第11章花威概率论学习指导

1、第11章 概率论11.1 基本要求（1）了解基本事件空间（样本空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系和运算及其基本性质；（2）理解事件概率、条件概率的概念和独立性的概念；掌握概率的基本性质和基本运算公式；掌握与条件概率有关的三个基本公式（乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式）（3）掌握计算事件概率的基本计算方法：（4）理解两个或多个（随机）试验的独立性的概念，理解独立重复试验，特别是伯努利试验的基本特点，以及重复伯努利试验中有关事件概率的计算（5） 理解概率分布的概念，掌握其三种基本形式：离散型概率分布，连续型概率密度，分布函数；掌握概率分布的特点、性质，会根据概率分布计算有关事件的概率

2、；（6）掌握下列概率分布：0-1分布、二项分布和泊松分布等离散型概率分布，以及均匀分布、指数分布和正态分布等连续型概率分布，包括分布的表达式、特点、性质。（7）理解随机变量的数字特征（数学期望、方差）的概念，并会运用数字特征定义和基本性质计算具体分布的数字特征；掌握常用分布（二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布）的数字特征。（8）会根据随机变量的概率分布求其函数的数学期望和方差。11.2 内容提要一、重要概念1.随机试验、随机事件与基本事件空间（样本空间）随机试验对随机现象观测；样本点（基本事件）试验最基本的结局，基本事件空间（样本空间）一切基本事件（样本点）的集合随机事件随机现象

3、的每一种状态或表现，随机试验结果；必然事件每次试验都一定出现的事件，不可能事件任何一次试验都不出现的事件2.事件的关系和运算1、定义 关系：包含，相等，相容，对立；运算：和（并）、差、交（积）2、事件运算的基本性质 对于任意事件A, B, C,有(1) 交换律 (2) 结合律 ； (3) 分配律 ； (4) 对偶律 ；3.概率的概念和基本性质1、概率的概念 事件的概率事件在随机试验中出现的可能性的数值度量用表示事件A的概率，用表示事件的概率事件B关于A的条件概率定义为 (1.1)2、概率的运算法则和基本公式(1) 规范性 (2) 可加性 对于任意有限或可数个两两不相容事件，有(3) 对立事件的

4、概率 (4) 减法公式 (5) 加法公式 ；(6) 乘法公式 (7) 全概率公式 设构成完备事件组，则对于任意事件A，有(8) 贝叶斯公式 设构成完备事件组，则4. 事件的独立性和独立试验1、事件的独立性 若，则称事件和独立；若事件之中任意m个事件的交的概率都等于各事件概率的乘积，则称事件相互独立2、伯努利试验 只计“成功”和“失败”两种对立结局的试验，称做伯努利试验将一伯努利试验独立地重复作次，称做次(重)伯努利试验，亦简称伯努利试验伯努利试验的特点是，1）只有两种对立的结局；2）各次试验相互独立；3）各次试验成功的概率相同设是次伯努利试验成功的次数，则 5 事件的概率的计算1、直接计算 古

5、典型和几何型；2、概率的推算 利用概率的性质、基本公式和事件的独立性，由简单事件的概率推算较复杂事件的概率；6.随机变量及其概率分布1、基本概念 (1) 随机变量 随机变量，直观上指取值带随机性的变量，数学上指基本事件（样本点）的函数实际中遇到的随机变量有离散型和连续型两大类：可能值个数有限或可数的随机变量称做离散型的；连续型随机变量的值域是数轴上的有限或无限区间通常用后面几个大写拉丁字母（如）表示随机变量(2) 概率分布 随机变量X的概率分布，指它的“值域”及它取各可能值或在值域内各部分取值的“概率”二者的总称实际中遇到的概率分布有离散型和连续型两大类，分别描绘离散型和连续型随机变量2、离散

6、型随机变量的概率分布 设X是离散型随机变量，是它的一切(m个或可数个)可能值的集合离散型随机变量X的概率分布有如下一些常用的表示方法 ；其中，3、连续型随机变量的概率密度 连续型随机变量X的概率分布，由一非负函数概率密度函数决定：对于任意实数，有 概率密度的基本性质是：此外，任意连续型随机变量取任何给定值的概率等于： 4、随机变量的分布函数 分布函数可以描绘任何随机变量的概率分布不过，有简单的函数式的分布函数很少，因此分布函数不便用于处理具体的随机变量，多用于一般性研究(1) 定义 随机变量的分布函数定义为它在点处的值，是事件的概率，即在上取值的概率(2) 性质 性质1)3)为基本性质1) ，

