最新高中数学-理高考一轮复习教案8.5椭圆

1、第五节椭圆1椭圆的标准方程掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程2椭圆的几何性质掌握椭圆的简单性质知识点一椭圆的定义条件结论1结论2平面内的动点m与平面内的两个定点f1，f2m点的轨迹为椭圆f1，f2为椭圆的焦点|f1f2|为椭圆的焦距|mf1|mf2|2a2a>|f1f2|易误提醒当到两定点的距离之和等于|f1f2|时，动点的轨迹是线段f1f2；当到两定点的距离之和小于|f1f2|时，动点的轨迹不存在自测练习1已知椭圆1上一点p到椭圆一个焦点f1的距离为3，则p到另一个焦点f2的距离为()a2b3c5 d7解析：a225，2a10，由定义知，|pf1|pf2|10，|pf2|10|pf1|

2、7.答案：d知识点二椭圆的标准方程和几何性质标准方程1(a>b>0)1(a>b>0)图形性质范围axa，bybbxb，aya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点a1(a,0)，a2(a,0)，b1(0，b)，b2(0，b)a1(0，a)，a2(0，a)，b1(b,0)，b2(b,0)轴长轴a1a2的长为2a；短轴b1b2的长为2b焦距|f1f2|2c离心率e(0,1)a，b，c的关系c2a2b2易误提醒注意椭圆的范围，在设椭圆1(a>b>0)上点的坐标为p(x，y)时，则|x|a，这往往在求与点p有关的最值问题中用到，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因

3、必记结论(1)当焦点的位置不能确定时，椭圆方程可设成ax2by21的形式，其中a，b是不相等的正常数，或设成1(m2n2)的形式(2)以椭圆1(a>b>0)上一点p(x0，y0)(y00)和焦点f1(c,0)，f2(c,0)为顶点的pf1f2中，若f1pf2，注意以下公式的灵活运用：|pf1|pf2|2a；4c2|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|·cos ；spf1f2|pf1|pf2|·sin .自测练习2若焦点在x轴上的椭圆1的离心率为，则m_.解析：因为焦点在x轴上，所以0<m<2，所以a22，b2m，c2a2b22m.椭圆的离心率为

4、e，所以e2，解得m.答案：3椭圆1(a>b>0)上任意一点p到两焦点的距离之和为6，且椭圆的离心率为，则椭圆方程为_解析：由题意得2a6，故a3.又离心率e.所以c1，b2a2c28，故椭圆方程为1.答案：14椭圆：1(a>b>0)的左、右焦点分别为f1，f2，焦距为2c，若直线y(xc)与椭圆的一个交点m满足mf1f22mf2f1，则该椭圆的离心率等于_解析：依题意得mf1f260°，mf2f130°，f1mf290°，设|mf1|m，则有|mf2|m，|f1f2|2m，该椭圆的离心率是e1.答案：1考点一椭圆的定义及方程|1已知两圆c

5、1：(x4)2y2169，c2：(x4)2y29，动圆在圆c1内部且和圆c1相内切，和圆c2相外切，则动圆圆心m的轨迹方程为()a.1b.1c.1 d.1解析：设圆m的半径为r，则|mc1|mc2|(13r)(3r)16，m的轨迹是以c1，c2为焦点的椭圆，且2a16,2c8，故所求的轨迹方程为1.答案：d2.(2016·大庆模拟)如图，已知椭圆c：1(a>b>0)，其中左焦点为f(2，0)，p为c上一点，满足|op|of|，且|pf|4，则椭圆c的方程为()a.1 b.1c.1 d.1解析：设椭圆的焦距为2c，右焦点为f1，连接pf1，如图所示由f(2，0)，得c2.由

