（目标管理）教学目标掌握空间元素的垂直关系的判定方法与性质

1、（目标管理）教学目标掌握空间元素的垂直关系的判定方法与性质22 / 22空间元素的位置关系(2)-垂直【教学目标】掌握空间元素的垂直关系的判定方法和性质定理,且能运用这些知识解决和垂直有关的问题。【教学重点】空间线线、线面、面面垂直关系的相互转化是重点。【教学难点】线面垂直关系、线线垂直关系的判定。【教学过程】壹.课前预习1（05 天津）设为平面,为直线,则的壹个充分条件是()。 (A)(B)(C)(D)2（05 浙江）设、为俩个不同的平面,l、m 为俩条不同的直线,且 l,m,有如下的俩个命题：若,则 lm；若 lm,则那么（）。 (A)是真命题,是假命题(B)是假命题,是真命题 (C)均是

2、真命题(D)均是假命题3（05 重庆）对于不重合的俩个平面和,给定下列条件：存于平面,使得、均垂直于；存于平面,使得、均平行于；内有不共线的三点到的距离相等；存于异面直线 l、m,使得 l/,l/,m/,m/,其中,能够判定和平行的条件有（）。A1 个,B2 个,C3 个,D4 个4如图,三棱锥 S-ABC 的底面是等腰直角三角形 ABC,ACB=90º,S 于以 AB 为直径的半圆上移动,当半平面和底面垂直时,对于棱 SC 而言下列结论正确的是（）A 有最大值,无最小值；B 有最小值,无最大值；C 无最大值,也无最小值；D 是壹个定值5正四棱锥的侧棱和底面所成角的余弦值为自变量 x

3、,则相邻俩侧面所成二面角的余弦值 f(x)和 x 之间的函数解析式是（）A.BC.D.6设 x,y,z 是空间的不同直线或不同平面,且直线不于平面内,那么下列条件中,能保证“xz,且 yz,则 xy”为真命题的是 （填上所有正确的代号）。(1)x 为直线,y,z 为平面；(2)x,y,z 均为平面；(3)x,y 为直线,z 为平面；(4)x,y 为平面,z 为直线；(5)x,y,z 均为直线。二.梳理知识直线和平面的垂直是联系直线和直线垂直,平面和平面垂直的纽带,更是求有关角,距离的重要方法。重要判定定理(1)壹条直线和平面内俩条相交直线均垂直,则这条直线和这个平面垂直(线面垂直判定定理)(2

4、)平面内的壹条直线和另壹个平面垂直,则这个平面互相垂直(面面垂直判定定理)(3)三垂线定理及其逆定理三典型例题选讲D 1B 1DEB例 1（ 05 江 西 ） 如 图 , 于 长 方 体 ABCDA1B1C1D1, 中 ,C 1A 1AD=AA1=1,AB=2,点 E 于棱 AB 上移动。（1）证明：D1EA1D；C（2）当 E 为 AB 的中点时,求点 E 到面 ACD1 的距离；A（3）AE 等于何值时,二面角 D1ECD 的大小为。例 2（05 浙江）如图,于三棱锥 PABC 中,ABBC,ABBCkPA,点O、D 分别是 AC、PC 的中点,OP底面 ABC()当 k时,求直线 PA

5、和平面 PBC 所成角的大小；()当 k 取何值时,O 于平面 PBC 内的射影恰好为PBC 的重心？PEDC例 3.如图,四棱锥 PABCD 的底面是矩形,侧面 PAD 是正三角形,且侧面PAD底面 ABCD,E 为侧棱 PD 的中点。（1）求证：PB/平面 EAC；（2）求证：AE平面 PCD；（3）若 AD=AB,试求二面角 APCD 的正切值；AB（4）当为何值时,PBAC？PEDAB备用题例（05 湖北）如图,于四棱锥 PABC 右,底面 ABCD 为矩形,侧棱 PA底面 ABCD,AB=,BC=1,PA=2,E 为 PD 的中点（）求直线 AC 和 PB 所成角的余弦值；（）于侧面