7、是单调不减函数；2) 右连续：3) =0， =14) 连续型随机变量X的分布函数为， (3)其中是的概率密度连续型随机变量的分布函数是连续函数，对于几乎一切，有 (4)7. 常用概率分布1、常用概率分布表 考试大纲要求掌握的离散型概率分布有：0-1分布，二项分布和泊松分布，考试大纲要求掌握的连续型概率分布有：均匀分布，正态分布和指数分布表2.1 常用离散型概率分布（）分布名称PX=k可 能 值k参 数数学期望方 差0-1和1和0二项0,1,n，泊松自然数表2.2 常用连续型概率分布分布名称概率密度值域参 数数学期望方 差均匀a，b正态指数1/2、常用概率分布的典型应用 (1) 0-1分布 只有

8、“成功”和“失败” 两种对立结局的试验称做伯努利试验；伯努利试验成功的次数X服从0-1分布，参数成功的概率，失败的概率例如产品抽样验收：抽到不合格品成功，抽到合格品失败；射击：命中成功，脱靶失败(2) 二项分布 以表示X服从参数为的二项分布独立重复试验成功次数的分布 设X是n次伯努利试验成功的次数，则，参数是每次试验成功的概率例如，n次独立重复射击命中的次数X服从二项分布，参数是每次射击的命中率(3) 泊松分布 二项分布概率的近似计算 设服从二项分布，参数充分大、p充分小而p适中，则有如下近似公式泊松定理： (2.7)实际中，当时即可利用此式，不过应尽量地大，否则近似效果不佳 (4) 均匀分布

9、 几何型概率的数学描述向区间上均匀地掷随机点试验，产生均匀分布区间上均匀分布的分布函数有简单的表达式 (2.9)(5) 指数分布 设是在服从参数为的泊松分布的随机质点流中，相继出现的两个随机质点时间间隔等待时间（例如，设备无故障运转的时间、设备的使用寿命或维修时间、设备相继出现两次故障的时间间隔LL），则等待时间服从参数为的指数分布参数为的指数分布函数有简单的数学表达式 (2.10)(6) 正态分布 以表示随机变量X服从参数为的正态分布以和分别表示的概率密度和分布函数，附表有的数值表； 许多自然现象和社会现象都可以用正态分布律来描述许多概率分布的极限分布是正态分布（中心极限定理）8 数学期望

10、表征随机变量取值的平均水平、“中心”位置或“集中”位置1、数学期望的定义 (1) 定义 离散型和连续型随机变量X的数学期望定义为 对于离散型变量，若可能值个数无限，则要求级数绝对收敛；对于连续型变量，要求定义中的积分绝对收敛；否则认为数学期望不存在(2) 随机变量的函数的数学期望 设为连续函数或分段连续函数，而X是任一随机变量，则随机变量的数学期望可以通过随机变量X的概率分布直接来求， 2、数学期望的性质 (1) 对于任意常数c，有(2) 对于任意常数，有(3) 对于任意，有(4) 如果相互独立，则9 方差和标准差 表征随机变量取值分散或集中程度的数字特征1、方差的定义 称为随机变量X的方差，

11、称为随机变量X的标准差随机变量X的方差有如下： 2、方差的性质 (1) ，并且当且仅当（以概率）为常数；(2) 对于任意实数，有；(3) 若两两独立或两两不相关，则11.3 典型方法与例题分析11.3.1 事件与事件的关系例1 一个工人生产了3个零件，以事件来表示他生产的个零件是合格品，试用表示下列事件：（1） 只有第一个零件是合格品;（2） 三个零件中只有一个合格品（3） 第一个是合格品，但后两个零件中至少有一个次品（4） 三个零件中最多只有两个合格品（5） 三个零件都是次品（6） 三个零件中最多有一个次品.【解】 （1）等价于：“第一个零件是合格品，同时第二个和第三个都是次品”，故有 （2

12、）等价于“第一个是合格陪你而第二、三个是次品”或“第二个是合格品而第一、三个是次品”或“第三个是合格品而第一、二个是次品”，故有（3）（4）（方法一） 事件的逆事件是“三个零件都是合格品”，故 （方法二）与等价的事件是“三个零件中至少有一个次品”，于是（5）当然以可以利用事件“三个零件中至少有一个次品”的逆事件与等价，得出（6）等价于“三个事件中无次品”或“三个零件中只有一个次品”，故有另外，也可以利用与事件“三个零件中至少有两个合格品”等价，知 本题实质是考查用事件的运算符号来描述一用普通语言表达的随机事件，以便今后运用公式计算概率.同时，与中的两个结果，验证了德摩根律的成立.另外，从，和的

