竞赛辅导第二讲函数

1、xyx11x第二讲 函数教学目标：掌握函数的性质，掌握数形结合的思想教学重点：函数的性质教学难点：数形结合的思想教学过程:一、数形结合法。例1 求方程|x-1|=的正根的个数.【解】 分别画出y=|x-1|和y=的图象，由图象可知两者有唯一交点，所以方程有一个正根。练习1已知f(x)=|x+a|，当x3时f(x)为增函数，则a的取值范围是_。练习2已知y=f(x)是定义域为-6，6的奇函数，且当x0，3时是一次函数，当x3，6时是二次函数，又f(6)=2，当x3，6时，f(x)f(5)=3。求f(x)的解析式。二、函数性质的应用。例2 设x, yr，且满足，求x+y.【解】 设f(t)=t3+

2、1997t，先证f(t)在（-，+）上递增。事实上，若a<b，则f(b)-f(a)=b3-a3+1997(b-a)=(b-a)(b2+ba+a2+1997)>0，所以f(t)递增。由题设f(x-1)=-1=f(1-y)，所以x-1=1-y，所以x+y=2.例3 解方程：(3x-1)()+(2x-3)(+1)=0.【解】 令m=3x-1, n=2x-3，方程化为m(+1)+n(+1)=0. 若m=0，则由得n=0，但m, n不同时为0，所以m0, n0.)若m>0，则由得n<0，设f(t)=t(+1),则f(t)在（0，+）上是增函数。又f(m)=f(-n)，所以m=-n

3、，所以3x-1+2x-3=0，所以x=)若m<0，且n>0。同理有m+n=0,x=,但与m<0矛盾。综上，方程有唯一实数解x=练习3. 函数f(x)=的奇偶性是：_奇函数，_偶函数（填是，非）。练习4函数f(x)满足=1-，则 f()=_ _ _。三.求函数的值域的方法（1） 单调性例题4求函数y=x+的值域。（2）配方法。例4 求函数y=x+的值域。【解】 y=x+=2x+1+2+1-1=(+1)-1-1=-.当x=-时，y取最小值-，所以函数值域是-，+）。练习5求函数 y=x+2的值域; （3）换元法。例5 求函数y=(+2)(+1),x0,1的值域。【解】令+=u，因

4、为x0,1，所以2u2=2+24,所以u2,所以2，12，所以y=,u2+2，8。所以该函数值域为2+，8。练习6求函数y=的值域（4）判别式法。例6 求函数y=的值域。【解】由函数解析式得(y-1)x2+3(y+1)x+4y-4=0. 当y1时，式是关于x的方程有实根。所以=9(y+1)2-16(y-1)20，解得y1.又当y=1时，存在x=0使解析式成立，所以函数值域为，7。练习7求函数y=的值域第三讲 二次函数教学目标：掌握二次函数的图像与性质教学重点：二次函数的性质教学难点：二次函数的图像的应用教学过程：1方程的思想。例1 已知f(x)=ax2-c满足-4f(1)-1, -1f(2)5

5、，求f(3)的取值范围。【解】 因为-4f(1)=a-c-1,所以1-f(1)=c-a4.又-1f(2)=4a-c5, f(3)=f(2)-f(1),所以×(-1)+f(3)×5+×4,所以-1f(3)20.2定义在区间上的二次函数的最值。例2 当x取何值时，函数y=取最小值？求出这个最小值。【解】 y=1-,令u,则0<u1。y=5u2-u+1=5,且当即x=3时，ymin=.例3 设变量x满足x2+bx-x(b<-1)，并且x2+bx的最小值是，求b的值。【解】 由x2+bx-x(b<-1)，得0x-(b+1).)-(b+1)，即b-2时，x

6、2+bx的最小值为-，所以b2=2，所以（舍去）。) ->-(b+1)，即b>-2时，x2+bx在0，-(b+1)上是减函数，所以x2+bx的最小值为b+1,b+1=-,b=-.综上，b=-.3.一元二次不等式问题的解法。例8 已知不等式组 的整数解恰好有两个，求a的取值范围。【解】 因为方程x2-x+a-a2=0的两根为x1=a, x2=1-a,若a0，则x1<x2.的解集为a<x<1-a，由得x>1-2a.因为1-2a1-a，所以a0,所以不等式组无解。若a>0，）当0<a<时，x1<x2,的解集为a<x<1-a.因为

7、0<a<x<1-a<1，所以不等式组无整数解。）当a=时，a=1-a，无解。）当a>时，a>1-a，由得x>1-2a，所以不等式组的解集为1-a<x<a.又不等式组的整数解恰有2个，所以a-(1-a)>1且a-(1-a)3，所以1<a2，并且当1<a2时，不等式组恰有两个整数解0，1。综上，a的取值范围是1<a2.练习：1. 不等式ax2+(ab+1)x+b>0的解是1<x<2，则a, b的值是_.2. r为全集，a=x|3-x4, b=, 则(cra)b=_.3. 设a, b是整数，集合a=(x,

8、y)|(x-a)2+3b6y，点（2，1）a，但点（1，0）a，（3，2）a，则a,b的值分别是_.4. 求使不等式ax2+4x-1-2x2-a对任意实数x恒成立的a的取值范围。5若关于x的方程4x2-4x+m=0在-1，1上至少有一个实根，则m取值范围是_.第二讲 函数一、数形结合法。例1 求方程|x-1|=的正根的个数.二、函数性质的应用。例2 设x, yr，且满足，求x+y.例3 解方程：(3x-1)()+(2x-3)(+1)=0.三.求函数的值域的方法（1） 单调性例4 求函数y=x+的值域。（2）配方法。例5 求函数y=x+的值域。（3）换元法。例6 求函数y=(+2)(+1),x0

9、,1的值域。（4）判别式法。例7 求函数y=的值域。练习1已知f(x)=|x+a|，当x3时f(x)为增函数，则a的取值范围是_。2已知y=f(x)是定义域为-6，6的奇函数，且当x0，3时是一次函数，当x3，6时是二次函数，又f(6)=2，当x3，6时，f(x)f(5)=3。求f(x)的解析式。3. 函数f(x)=的奇偶性是：_奇函数，_偶函数（填是，非）。4函数f(x)满足=1-，则 f()=_ _ _。5求函数 y=x+2的值域; 6求函数y=的值域7求函数y=的值域第三讲 二次函数二、方法与例题1方程的思想。例1 已知f(x)=ax2-c满足-4f(1)-1, -1f(2)5，求f(3)的取值范围。2定义在区间上的二次函数的最值。例2 当x取何值时，函数y=取最小值？求出这个最小值。例3 设变量x满足x2+bx-x(b<-1)，并且x2+bx的最小值是，求b的值。3.一元二次不等式问题的解法。例4 已知不等式组 的整数解恰好有两个，求a的取值范围。练习：1. 不等式ax2+(ab+1)x+b>0的解是1<x<2，则a, b的值是_.2. r为全集，a=x|3-x4, b=, 则(cra)