大学物理第四章之流体力学

1、第三节第三节 理想流体的流动理想流体的流动流体流体: 液体和气体的各个部分间可以作相对液体和气体的各个部分间可以作相对运动运动,液体和气体的这种性质称流动性液体和气体的这种性质称流动性,液体和气液体和气体统称流体体统称流体.流动性是流体区别于固体的重要特流动性是流体区别于固体的重要特征征.流体力学流体力学: 研究流体的运动规律及流体与相邻研究流体的运动规律及流体与相邻固体之间相互作用规律的科学固体之间相互作用规律的科学.一一 理想流体的定常流动理想流体的定常流动1.流体的性质流体的性质-四四 性性（1）流动性）流动性 （2）连续性）连续性 （3）可压缩性）可压缩性 （4）粘滞）粘滞 性性 如果

2、把流体看作是由无数个小质元构成如果把流体看作是由无数个小质元构成,各质元各质元之间没有间隙之间没有间隙.流体可压缩流体可压缩,但不同种类的流体差别非常大但不同种类的流体差别非常大;问题是如何压缩流体问题是如何压缩流体?密闭容器密闭容器.如何鉴别清水、糖水和盐水？如何鉴别清水、糖水和盐水？ 粘滞性是不同部分流体质元之间的摩擦力粘滞性是不同部分流体质元之间的摩擦力,由由于这种摩擦发生在流体的内部于这种摩擦发生在流体的内部,所以叫做内摩擦力所以叫做内摩擦力.2.理想流体的稳定理想流体的稳定(定常定常)流动流动（1）理想流体）理想流体:不可压缩不可压缩,没有粘滞性的流体没有粘滞性的流体.（2）稳定流动

3、）稳定流动: 若流体空间各点的速度分布若流体空间各点的速度分布不随时间变化不随时间变化,则该流动称稳定流动则该流动称稳定流动.（3）流线）流线: 光滑曲线光滑曲线,曲线上各点的切线方向都与该点曲线上各点的切线方向都与该点的流速方向一致的流速方向一致,所以流线实际上是流体职员的所以流线实际上是流体职员的运动轨迹运动轨迹.（4）流管）流管: 由流线围成的管子称流管由流线围成的管子称流管.细流管细流管 ： 任一横截面上各点的物理量相同或近似任一横截面上各点的物理量相同或近似相同的流管。相同的流管。稳定流动的流线也是稳定的稳定流动的流线也是稳定的. . 在稳定流动的不可压缩流体中取一细流管在稳定流动的

4、不可压缩流体中取一细流管,在在其上任取两个横截面其上任取两个横截面s1和和s2 ,设设s1 和和s2 处的流速分处的流速分别为别为v1 和和v2 ,则在单位时间内流过则在单位时间内流过s1 的流体体积为的流体体积为s1v1 ,流过流过s2 的流体体积为的流体体积为s2v2 ,则则2211ss1s3. 连续性原理连续性原理 由于两截面是任取的由于两截面是任取的,所以对同一流管中任意截面处所以对同一流管中任意截面处,上式都成立上式都成立,即有即有qvs vs 是单位时间内流过截面是单位时间内流过截面s 的流体体积的流体体积,称流量称流量,用用q 表示表示.连续性原理连续性原理: 不可压缩的流体作稳

5、定流动时不可压缩的流体作稳定流动时,同一流同一流管中任一横截面处的流量相等管中任一横截面处的流量相等. 由连续性原理可知由连续性原理可知,流管的截面积大处流速流管的截面积大处流速小小,截面积小处流速大截面积小处流速大. 二二. 理想流体的伯努利方程理想流体的伯努利方程设理想流体在重力场中作稳定流动设理想流体在重力场中作稳定流动,在流体中取一细在流体中取一细流管流管,在其上选在其上选a1b1 段流体为研究对象段流体为研究对象,该段流体经该段流体经t 时间流动到时间流动到 a2b2 位置位置,其机械能的改变量为其机械能的改变量为1122babaeee)()(12212112baaabbbaeeee

