现代控制理论(17-21讲：第5章知识点)

1、1第第5章章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析 5-1 Lyapunov定义下的稳定性定义下的稳定性一、外部稳定性与内部稳定性一、外部稳定性与内部稳定性1、外部稳定性、外部稳定性即经典控制理论经典控制理论按照系统输入-输出特性判定系统稳定性的方法(BIBO)。最主要最主要的方法是：Routh、Hurwitz、Nyquist Criterion等。这种方法主要解决了解决了SISO线性定常系统的稳定性问题。2、内部稳定性、内部稳定性即按照系统内部状态的特性系统内部状态的特性判定系统稳定性的方法。最主要最主要的方法就是：Lyapunov第二方法第二方法。这种方法不但对线性定常系统的稳定性分析

2、十分有效，而不但对线性定常系统的稳定性分析十分有效，而且也能解决时变、非线性系统的稳定性问题且也能解决时变、非线性系统的稳定性问题。2二、二、Lyapunov对稳定性的定义对稳定性的定义1、平衡状态、平衡状态xe00( )( ,(),( )tt tttxxu平衡状态平衡状态是指任何系统在零输入情况下，系统有一个固定不变的状态，即0( ,)eet txx0按照此定义，对连续定常系统:( )( )()ttxA xu = 0如果xe是平衡状态是平衡状态，则有eA x0若A非奇异，则xe=0；若A奇异，则xe有无穷个。仅讨论位仅讨论位于坐标原点的稳定性问题于坐标原点的稳定性问题。32、Lyapunov

3、对稳定性的定义对稳定性的定义（1）稳定）稳定1x2xex0 x( )s( )s任选一实数0，对应一实数0，使得当00( , )et xx时，恒有0ett x x则称系统的平衡状态xe是稳定的。其中：范数(norm) : 表示状态向量状态向量与坐标原点之间的距离与坐标原点之间的距离。2222123.nxxxxx一般说来，与有关，也与t0 有关。如果如果与与t0 无关，无关，则称x是Lyaponov意义下的一致稳定一致稳定(uniformly stable)。4（2）渐近稳定）渐近稳定( AS :asymptotically stable)若xe是Lyapunov意义下的稳定，且有1x2xex0

4、x( )s()slim ( )ettxx则称系统的平衡状态xe是渐近稳定的。如果的大小与的大小与t0 无关无关，则称x是Lyaponov意义下的一致渐一致渐近稳定近稳定。对时变系统时变系统，一致渐近稳定比一致渐近稳定比AS更有实际意义更有实际意义。对时不变系统两者是等价对时不变系统两者是等价的。（3）大范围渐近稳定）大范围渐近稳定若xe是渐近稳定的，且其渐近稳定的范围是整个状态空间，那么平衡状态xe是大范围内的渐近稳定。必要条件：只有一个平衡状态；必要条件：只有一个平衡状态；线性定常系统：若xe是AS，那么它一定是大范围AS的。1x2xex0 x0 x0 x5（4）不稳定）不稳定如果对某一实数

5、0，无论取得多么小，由s()内出发的轨迹，只要其中只要其中有一条轨迹越出有一条轨迹越出s()，则称，则称xe为不稳定为不稳定。1x2xex0 x()s()s5-2 5-2 LyapunovLyapunov第一方法第一方法一、线性定常系统的稳定性一、线性定常系统的稳定性定理：定理： 线性定常连续系统渐近稳定的充分必要条件渐近稳定的充分必要条件是A阵的阵的所有特征值所有特征值具有负实部具有负实部。（内部稳定或状态稳定.）例：试分析下列系统的稳定性例：试分析下列系统的稳定性06211101uy xxx解解: (1) 求求A阵的特征值为阵的特征值为12det()(2)(3)23 IA故系统不是渐近稳定