6、 PAB 内找壹点 N,使 NE面 PAC,且求ft N 点到AB 和 AP 的距离。四、稳固练习1.如图正方体ABCDA1B1C1D1,于它的12 条棱及12 条面对角线所于直线中, 选取若干条直线确定平面。于所有这些平面中：（1） 过 B1C 且和 BD 平行的平面有且只有壹个；（2） 过 B1C 且和 BD 垂直的平面有且只有壹个；（3） BD 和过 B1C 的平面所成的角等于 30º.上述命题中是真命题的个数为()(A)0 个(B)1 个(C)2 个(D)3 个2.如图,于正三棱锥 PABC 中,M、N 分别是侧棱 PB、PC 的中点,若截面 AMN侧面 PBC,则此三棱锥的

7、侧棱和底面所成角的正切值是（）ABCD3.如图 P 是四边形 ABCD 所于平面外壹点,O 是 AC 和 BD 的交点,且 PO 平面 ABCD。当四边形 ABCD 具有条件 时,点 P 到四边形四条边的距离相等。（注：填上你认为正确的壹种条件即可。不必 考虑所有可能的情况。）4.已知 m、l 是异面直线,那么：必存于平面过 m 且和 l 平行；必存于平面过 m 且和 l 垂直；必存于平面和 m、l 均垂直；必存于平面和 m、l 距离均相等,其中正确的结论为（）A.B.C.D.5.如图于水平横梁上 A、B 俩点处各挂长为 50cm 的细绳 AM、BN,于 MN 处栓长为60cm 的木条,MN

8、平行于横梁,木条绕过 MN 中点 O 的铅垂线旋转60°,则木条比原来升高了（）A.10cmB.5cm C.10cmD.5cm6（05 湖南）如图 1,已知 ABCD 是上下底边长分别为 2 和 6,高为的等腰梯形,将它沿对称轴 OO1 折成直二面角,如图 2.（）证明：ACBO1；（）求二面角 OACO1的大小.7（05 福建）如图,直二面角 DABE 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,AE=EB,F 为 CE 上的点,且 BF平面 ACE.（）求证 AE平面BCE；（）求二面角 BACE 的大小；（）求点 D 到平面 ACE 的距离.8（05 辽宁）已知三棱锥 PAB

9、C 中,E、F 分别是 AC、AB 的中点,ABC,PEF 均是正三角形,PFAB.（）证明 PC平面 PAB；（）求二面角 PABC 的平面角的余弦值；（）若点 P、A、B、C 于壹个表面积为 12的球面上,求ABC 的边长。9（05 全国 I）已知四棱锥 P-ABCD 的底面为直角梯形,AB DC,底面 ABCD,且 PA=AD=DC=AB=1,M 是 PB 的中点。（）证明：面 PAD面 PCD；（）求 AC 和 PB 所成的角；（）求面 AMC 和面 BMC 所成二面角的大小。10.如图,M、N、P 分别是正方体 AC1 的棱 AB、BC、DD1 上的点,(1)若,求证：无证点 P 于

10、 D1D 上如何移动总有 BPMN；(2)棱 DD1 上是否存于这样的点 P,使得平面 APC1平面 ACC,证明你的结论。参考参考答案一.课前预习:1D2D3B4D5C6三典型例题选讲例 1、解法（壹）（1）证明：AE平面 AA1DD1,A1DAD1,A1DD1E（2）设点 E 到面 ACD1 的距离为 h,于ACD1 中,AC=CD1=,AD1=, 故（3）过 D 作 DHCE 于 H,连 D1H、DE,则 D1HCE,DHD1 为二面角 D1ECD 的平面角.设 AE=x,则 BE=2x解法（二）：以 D 为坐标原点,直线 DA,DC,DD1 分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,

11、设 AE=x,则 A1（1,0,1）,D1（0,0,1）,E（1,x,0）,A（1,0,0）C（0,2,0）（1）D 1zC 1A 1B 1D oCyAEB（2）因为 E 为 AB 的中点,则 E（1,1,0）,从而,设平面 ACD1 的法向量为,则x也即,得,从而,所以点 E 到平面 AD1C 的距离为（3）设平面 D1EC 的法向量,由 令 b=1,c=2,a=2x,依题意（不合,舍去）,.AE=时,二面角 D1ECD 的大小为。例 2解：方法壹：()O、D 分别为 AC、PC 中点,(),又,PA 和平面 PBC 所成的角的大小等于,（）由()知,F 是 O 于平面 PBC 内的射影D