6、2121aabbee)21()21(11121112222222tghvstvvstghvstvvs11212222)21()21(vghvvghv该流段所受合外力作的功为该流段所受合外力作的功为2211222111vpvptvsptvspa 由功能原理由功能原理 得得22221211ghv21pghv21p 由于流段是任取的由于流段是任取的,所以对同一流管上任意横截所以对同一流管上任意横截 面处面处都有下式成立都有下式成立,该式称伯努利方程该式称伯努利方程.恒恒量量 ghv21p2 :p上式中上式中:单位体积流体的压强能单位体积流体的压强能;:212v恒恒量量 ghv21p2 :gh单位体积

7、流体的动能单位体积流体的动能;单位体积流体的势能能单位体积流体的势能能; 显然显然,理想流体作稳定流动时与三种能量之和有关理想流体作稳定流动时与三种能量之和有关,我们将这三项之和称为流动能我们将这三项之和称为流动能.由于理想流体在流动由于理想流体在流动过程中没有能量损失过程中没有能量损失,所以流动能保持不变所以流动能保持不变,这就是柏这就是柏努利方程所表达的意义努利方程所表达的意义.2、伯努利方程的应用、伯努利方程的应用（1）小孔流速）小孔流速一大蓄水池一大蓄水池,下面开一小孔放水下面开一小孔放水.设水面到小孔中心的高设水面到小孔中心的高度为度为h ,求小孔处的流速求小孔处的流速vb .在水中

8、取一流线在水中取一流线,在该流线上取液面下一点在该流线上取液面下一点a及小孔处及小孔处b点点,应用伯努利方程应用伯努利方程ahbhhabcbbbaaaghvpghvp222121代入已知条件得代入已知条件得gh)hh(gv21ba2b 即即gh2vb )pp(gh2v0cc ghv21ghpp2cac （2）比多管）比多管比多管是用来测量流体流速的仪器比多管是用来测量流体流速的仪器,常称流速计常称流速计.bc)(a当测液体流速时当测液体流速时,比多管如图比多管如图(a)放置放置.)0v(ghv21pghpao2ooaa 沿沿cb 流线应用伯努利方程流线应用伯努利方程c2ccb2bbghv21p

9、ghv21p 由于由于o、c 两点很近两点很近,则有则有b2bbaaghv21pghp hoa由于由于hahb ,则则)(2babppv其中其中 ghppba则则gh2vb gh2vb 当测当测气体气体的流速时的流速时,比多管如图比多管如图(b)放置放置.由于由于u形管中形管中注有密度为注有密度为 的液体的液体, 此时有此时有 pa-pb= , 则则b处处气体的流速为气体的流速为gh（3）范丘里流量计）范丘里流量计范丘里流量计是一种最简单的流量计，范丘里流量计是一种最简单的流量计， 测量时如图放测量时如图放置。在置。在ab 两点处取截面两点处取截面sasb，应用伯努利方程，应用伯努利方程hab

10、2bb2aav21pv21p 将将 pa-pb=gh, sava=sbvb 代代入上式得入上式得2b2a2abssghs2v 2b2ababbaassgh2ssvsvsq 例题例题 水管里的水在压强=4.0105pa作用下流入室内，水管的内直径为2.0cm，管内水的流速为4.0ms-1。引入5.0m高处二层楼浴室的水管，内直径为1.0cm。求浴室内水的流速与压强。 解: 为流体中所涉及的那段流管，根据连续性原理可知，出口处流速为2112ssvv22010. 0020. 00 . 410 .16sm选流入处为参考平面，即令=0 ，根据伯努利方程求得高处的压强 22222112121ghvpvp2