13、结果可以发现，一个事件往往有多个等价德表达方式，在以后德概率计算中，要选择一个容易利用概率公司的表达方式，像在的两个表达式中，第一种两两互不相容的分解表达式一般是较适合概率计算 。例2设随机事件满足证明：【思路】 要证由于左边没有B出现，故可利用和构成的一个划分，将写成再利用题设的条件来证明.【证】 由于，故从而故 【证毕】【技巧】 像这类问题，可首先利用文氏图来考查，从而可直观的给出事件之间的关系. 11.3.2 概率的计算例1 从这10个数字中，任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率：3个事件中不含0和5；3个事件中不含0或5；【解】 随机试验是从10个数字中任取3个数字，故样本空间的

14、样本总数为 如果取得的3个数字不含0和5，则这3个数字必须在其余的8个数字中取得，故事件所含的样本点的个数为,从而 对事件，我们引入下列事件：3个数字中含0，不含5；3个数字中含5，不含0；3个数字中既不含0，又不含5。则且两两互不相容，于是有 【证毕】【注】对事件的概率求法，我们还有另外两种方法.（方法1） 利用逆事件进行计算.若注意到3个数字中既含有0又含5，则有（方法2） 利用加法公式进行计算.若引入事件：3个数字中不含0；3个数字中不含5.则,从而有由此例可见，如果能利用事件间的运算关系，将一个较为复杂的事件分解成若干个比较简单的事件的和、差和积等，再利用相应的概率公式，就能比较简便地

15、计算较复杂事件地概率，这种思想方法希望熟练掌握.例2对某一目标依次进行了三次独立的射击，设第一、二、三次射击地命中率分别为0.4，0.5和0.7，试求：（1）三次射击中恰好有一次命中的概率.（2）三次射击中至少有一次命中地概率.【解】 令第次射击命中目标， B=三次中恰好有一次命中； C=三次中至少有一次命中.则由的独立性知【分析】 通常积事件概率的计算需要通过乘法公式来进行，但一旦知道了它们是相互独立地，那么，只要知道，不仅它们的积事件的概率能直接求出，而且和事件、差事件等的概率也可容易地求得.例3 玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含只残次品的概率相应为，一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，

16、售货员随意取一箱，而顾客开箱随机地查看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回，试求：（1） 顾客买下该箱地概率；（2） 在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率.【思路】 由于玻璃杯箱总共有3类，分别含只残次品，而售货员取的那一项可以是这3类中地任一箱，顾客是在售货员取的一箱中检查地，顾客是否买下这一箱是与售货员取的哪一类的箱子有关，这类问题的概率计算一般可用全概率公式解决，第二问是条件概率问题.【解】 引入下列事件：A=顾客所查看的一箱；售货员取的箱中恰好有件残次品，显然，构成一完备事件组.且由全概率公式由贝叶斯公式 【解毕】【技巧】 本题是考查全概率公式与贝叶斯公式典型试题.一般来说

17、，在应用上述两个公式计算概率时，关键是寻找出试验地一完备事件组在一次试验中，这组事件中能且只能有一个发生，因此，事件只能与中之一各事件发生.直观地讲，中的每一个都可看成导致事件发生的“原因”.而在问题中，与是容易知道的，于是事件A的概率恰为在各种“原因”下A发生地（条件）概率的加权平均,权重恰为各“原因”出现的概率，这就是全概率公式解决问题的思路.而贝叶斯公式实际上是在已知结果发生的条件下，来找各“原因”发生的概率大小的,即求条件概率通常我们称为先验概率，为后验概率，前者往往是根据以往经验确定的一种“主观概率”，而后者是在事件A发生之后来判断发生的概率,因此，贝叶斯公式实际上是利用先验概率来求

18、后验概率.11.3.3 分布函数例1 某射手参加射击比赛，共有4发子弹.设该射手的命中率为p，各次射击是相互独立的，则直至命中目标为止需射击次数X是一随机变量，求X的概率分布.【解】 显然X的可能取值为表示第一枪命中，其概率为p；X=2意味着第一枪未打中，第二枪打中，其概率为；X=3意味着前二枪都未打中，而第三枪打中，其概率为；而X=4表示第一、二、三枪都未打中，由于这是最后一次机会，与第四枪打中与否无关，所以其概率为.从而,X的分布规律为XP例2 罐中有5颗围棋子，2颗白子3颗黑子，如果按有放回和不放回两种方法，每次取一子，共取3次，求3次中取到的白子次数X的概率分布分别是什么？【解】 在有

