数列知识点总结及题型归纳含答案共15页

1、数列一、等差数列题型一 、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数 列就叫等差数列 ，这个 常数叫 做等差数 列的公差，公 差通常用 字母 d 表示。 用递推 公式表示 为a a 1 d(n 2) 或 an 1 an d(n 1)。n n例：等差数列 a 2n 1 n ， an an 1题型二 、等差数列的通项公式：a a1 (n 1)d ；n说明：等差数列（通常可称为 a p 数列）的单调性： d 0为递增数列， d 0为常数列， d 0 为递减数列。例： 1. 已知等差数列 an 中， a7 a9 16，a4 1，则 a12 等于（

2、 ）a15 b 30 c 31 d 642. a 是首项 a1 1，公差 d 3的等差数列，如果 an 2005，则序号 n 等于n（a）667 （b）668 （c）669 （d）6703. 等差数列 a 2n 1,b 2n 1n ，则 an 为 bn 为 （填“递增数列”或n“递减数列” ）题型三 、等差中项的概念：定义：如果 a ， a，b 成等差数列，那么 a叫做 a 与 b的等差中项。其中aa b2a ， a，b 成等差数列a ba 即： 2an 1 an an 2 （ 2an an m an m ）2例：1设a 是公差为正数的等差数列，若 a1 a2 a3 15， a1a2a3 80

3、 ，则 a11 a12 a13 （ ）na120 b 105 c90 d 752. 设数列 a 是单调递增的等差数列，前三项的和为 12，前三项的积为 48，则它的首项是（ ）na1 b.2 c.4 d.8题型四 、等差数列的性质：（1）在等差数列a 中，从第 2 项起，每一项是它相邻二项的等差中项；n（2）在等差数列a 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；n（3）在等差数列a 中，对任意 m ，n n ， an am (n m)d ，nda an mn m(m n) ；（4）在等差数列a 中，若 m ， n， p ，q n 且 m n p q ，则 am an ap aq ；nn(a a

4、 ) n(n 1) 1 d题型五 、等差数列的前 n 和的求和公式： 1n 2s na d n a ）n（n 1 12 2 2 2。2 bn a b为常数( sn ( , ) an 是等差数列 )an递推公式：sn(a1 a n (a a ( 1) )n)m n mn2 2例：1. 如果等差数列a 中， a3 a4 a5 12 ，那么 a1 a2 . a7n（a） 14 （b） 21 （c） 28 （d）352.设sn 是等差数列a 的前 n项和，已知 a2 3 ， a6 11，则s7 等于 ( )na13 b 35 c 49 d 633. 已知a 数列是等差数列， a10 10 ，其前 10

5、项的和 s10 70，则其公差 d 等于 ( )n2 1a b c.3 313d.234. 在等差数列 an 中， a1 a9 10 ，则a5 的值为（ ）（a）5 （b）6 （c） 8 （d）105. 若一个等差数列前 3项的和为34，最后 3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）a.13项b.12项c.11项d.10 项6. 已知等差数列a 的前 n项和为s ，若n ns12 21，则a a a a2 5 8 117.设等差数列s9a 的前 n项和为sn ，若 a5 5a3 则ns58.设等差数列 an 的前 n项和为sn ，若 s9 72 ,则a2 a4 a9 =9.设

6、等差数列a 的前 n项和为sn , 若 a6 s3 12 ,则ann10已知数列 bn是等差数列， b1=1，b1+b2+ +b10=100. ，则bn=11设 an为等差数列， sn为数列 an的前 n项和，已知 s77， s1575，tn为数列sn 的前 n 项n和，求 tn。12. 等差数列a 的前 n项和记为sn ，已知 a10 3 0， a20 50 求通项an ；若 sn =242，求 nn13. 在等差数列 a 中，（1）已知 s8 48, s12 168,求 a1和d ；（2）已知 a6 10, s5 5,求 a8和s8 ；n(3) 已知 a3 a15 40,求s17题型六 .