6、|op|of|of1|，知pf1pf.在rtpf1f中，由勾股定理，得|pf1|8.由椭圆定义，得|pf1|pf|2a4812，从而a6，得a236，于是b2a2c236(2)216，所以椭圆c的方程为1.答案：b3若椭圆c：1的焦点为f1，f2，点p在椭圆c上，且|pf1|4，则f1pf2()a. b.c. d.解析：由题意得a3，c，则|pf2|2.在f2pf1中，由余弦定理可得cosf2pf1.又f2pf1(0，)，f2pf1.答案：c椭圆定义应用的两个方面一是利用定义求椭圆的标准方程；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等考点二椭圆的几何性质|(1)(2015

7、83;高考广东卷)已知椭圆1(m>0)的左焦点为f1(4,0)，则m()a2b3c4 d9(2)如图，已知椭圆e的左、右焦点分别为f1，f2，过f1且斜率为2的直线交椭圆e于p，q两点，若pf1f2为直角三角形，则椭圆e的离心率为()a. b.c. d.解析(1)由4(m>0)m3，故选b.(2)由题意可知，f1pf2是直角，且tan pf1f22，2.又|pf1|pf2|2a，|pf1|，|pf2|.根据勾股定理得22(2c)2，所以离心率e.答案(1)b(2)a求解直线与椭圆位置关系问题的常规思路(1)求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，既不画出图形，思考时也要联

8、想到图形当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系(2)求椭圆离心率问题，应先将e用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e的等式或不等式，从而求出e的值或范围离心率e与a，b的关系e21 .1如图，已知f1，f2分别是椭圆的左、右焦点，现以f2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点m，n，若过f1的直线mf1是圆f2的切线，则椭圆的离心率为()a.1 b2c. d.解析：因为过f1的直线mf1是圆f2的切线，所以可得f1mf290°，|mf2|c.因为|f1f2|2c，所以可得|mf1|c.由椭圆定义可得|mf1

9、|mf2|cc2a，可得离心率e1.答案：a考点三直线与椭圆的位置关系|已知点a(0，2)，椭圆e：1(a>b>0)的离心率为，f是椭圆的一个焦点，直线af的斜率为，o为坐标原点(1)求e的方程；(2)设过点a的直线l与e相交于p，q两点，当opq的面积最大时，求l的方程解(1)设f(c,0)，由题意kaf，c，又离心率e，a2，b1，故椭圆的方程为y21.(2)由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，方程为ykx2，联立直线与椭圆方程，得化简，得(14k2)x216kx120.16(4k23)>0，k2>.设p(x1，y1)，q(x2，y2)，则x1x2，x1

10、·x2，|pq|x1x2|·.坐标原点o到直线l的距离d.sopq··.令t(t>0)，则sopq.t4，当且仅当t，t2时，等号成立，sopq1，故当t2，即2，k±时，opq的面积最大，从而直线l的方程为y±x2.2(2016·邯郸质检)已知椭圆c：1(a>b>0)过点a，离心率为，点f1，f2分别为其左、右焦点(1)求椭圆c的标准方程(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆c恒有两个交点p，q，且？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由解：(1)由题意，得，得bc.因为1(a&

11、gt;b>0)，得c1，所以a22，所以椭圆c方程为y21.(2)假设满足条件的圆存在，其方程为x2y2r2(0<r<1)当直线pq的斜率存在时，设直线pq的方程为ykxb，由得(12k2)x24bkx2b220.令p(x1，y1)，q(x2，y2)，x1x2，x1x2.，x1x2y1y20，b20，3b22k22.此时k2>0恒成立直线pq与圆相切，r2，存在圆x2y2.当直线pq的斜率不存在时，也存在圆x2y2满足题意综上所述，存在圆心在原点的圆x2y2满足题意26.几何法求解椭圆离心率范围问题【典例】(2015·山西大学附中月考)已知椭圆c：1(a>