19、放回的场合下，由于下一次抽取的结果与前一次独立，因而该试验可以看成是一个3重的贝努里试验，从而,即【分析】 本题是考察大家对二项分布背景知识的了解，希望大家熟练掌握.例3 设随机变量的概率密度为试求：（1）系数A；（2）落在内的概率； （3）的分布函数.【解】 （1）由概率密度的性质，有 故（2）由概率的计算公式知（3）由知：当时，有当时，有当时，从而有 【解毕】【技巧】 （1）确定随机变量的概率密度中的参数时，一般要用到性质来求解. （2）如果随机变量的概率密度是分段函数，则其分布函数也是分段函数，在求解过程中，需要注意的是，将积分区间化成子区间时，被积函数应同时换成它在该子区间上的相应的表

20、达式.特别，在许多情况下，先作出的简图，再利用的几何意义来求的分段表达式是十分有效的.11.3.4 数字特征例1.设的分布律为， X-1012概率求（1），（2），（3）。解 由随机变量X的分布律，得 例2某商店经销商品的利润率的密度函数为，求,。解 （1） （2）故【技巧】 在计算数学期望和方差时，应首先计算期望，再计算方差。11.4 同步练习题训练习题11-1基础题：一选择题1 如果（ ）成立，则事件与互为对立。（A） （B）且（C） （D）与互不相容2当事件A，B同时发生时，事件C必发生，则下列结论正确的是（ ）。（A） （B）；（C） （D）1. 3对于事件和，下述命题正确的是 ( )

21、(A) 如果与互不相容，则与相互对立(B) 如果与相互对立，则与互不相容(C) 如果与相互独立，则与互不相容(D) 如果与互不相容，则与相互独立4 设A，B为任意两个事件，则下列关系式成立的是（ ）。 (A) (AU B)-B (B)(AU B)-B (C) (AU B)-BA (D)(AB)U BA5事件是不可能事件是的（ ） (A) 充分条件 (B) 必要条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分又不必要6. 设是两个事件，则以下关系中正确的是( )(A) (B) (C) (D) 二问答题1.写出下列随机试验的样本空间：（1） 同时掷三颗骰子，记录三颗点数之和；（2） 10件产品中有3件是次

22、品，每次从中任取一件（取后不放回），直到3件次品都取出，记录抽取的次数；（3） 生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数；（4） 甲乙两人下棋一局，观察棋赛的结果；（5） 观察30粒种子中发芽的粒数。2.设、为三个随机事件，试用、表示下列事件：（1） 发生，与不发生；（2） 与发生，不发生；（3） 、都不发生；（4） 、中不多于一个发生。3. 向指定目标射击三枪，分别用A1、A2、A3表示第一、第二、第三枪击中目标，试用A1、A2、A3表示以下事件：（1）只有第一枪击中； （2）至少有一枪击中； （3）至少有两枪击中； （4）三枪都未击中. 4. 已知A，B是样本空间中的两个事件，且a

23、, b, c, d, e, f, g, h，Ab, d, f, h，Bb, c, d, e, f, g，试求：（1）；（2）B；（3）AB；（4）.提高题：1.袋中有个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设取得球的号码是偶数，取得球的号码是奇数，取得球的号码小于5，问下列运算表示什么事件：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).2.一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三次，每次取一件，设表示事件“第次抽到废品”，试用表示下列事件：(1) 第一次、第二次中至少有一次抽到废品；(2) 只有第一次抽到废品；(3) 三次都抽到废品；(4) 至少有一次抽到合格品；（5）只有两次

24、抽到废品。训练习题11-2基础题：一选择题1袋子中有5个球，3个新的，2个旧的，每次取一个，无放回地取两次，则第二次取到新球的概率为（ ）(A) (B) (C) (D) 2已知P(A)0.5，P(B)0.6，P(B|A)0.8，则P(AU B)（ ）。 (A)06 (B)07 (C)08 (D)093如果P(A)>0，P(B)>0，P(A|B)=P(A)，则下列下结不正确的是（ ） （A）A，B不相容， (B) P(B|A)=P(B)， （C）A，B相容， （D）P(|B)=P()。4.若P（B|A）=0，则下列命题中正确的是 ( )(A) BA (B) AB= (C) AB (D