11、222112)(21ghvvpp0 . 58 . 910)0 .160 . 4(1021100 . 432235pa5103 . 2可以与关上水龙头后，出口处水的压强对照一下，此时，出口处的压强为)(2112hhgpp) 0 . 50( 8 . 910100 . 435pa5105 . 3例例 如图所示如图所示,利用一管径均匀的虹吸管从水库中利用一管径均匀的虹吸管从水库中引水，其最高点引水，其最高点b比水库水面高比水库水面高3.0m，管口，管口c比水比水库水面低库水面低5.0m,求虹吸管内水的流速和求虹吸管内水的流速和b点处的压强点处的压强. 解解:(1) 对对a、c 两点应用伯努利方程两点应

12、用伯努利方程c2cca2aaghv21pghv21p 由于由于pa=pc=p0 ,va=0, 所以所以)(2cachhgvsmgh/9 .922(2) 对对b、c两点应用伯努利方程两点应用伯努利方程c2ccb2bbghv21pghv21p 由于由于pc=p0 , vb=vc , 则有则有)(0cbbhhgpppahhgp4210103 . 2)(由此可见，虹吸管最高处的压强比大气压强小由此可见，虹吸管最高处的压强比大气压强小第四节第四节 粘滞流体的运动规律粘滞流体的运动规律 粘滞性不可忽略的流体称粘滞性不可忽略的流体称粘滞流体粘滞流体 ，本节研究本节研究不可不可压缩粘滞流体压缩粘滞流体的运动规

13、律。的运动规律。一一. 粘滞流体的流动形态粘滞流体的流动形态1.层流层流-流速较小时的流动状态流速较小时的流动状态rok如图滴定管中，上部为有色甘油，如图滴定管中，上部为有色甘油，下部为无色甘油。下部为无色甘油。层流特点：层流特点：只有切向速度，没有径向速度。只有切向速度，没有径向速度。流体做层流时流体做层流时: :流量大流量大, ,阻力小阻力小. .2.湍流湍流流速增大到一定程度，流速出现径向分量，流速增大到一定程度，流速出现径向分量， 此时的流动状态称此时的流动状态称湍流湍流。流体做湍流时流体做湍流时: :流量小流量小, ,阻力大阻力大. .二二.粘滞系数和雷诺数粘滞系数和雷诺数1.粘滞系

14、数粘滞系数(1) 速度梯度速度梯度粘滞流体作层流，其速度随粘滞流体作层流，其速度随r 增大而减小，即增大而减小，即 ， 称称速度梯度速度梯度。0drdv drdv(2) 牛顿粘滞定律牛顿粘滞定律牛顿发现牛顿发现,接触面为接触面为s的的相邻流层间的粘滞力为相邻流层间的粘滞力为sdrdvf (3) 粘滞系数粘滞系数 ，单位：，单位：pas由流体本身的性质决定，同时还与温度和压强有关由流体本身的性质决定，同时还与温度和压强有关;气体与液体的情况不同气体与液体的情况不同.2.雷诺数雷诺数(1)雷诺数雷诺数 ，为一无量纲纯数，用于判断粘滞，为一无量纲纯数，用于判断粘滞流体的流动形态流体的流动形态,雷诺数

15、相同时流动状态相同雷诺数相同时流动状态相同。vdr (3)当当 r2600 时为湍流；时为湍流；当当2000r2600 时为层流和湍流的混合状态。时为层流和湍流的混合状态。(2)每一种流动存在有一每一种流动存在有一临界雷诺数临界雷诺数cr r也适合固体在流体中运动时，其周围流体运动形态也适合固体在流体中运动时，其周围流体运动形态的判断，此时的判断，此时d为反映固体几何形状的线度。为反映固体几何形状的线度。三粘滞流体的伯努利方程三粘滞流体的伯努利方程设不可压缩的粘滞流体作稳定层流，由于存在粘滞力，设不可压缩的粘滞流体作稳定层流，由于存在粘滞力，流体流动时有能量损失，则粘滞流体的伯努利方程为流体流