7、对于一个等差数列：（1）若项数为偶数，设共有 2n项，则 s偶 s奇 nd ； s a奇ns a偶n1；（2）若项数为奇数，设共有 2n 1项，则 s奇 s偶 an a 中 ；中 ；s n奇s n偶1。题型七 . 对与一个等差数列，sn , s2 s ,s3 s2 仍成等差数列。n n n n例：1. 等差数列 an的前 m项和为 30，前 2m项和为 100，则它的前 3m项和为（ ）a.130 b.170 c.210 d.2602. 一个等差数列前 n 项的和为 48，前 2 n 项的和为 60，则前 3n 项的和为 。3已知等差数列a 的前 10 项和为 100，前 100 项和为 10

8、，则前 110 项和为n4. 设s 为等差数列na 的前 n项和， s4 1 4，s10 s7 30，则s9 =ns5设 sn 是等差数列 an的前 n 项和，若 3s613，则s6s12a310b13c 18d19题型八 判断或证明一个数列是等差数列的方法：定义法： an 1 a d(常数）（ n n ） an 是等差数列n中项法： 2 1 a a n n )an （ an 是等差数列n n 2通项公式法： a kn b (k,b为常数 )n an 是等差数列2 bn a b为常数 前 n项和公式法： ( , )s ann an 是等差数列 例：1. 已知数列 a 满足 an an 1 2

9、，则数列 an 为 （ ）na. 等差数列 b. 等比数列 c. 既不是等差数列也不是等比数列 d. 无法判断2. 已知数列 a 的通项为 an 2n 5 ，则数列 an 为 （ ）na. 等差数列 b. 等比数列 c. 既不是等差数列也不是等比数列 d. 无法判断23. 已知一个数列 a 的前 n 项和 sn 2n 4 ，则数列 an 为（ ）na. 等差数列 b. 等比数列 c. 既不是等差数列也不是等比数列 d. 无法判断4. 已知一个数列 a 的前 n 项和n2s 2nn ，则数列 an 为（ ）a. 等差数列 b. 等比数列 c. 既不是等差数列也不是等比数列 d. 无法判断5. 已

10、知一个数列 a 满足 an 2 2an 1 an 0 ，则数列 an 为（ ）na. 等差数列 b. 等比数列 c. 既不是等差数列也不是等比数列 d. 无法判断26设 sn 是数列 an 的前 n 项和，且 sn=n ，则 an 是（ ）a. 等比数列，但不是等差数列 b. 等差数列，但不是等比数列c.等差数列，而且也是等比数列 d. 既非等比数列又非等差数列7. 数列a 满足 a1 =8， a4 2，且 an 2 2an 1 an 0 （ n n ）n求数列a 的通项公式；n题型九 . 数列最值（1） a1 0， d 0 时， sn 有最大值； a1 0 ， d 0时， sn 有最小值；（

11、2） sn 最值的求法：若已知 sn ， sn 的最值可求二次函数2s an bn 的最值；n可用二次函数最值的求法（ n n ）；或者求出a 中的正、负分界项，即：n若已知a ，则sn 最值时n 的值（ n n ）可如下确定nanan100或anan100。1.设 an（nn n 是其前 n项的和，且 s5s6，s6s7s8，则下列结论错误的是（ ）* ）是等差数列， sa. d0 b. a70 c. s9s5 d. s6 与 s7均为sn 的最大值2等差数列a 中， a1 0，s9 s12 ，则前项的和最大。nn3已知数列 an 的通项n9899（ n n ），则数列 an 的前 30项中

12、最大项和最小项分别是4设等差数列a 的前 n项和为sn ，已知 a3 12， s12 0， s13 0n求出公差 d 的范围，指出s1，s ， ， s 中哪一个值最大，并说明理由。2 125. 已知 a 是等差数列，其中 a1 31，公差 d 8。n（ 1）数列 a 从哪一项开始小于 0？n（ 2）求数列 a 前 n项和的最大值，并求出对应 n的值n6. 已知 a 是各项不为零的等差数列，其中 a1 0 ，公差 d 0 ，若 s10 0, 求数列 an 前 n项和的最大值n7. 在等差数列 a 中， a1 25， s17 s9 ，求 sn 的最大值n题型十 . 利用ans (n 1)1s s