12、;b>0)的左、右焦点分别为f1，f2，若椭圆c上恰好有6个不同的点p，使得f1f2p为等腰三角形，则椭圆c的离心率的取值范围是()a.b.c. d.思维点拨利用对称性分|pf1|f1f2|，|pf2|f1f2|两种性质讨论，结合几何特征建立相关不等式求解解析6个不同的点有两个为短轴的两个端点，另外4个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称不妨设p在第一象限，|pf1|>|pf2|，当|pf1|f1f2|2c时，|pf2|2a|pf1|2a2c，即2c>2a2c，解得e>.因为e<1，所以<e<1.当|pf2|f1f2|2c时，|pf1|2a|

13、pf2|2a2c，即2a2c>2c，且2c2c>2a2c，解得<e<.综上可得<e<或<e<1，故选d.答案d方法点评椭圆的离心率范围求法是考查的热点，常见的方法有利用几何特征建立不等式或建立目标函数求解利用几何法建立不等关系式时注意根据题目中隐含的几何特性(如两边之和大于第三边)，同时注意定义应用跟踪练习已知椭圆1(a>b>0)的左、右焦点分别为f1(c,0)，f2(c,0)，若椭圆上存在点p使，则该椭圆的离心率的取值范围为_解析：由，得.又由正弦定理得，所以，即|pf1|pf2|.又由椭圆定义得|pf1|pf2|2a，所以|pf2

14、|，|pf1|.因为|pf2|是pf1f2的一边，所以有2c<<2c，即c22aca2>0，所以e22e1>0(0<e<1)，解得椭圆离心率的取值范围为(1,1)答案：(1,1)a组考点能力演练1点f为椭圆1(a>b>0)的一个焦点，若椭圆上存在点a使得aof为正三角形，那么椭圆的离心率为()a.b.c. d.1解析：由题意，可设椭圆的焦点f的坐标为(c,0)，因为aof为正三角形，则点在椭圆上，代入得1，即e24，得e242，解得e1，故选d.答案：d2已知椭圆e：1(a>b>0)的右焦点为f(3,0)，过点f的直线交e于a，b两点

15、若ab的中点为m(1，1)，则e的方程为()a.1 b.1c.1 d.1解析：kab，kom1，由kab·kom，得，a22b2.c3，a218，b29，椭圆e的方程为1.答案：d3(2016·厦门模拟)椭圆e：1(a>0)的右焦点为f，直线yxm与椭圆e交于a，b两点，若fab周长的最大值是8，则m的值等于()a0 b1c. d2解析：设椭圆的左焦点为f，则fab的周长为afbfabafbfafbf4a8，所以a2，当直线ab过焦点f(1,0)时，fab的周长取得最大值，所以01m，所以m1.故选b.答案：b4已知f1，f2是椭圆1的两个焦点，p是该椭圆上的任意一点

16、，则|pf1|·|pf2|的最大值是()a9 b16c25 d.解析：设p(x，y)，则|aex，|aex，|·|(aex)(aex)a2e2x2.当x0时，|·|取最大值a225.答案：c5已知f1，f2是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点p，使得pf1pf2，则椭圆的离心率的取值范围是()a. b.c. d.解析：设p(x，y)，(cx，y)，(cx，y)，由pf1pf2，得·0，即(cx，y)·(cx，y)x2y2c2x2b2c2b2c20，x20，c2b20，2c2a2，e.又e<1，椭圆的离心率e的取值范围是.答案：b6(2016

17、·黄山质检)已知圆(x2)2y21经过椭圆1(a>b>0)的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e_.解析：因为圆(x2)2y21与x轴的交点坐标为(1,0)，(3,0)，所以c1，a3，e.答案：7(2015·泰安模拟)若椭圆1(a>0，b>0)的焦点在x轴上，过点(2,1)作圆x2y24的切线，切点分别为a，b，直线ab恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为_解析：设切点坐标为(m，n)，则·1，即m2n2n2m0.m2n24，2mn40，即直线ab的方程为2xy40.直线ab恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，2c40，b40，解得c2