16、动时有能量损失，则粘滞流体的伯努利方程为eghv21pghv21p22221211 例：例：水在均匀水渠中作稳定层流，设水不深，求维水在均匀水渠中作稳定层流，设水不深，求维持稳定层流的条件。持稳定层流的条件。 由已知条件由已知条件：v1=v2 ,p1=p2=p0 ,则由则由得得 若为理想流体，则若为理想流体，则e=0, h1=h2 . eghv21pghv21p22221211 gehh21 例：例：水在均匀水平管中作稳定层流，求维持稳定层水在均匀水平管中作稳定层流，求维持稳定层流的条件。流的条件。 由已知条件由已知条件: v1=v2 , h1=h2 ,则由则由 得得 若为理想流体，则有若为理

17、想流体，则有 e=0 , p1=p2 . eghvpghvp222212112121epp21四四.泊肃叶公式泊肃叶公式 泊肃叶公式为粘滞流体在等截面水平圆管中作稳定层泊肃叶公式为粘滞流体在等截面水平圆管中作稳定层流时的流量公式。流时的流量公式。推导思路：推导思路：由于每层的流速不同，所以要先求出速度由于每层的流速不同，所以要先求出速度随半径的变化规律，在由式随半径的变化规律，在由式 求流量求流量dsrvq)(v1f2frrfl1p2p(1) (1) 取体积元如图，受力分析：取体积元如图，受力分析：222112,rpfrpf)0( ,2drdvrldrdvf 设体积元匀速运动，则设体积元匀速运

18、动，则0)2(0222121rldrdvrprpfff)(4)(22221021rrlpprvdvrdrlppvrr2214rlppvm 即管对称即管对称轴处速度最大。轴处速度最大。2.求求 q取面积元如图，则取面积元如图，则drr rrrdrrvdsrvdq2)()(rdrrrlpp2)(42221rdrrrlppqr)(2)(02221)(8214pplr若令若令 ，则，则 ，z 称流阻，该式称流阻，该式称称达西定理达西定理。48rlzzppq21例例 温度为温度为37时，水的粘度为时，水的粘度为6.9110-4 pas ,水水在半径为在半径为 1.510-3 m，长为，长为 0.2m 的

19、水平管内流的水平管内流动，当管两端的压强差为动，当管两端的压强差为 4.0103 pa 时，每秒时，每秒流量为多少？流量为多少？)(8214pplrq解解:3443100.42.01091.68)105.1(14.31351075.5sm例例 血液流过一条长为血液流过一条长为1mm ，半径为，半径为2m 的毛细血的毛细血管时，如果最大流速为管时，如果最大流速为0.66mms-1 ,血液的粘滞系血液的粘滞系数为数为4.010-3 pas ，求毛细血管的血压降为多少？，求毛细血管的血压降为多少？2214rlppvm由解解:2214rlvpppm26333)102(1066.0101100.44pa

20、31064.2五五. .斯托克斯公式斯托克斯公式当固体在流体中运动时，若固体与流体的相对速度当固体在流体中运动时，若固体与流体的相对速度不大，流体可视为作稳定层流，此时固体所受的阻不大，流体可视为作稳定层流，此时固体所受的阻力力 f=kvl , 当固体为小球时，当固体为小球时，f=6vr .vrf6grf334grg334v小球在静液体中作自由下落，小球在静液体中作自由下落， 受力分析如图。由于受力分析如图。由于 fv , 则当则当 f+f=g 时，小球作匀速下降，且时，小球作匀速下降，且 速度最大，速度最大，称收尾速度。称收尾速度。9)(22grvttvgr9)(22例例 （1）在）在20的空气中，一半径为的空气中，一半径为110-5 m、密度、密度为为2.0103 kgm-3 的球状灰尘微粒的收尾速度是多少？的球状灰尘微