12、是 PC 的中点,若点 F 是的重心,则 B,F,D 三点共线,直线 OB 于平面 PBC 内的射影为直线 BD,即反之,当时,三棱锥为正三棱锥,O 于平面 PBC 内的射影为的重心方法二：,以 O 为原点,射线 OP 为非负 z 轴,建立空间直角坐标系（如图） 设则,设,则()D 为 PC 的中点,又,(),即,可求得平面 PBC 的法向量,设 PA 和平面 PBC 所成的角为,则,（）的重心, 又,即,反之,当时,三棱锥为正三棱锥,O 于平面 PBC 内的射影为的重心。例 3.（1）证明：连 DB,设,则于矩形 ABCD 中,O 为 BD 中点。连 EO。因为 E 为 DP 中点,所以,。

13、又因为平面 EAC,平面 EAC,所以,PB/平面 EAC。（2）正三角形 PAD 中,E 为 PD 的中点,所以,又,所以,AE平面 PCD。（3）于 PC 上取点 M 使得。由于正三角形 PAD 及矩形 ABCD,且 AD=AB,所以所以,于等腰直角三角形 DPC 中,连接,因为 AE平面 PCD,所以,。所以,为二面角 APCD 的平面角。PM于中,。E即二面角 APCD 的正切值为。DC（4）设 N 为 AD 中点,连接 PN,则。NO又面 PAD底面 ABCD,所以,PN底面 ABCD。AB所以,NB 为 PB 于面 ABCD 上的射影。要使 PBAC,需且只需 NBAC于矩形 AB

14、CD 中,设 AD1,ABx 则, 解之得：。所以,当时,PBAC。证法二：（按解法壹相应步骤给分）设 N 为 AD 中点,Q 为 BC 中点,则因为 PAD 是正三角形,底面 ABCD 是矩形, 所以,又因为侧面 PAD底面 ABCD,所以,以 N 为坐标原点,NA、NQ、NP 所于直线分别为轴如图建立空间直角坐标系。设,则,。（2）,所以,。又,所以,AE平面 PCD。（3）当时,由（2）可知：是平面 PDC 的法向量；设平面 PAC 的法向量为,则,即,取,可得：。所以,。向量和所成角的余弦值为：。所以,。又由图可知,二面角 APCD 的平面角为锐角,所以,二面角 APCD的平面角就是向

15、量和所成角的补角。其正切值等于。（4）,令,得,所以,。所以,当时,PBAC。备用题解法壹：（）建立如图所示的空间直角坐标系,则 A、B、C、D、P、E的坐标分别为 A（0,0,0）,B（,0,0）,C（,1,0）,D（0,1,0）,P（0,0,2）,E（0, 2）,从而=（,1,0）,=（,0,-2）,设和的夹角为,则,AC 和 PB 所成角的余弦值为（）由于 N 点于侧面 PAB 内,故可设 N 点坐标为（x,0,z）,则,由 NE面 PAC 可得：即化简得即 N 点的坐标为（,0,1）,从而 N 点到 AB、AP 的距离分别为 1,解法二：（）设 ACBD=O,连 OE,则 OE/PB,

16、EOA 即为 AC 和 PB所成的角或其补角于 AOE 中 ,AO=1,OE=PB=,AE=PD=,即 AC 和 PB 所成角的余弦值为,（）于面 ABCD 内过 D 作 AC 的垂线交 AB 于 F,则连 PF,则于 RtADF 中 DF=设 N 为 PF 的中点,连 NE,则 NE/DF,DFAC,DFPA,DF面 PAC从而 NE面 PACN 点到 AB 的距离=AP=1,N 点到 AP 的距离=AF=。四、稳固练习1B2C3ABCD是正方形；ABCD 是圆的外切四边形；ABCD 是菱形；AB=BC=CD=DA 等。4D5A6（05 湖南）解法壹（I）证明由题设知 OAOO1,OBOO1

17、,DO1FCE所以AOB 是所折成的直二面角的平面角,即 OAOB.从而 AO平面 OBCO1,OC 是 AC 于面 OBCO1 内的射影.因为,OBA图 4所以OO1B=60°,O1OC=30°,从而 OCBO1O1CDOBA图 4由三垂线定理得 ACBO1.（II）解由（I）ACBO1,OCBO1,知 BO1平面 AOC.设 OCO1B=E,过点 E 作 EFAC 于 F,连结 O1F（如图 4）,则 EF 是 O1F 于平面 AOC内的射影,由三垂线定理得 O1FAC.所以O1FE 是二面角 OACO1 的平面角.由题设知 OA=3,OO1=,O1C=1,所以,从而,

