZB【答案】解：如图，连接DB/ MN是AB的垂直平分线， AD=DB/ A=Z ABD/ BA=BC / B=120°1/ A=Z C=_

18、 (180 ° -120 ° ) =30°2/ ABD=30 ,又/ ABC=120 ,/ DBC=120 -30 ° =90 °,1 BD=_ DC21 AD= DC2类型五、线段垂直平分线性质定理及应用6、如图，已知 AB=AD BC=DC BD交 AC于点O,请分别说明下列判断成立的理由:(1 ) ABCA ADC【思路点拨】(1)再加上公共边 AC,即可利用SSS证明；(2)由(1)中的结论可判断出点 A、C均在BD的垂直平分线上.【答案与解析】证明：(1)v AB=AD BC=DC AC=AC ABCA ADC(2)v ABCA ADC AB=AD BC=CD点A C在线段BD的垂直平分线上. AC是线段BD的垂直平分线.【总结升华】注意两个三角形中的公共边通常是证两个三角形全等隐含的条件.需注意与-条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，但两点确定一条直线.举一反三【变式】用圆规和直尺作图，在/DEC中找一点P,使点P到/ DEC两边的距离相等，并且到M、N两点的距离也相等(保留作图痕迹).