18、，b4，所以a2b2c220，所以椭圆方程为1.答案：18(2016·保定模拟)直线l过椭圆c：y21的左焦点f，且与椭圆c交于p，q两点，m为弦pq的中点，o为原点，若fmo是以线段of为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为_解析：因为fmo是以线段of为底边的等腰三角形，所以直线om与直线l的斜率互为相反数设直线l的斜率为k，则有k·(k)，解得k±.答案：±9.如图，椭圆c：1(a>b>0)的右焦点为f，右顶点、上顶点分别为a，b，且|ab|bf|.(1)求椭圆c的离心率；(2)若斜率为2的直线l过点(0,2)，且l交椭圆c于p，q两点，

19、opoq，求直线l的方程及椭圆c的方程解：(1)由已知|ab|bf|，即a,4a24b25a2,4a24(a2c2)5a2，e.(2)由(1)知a24b2，椭圆c：1.设p(x1，y1)，q(x2，y2)，直线l的方程为y22(x0)，即2xy20.由消去y，得x24(2x2)24b20，即17x232x164b20.32216×17(b24)>0，解得b>.x1x2，x1x2.opoq，·0，即x1x2y1y20，x1x2(2x12)(2x22)0，5x1x24(x1x2)40.从而40，解得b1，满足b>，椭圆c的方程为y21.10已知椭圆c：1(a&

20、gt;b>0)过点，且椭圆c的离心率为.(1)求椭圆c的方程；(2)若动点p在直线x1上，过p作直线交椭圆c于m，n两点，且p为线段mn中点，再过p作直线lmn.证明：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标解：(1)因为点在椭圆c上，所以1.又椭圆c的离心率为，所以，即a2c，所以a24，b3，所以椭圆c的方程为1.(2)设p(1，y0)，y0，当直线mn的斜率存在时，设直线mn的方程为yy0k(x1)，m(x1，y1)，n(x2，y2)由得(34k2)x2(8ky08k2)x(4y8ky04k212)0，所以x1x2.因为p为mn中点，所以1，即2，所以k(y00)因为直线lmn，所以kl

21、，所以直线l的方程为yy0·(x1)，即y，显然直线l恒过定点.当直线mn的斜率不存在时，直线mn的方程为x1，此时直线l为x轴，也过点.综上所述，直线l恒过定点.b组高考题型专练1(2015·高考福建卷)已知椭圆e：1(a>b>0)的右焦点为f，短轴的一个端点为m，直线l：3x4y0交椭圆e于a，b两点若|af|bf|4，点m到直线l的距离不小于，则椭圆e的离心率的取值范围是()a. b.c. d.解析：设椭圆的左焦点为f1，半焦距为c，连接af1，bf1，则四边形af1bf为平行四边形，所以|af1|bf1|af|bf|4.根据椭圆定义，有|af1|af|b

22、f1|bf|4a.所以84a，解得a2.因为点m到直线l：3x4y0的距离不小于，即，b1，所以b21，所以a2c21,4c21，解得0<c，所以0<，所以椭圆的离心率的取值范围为.故选a.答案：a2(2015·高考浙江卷)椭圆1(a>b>0)的右焦点f(c,0)关于直线yx的对称点q在椭圆上，则椭圆的离心率是_解析：设左焦点为f1，由f关于直线yx的对称点q在椭圆上，得|oq|of|，又|of1|of|，所以f1qqf，不妨设|qf1|ck，则|qf|bk，|f1f|ak，因此2cak.又2ackbk，由以上二式可得k，即，即a2c2bc，所以bc，e.答案：3(2015·高考陕西卷)如图，椭圆e：1(a>b>0)经过点a(0，1)，且离心率为.(1)求椭圆e的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆e交于不同的两点p，q(均异于点a)，证明：直线ap与aq的斜率之和为2.解：(1)由题设知，b1，结合a2b2c2，