18、又 O1E=OO1·sin30°=,所以即二面角 OACO1 的大小是解法二（I）证明由题设知 OAOO1,OBOO1.所以AOB 是所折成的直二面角的平面角,即 OAOB.故能够 O 为原点,OA、OB、OO1所于直线分别为轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系, 如图,则关联各点的坐标是 A（3,0,0）,B（0,3,0）,C（0,1,）O1（0,0,）.从而所以 ACBO1.（II）解：因为所以 BO1OC,由（I）ACBO1,所以 BO1平面 OAC,是平面 OAC 的壹个法向量.设是 0 平面 O1AC 的壹个法向量,由得.设二面角 OACO1 的大小为,由、的方向

19、可知,>,所以 cos,>=即二面角 OACO1 的大小是。7（05 福建）证明：（I）DCG（II）连结 AC、BD 交于 G,连结 FG,ABCD 为正方形,BDAFAC,BF平面 ACE,FGAC,FGB 为二面角 B-AC-E 的OBE平面角, 由（ I） 可知,AE 平面 BCE, AE EB,又 AE=EB,AB=2, AE=BE=,于直角三角形 BCE 中,CE=于正方形中,BG=,于直角三角形 BFG 中,二面角 B-AC-E 为。（III）由（II）可知,于正方形 ABCD 中,BG=DG,D 到平面 ACB 的距离等于 B 到平面 ACE 的距离,BF平面 AC

20、E,线段 BF 的长度就是点 B 到平面 ACE的距离,即为 D 到平面 ACE 的距离所以 D 到平面的距离为另法：过点 E 作交 AB 于点 O.OE=1.二面角 DABE 为直二面角,EO 平面 ABCD.设 D 到平面 ACE 的距离为 h,平面 BCE,点 D 到平面 ACE 的距离为解法二：（）同解法壹.（）以线段 AB 的中点为原点 O,OE 所于直线为 x 轴,AB 所于直线为 y 轴,过 O 点平行于 AD 的直线为 z 轴,建立空间直角坐标系 Oxyz,如图. 面 BCE,BE 面 BCE,于的中点,设平面 AEC 的壹个法向量为, 则解得令得是平面 AEC 的壹个法向量.

21、又平面 BAC 的壹个法向量为,二面角BACE 的大小为（III）AD/z 轴,AD=2,点 D 到平面 ACE 的距离8（05 辽宁）（）证明：连结 CF.（）解法壹：为所求二面角的平面角.设 AB=a,则 AB=a,则解法二：设 P 于平面 ABC 内的射影为 O.得 PA=PB=PC.于是 O 是ABC 的中心.为所求二面角的平面角.设 AB=a,则（）解法壹：设 PA=x,球半径为 R.,的边长为。解法二：延长 PO 交球面于 D,那么 PD 是球的直径.连结 OA、AD,可知PAD 为直角三角形.设 AB=x,球半径为 R.。9（05 全国 I）方法壹：（I）证明：PA面 ABCD,

22、CDAD,由三垂线定理得：CDPD.因而,CD 和面 PAD 内俩条相交直线 AD,PD 均垂直, CD面 PAD.又 CD 面 PCD,面 PADPCD.（II）解：过点 B 作 BECA,且 BE=CA,则PBE 是 AC 和 PB 所成的角.连结 AE,可知 AC=CB=BE=AE=,又 AB=2,所以四边形 ACBE 为正方形.由 PA面 ABCD 得PEB=90°,于 RtPEB 中 BE=,PB=,cosPBE=AC 和 PB 所成的角为 arccos.(III)解： 作 AN CM, 垂足为 N, 连结 BN.于 Rt PAB 中, AM=MB, 又AC=CB,AMCBMC,BNCM,故ANB 为所求二面角的平面角。 CB AC, 由三垂线定理, 得 CB PC, 于 Rt PCB 中, CM=MB, 所以CM=AM.于等腰三角形 AMC 中,AN·