25、) A-B=5.3人独立编写同一计算机程序，他们各自能成功的概率分别是0.3, 0.6, 0.5，则能将此程序编写成功的概率是（ ）(A) 0.09 (B) 0.86 (C) 0.14 (D) 0.91二计算题1设、为随机事件，, , 求。2设,求：，。3已知,，, 则、都不发生的概率是多少?4.从一副扑克牌的13张梅花中,有放回地取3次, 求三张都不同号的概率。5.一批产品由90件正品和10件次品组成，从中任取一件，问取得正品的概率多大.6. 一批产品由95件正品和5件次品组成，连续从中抽取两件，第一次取出后不再放回，问：1）第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率多大. 2）抽得一件为正品，一

26、件为次品的概率. 7. 从0，1，2，3，4，5这六个数中任取三个数进行排列，问取得的三个数字能排成三位数且是偶数的概率有多大.8.从（0，1）中随机取两个数，求下列事件的概率：（1）两数之和小于；（2）两数之积小于。9. 13. 用三个机床加工同一种零件，零件由各机床加工的概率分别为0.5、0.3、0.2，各机床加工的零件为合格品的概率分别为0.94、0.90、0.95，求全部产品的合格率. 10. 16. 甲、乙两人各自向同一目标射击，已知甲命中目标的概率为 0.7，乙命中目标的概率为0.8 求：(1)甲、乙两人同时命中目标的概率；(2)恰有一人命中目标的概率；(3)目标被命中的概率. 1

27、1.甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5, 现已知目标被击中,求甲射中的概率。提高题：1.将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收做B的概率为0.02，而B被误收做A的概率为0.01，信息A与信息B传送的频繁程度为2:1，若接受站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？2. 许多体育比赛采用五战三胜制，甲方在每一场比赛中胜乙方的概率是0.6（没有和局），求甲方最后取胜的概率.训练习题11-3基础题：1. 一袋子中有1只红球，标号为-1，有3只白球标号为2，有2只黑球标号为3。从中任取一只，以表示其标号：（1）, 以及 或 分别表示怎样的随机事件；

28、（2）“任取一号不是红球”这一随机事件用随机变量的取值可表示成什么？（3）求或。2.设随机变量的分布函数-+ 求：（1）系数、；（2）概率。3. 现有7件产品，其中一等品4件，二等品3件，从中任取3件，求3件中所含一等品数的概率分布。4. 在相同条件下相互独立进行5次射击，每次射击击中目标的概率为0.7，求击中目标的次数的分布列。5.已知随机变量可能的取值是，且取这些值的概率依次为，试确定常数并计算概率。6. 设随机变量X的密度函数为 试求（1） 系数A； （2） X落在区间（0，p/4）的概率。7. 设随机变量X的分布函数为 试求（1）系数A； （2） X落在区间（0.3，0.7）内的概率；

29、 （3） X的密度函数。8. 某公共汽车站每隔8分钟中有一辆公共汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的，求乘客候车时间不超过5分钟的概率。. 9.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号。（1）进行了5次独立试验，求指示灯发出信号的概率；（2）进行了7次独立试验，求指示灯发出信号的概率。10. 某校抽样调查表明，该校考生外语成绩（百分制）服从正态分布，已知96分以上的占考生总数的2.3%，求考生的外语成绩在60分到84分之间的概率。12. 某大学招收新生800人，按高考成绩从高分到低分依次录取，设报考该校大学的考生共3000人，且考试成绩服从正态分布

30、。已知这些考生中成绩在600分以上的200人，重点线（500分）下的2075人，问该大学的实录线（即录取最低分）是多少？提高题：1.设顾客在某银行窗口等待服务的时间（以分钟计）服从指数分布，其概率密度为，某顾客在窗口等候服务，若超过10分钟，他就离开，他一个月到该银行5次，以表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出的分布列并求。2. 一工厂生产的电子管的寿命X（以小时计）服从参数为=160，的正态分布，若要求，允许最大为多少？ 训练习题11-4基础题：一填空题1.设，且，则_；_。2.设，且，则_。3.设随机变量X服从参数为2的泊松分布，且Z=3X-2, 则E(Z)= 。4.设随机变量X的概率密度为，则= ；二计算题1 已知随机变量的分布律为-101/2121/31/61/61/121/4求及，方差。2. 假设一部机器在一天内发生故障的概率为, 机器发生故障时全天停止工作。若一周 个工作日里无故障, 可获利润万元; 发生一次故障仍获利润万元; 发生二次故障所获利润元; 发生三次或三次以上故障就要亏