13、(n 2)n n 1求通项1.设数列 a 的前 n项和n2s n ，则a8 的值为（ ）n（a） 15 (b) 16 (c) 49 （d） 642已知数列2 na 的前 n项和 sn 4 1，则nn3. 数列 a 的前 n项和n2 1s n （1）试写出数列的前 5 项；（2）数列 an 是等差数列吗？（ 3）你能写出数n列 a 的通项公式吗？n14. 已知数列 an 中， a1 3，前n和 ( 1)( 1) 1sn n an2求证：数列a 是等差数列n求数列a 的通项公式n等比数列等比数列定义一般地， 如果一个数列从第二项起 ，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列

14、，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母 q表示 (q 0) ，即： an 1： an q(q 0) 。一、递推关系与通项公式n 1 n m递推关系： 通项公式： 推广：a 1 a q a a1 q a a qn n n n m1. 等比数列 an 中，a28，a164，则公比 q 为（ ）（a）2 （b）3 （c）4 （d）82. 在各项都为正数的等比数列 a 中，首项 a1 3，前三项和为 21，则 a3 a4 a5 （ ）na 33 b 72 c 84 d 1893. 在等比数列a 中, a1 4, q 2，则 ann4. 在等比数列 an 中,3a7 12,q 2 , 则a19 _

15、.5.在等比数列 an 中， a2 2 ，a5 54 ，则 a8 =2 二、等比中项：若三个数 a, b,c 成等比数列，则称 b 为a与c的等比中项，且为 b ac b ac，注： 是成等比数列的必要而不充分条件 .1. 2 3 和2 3 的等比中项为 ( )( a)1 (b) 1 (c) 1 (d)22. 设a 是公差不为 0 的等差数列， a1 2 且 a1,a3,a6 成等比数列，则 an 的前 n 项和 sn =（ ）na2 7n n4 4b2 5n n3 3c2 3n n2 4d2n n三、等比数列的基本性质，1. （1）若m n p q，则am an ap aq (其中m, n,

16、 p, q n )a2 a a n n n ，m n（2） ( )q an n m n mam（3） an 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列 .（4）a 既是等差数列又是等比数列 an 是各项不为零的常数列 .n1在等比数列a 中, a1和 a10 是方程n22x 5x 1 0 的两个根 , 则 a4 a7 ( )(a)52(b)22(c)12(d)122. 等比数列 a 的各项为正数，且 a5a6 a4a7 18,则log3 a1 log 3 a2 l log3 a10 （ ）na 12 b 10 c 8 d 2+ log3 53. 已知等比数列 a 满足 an 0,n 1,2

17、,l ，且n2na5 a2 5 2 (n 3)，则当 n 1时，nlog a log a l log a n （ ）2 1 2 3 2 2 1a. n (2n 1) b.2(n 1) c.2n d.2(n 1)4. 在等比数列a ，已知 a1 5， a9 a10 100 ，则 a18 =n5. 在等比数列 an 中，a1 a 33，a a 32，an an6 3 41求a 若ntn lg a1 lg a2 lg a ,求tn n四、等比数列的前 n 项和，na (q 1)1ns a (1 q ) a anq1n 11 q 1 q(q 1)例：1设4 7 10 3n 10f (n) 2 2 2

18、2 l 2 (n n) ，则 f (n) 等于（ ）a 2 (8n 1) b 2 (8n 1 1) c 2 (8n 3 1) d 2(8 4 1)n7 7 7 72. 已知等比数列 a 的首相 a1 5 ，公比 q 2 ，则其前 n 项和 snn3. 已知等比数列 a 的首相 a1 5 ，公比n1q ，当项数 n 趋近与无穷大时，其前 n 项和 sn24设等比数列 a 的公比为 q，前 n 项和为 sn，若 sn+1,sn，sn+2 成等差数列，则 q 的值为 . n5. 设等比数列 a 的前 n 项和为 sn ，已 a2 6, 6a1 a3 30 ，求 an 和 snn6设等比数列 an的前 n 项和为 sn，若 s3s62s9，求数列的公比 q；五. 等比数列的前 n 项和的性质若数列a 是等比数列， sn 是其前 n 项的和，n*k n ，那么 sk ， s2k sk ，s3k s2k 成等比数列 .1 设等比数列 an 的前 n 项和为 sn ，若s6s3=3 ，则s9s6=( )7 8a. 2 b. c. d.33 32. 一个等比数列前 n 项的和为 48，前 2 n 项的和为 60，则前 3 n 项的和为（ ）a83 b 108 c 75 d 633. 已知数列 an 是等比数列，且 sm