6、的；故系统不是渐近稳定的；(2) 判定系统的外部稳定性判定系统的外部稳定性(BIBO)，有有61162( )()01111213(3)(2)3sG ssssssss CIAB系统的极点位于根平面的系统的极点位于根平面的左半平面左半平面，因而系统是外部稳定，因而系统是外部稳定的。系统内部不是的。系统内部不是AS，而外部是，而外部是BIBO稳定的，稳定的，从而说明从而说明了采用零极点对消的方法来校正系统的局限性了采用零极点对消的方法来校正系统的局限性。小小 结结（1）AS是指系统的零输入响应，属内部稳定性，也即是指系统的零输入响应，属内部稳定性，也即状态稳定性；状态稳定性；（2）BIBO稳定性是指

7、系统的零状态响应，即外部稳定性；稳定性是指系统的零状态响应，即外部稳定性；（3）系统内部稳定必然外部稳定，但外部稳定并非内部稳定；）系统内部稳定必然外部稳定，但外部稳定并非内部稳定；（4）若系统是）若系统是BIBO稳定的，且又能控能观，则系统一定是稳定的，且又能控能观，则系统一定是渐近稳定的。渐近稳定的。75-3 Lyapunov第二方法第二方法一、标量函数的正定性、负定性和不定性一、标量函数的正定性、负定性和不定性1、正定性、正定性 如果对所有在域s中的非零向量x，均有均有V(x)0，仅在x=0处有V(x)=0，则称标量函数V(x)在域s内是正定的；122122.V( )xexxxxxx是正

8、定的；是正定的；2、负定性、负定性 如果对所有在域s中的非零向量x，总有总有V(x)0，则称标量函数标量函数V(x)在在域域s内是半正定的内是半正定的；8如果如果V(x)是半正定，则是半正定，则-V(x)是半负定的；是半负定的；12.( )exVxx x是半正定的；是半正定的；12( )Vxx x是半负定的；是半负定的；4、不定性、不定性 无论域s多么小，在域s内，V(x)能正能负，则称标量函数V(x)是不定的；21 22.( )exVxxxx是不定的；是不定的；二、二次型函数的正定性二、二次型函数的正定性设V(x)是一个二次型标量函数，即，111111.( ).nTnnnnnppxVxxpp

9、x xx Px并设P是实对称矩阵，当x0时，有V(x)0，则称V(x)是正定的。91、二次型函数V(x)为正定为正定的充要条件充要条件是P的各阶主子式的各阶主子式为正为正，即11111121121221.00.0.nnnnppppppppp 2、二次型函数V(x)为负定为负定的充要条件充要条件是P的各阶主子式的各阶主子式满足满足下列条件：0iii 为 偶 数为 奇 数Sylvester 准则：准则：2221231 22 31 3.( )4224Tex Vxxxxxx xxxxx Px1123231012( )141211TxVxxxxx xx Px应用Sylvester 准则，有123000

10、故v(x)是正定的。10 习题习题: 4-1 4-2 11三、三、Lyapunov第二方法的几个定理第二方法的几个定理基本思路基本思路：受扰、获得能量、能量函数、运动的几种形式、Lyapunov函数；1、定理一：、定理一：( , ) tx f x设系统的状态方程为: xe=0是其平衡状态。如果存在一个有连续的一阶偏导数的标量函数V(x)，并且满足下列条件： V(x)是正定的；是正定的；(2) 是负定的；是负定的；( )Vx则在状态空间坐标原点处的平衡状态是渐近稳定的。此时，如果随着如果随着|x|，V(x) ，那么在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定范围渐近稳定的。22121122221212()

11、()xax xxxax xx xx例例1：设系统的状态方程为：设系统的状态方程为:其中：其中：a为非零正常数。试为非零正常数。试分析系统的稳定性。分析系统的稳定性。12解：（解：（1）由）由 , 求得求得( ) tx0ex= 0是系统唯一平衡状态；是系统唯一平衡状态；（2）选择可能的）选择可能的Lyapunov函数为：函数为：2212( )Vxxx是二次型函数，显然是正定的；是二次型函数，显然是正定的；（3）求）求V(x)的导数：的导数：2212121222212( )()222 ()dVxxx xx xdta xx x显然是负定的，故系统显然是负定的，故系统AS；而而221212)xxxor

12、 x x2212( )Vxx x故系统在平衡状态是大范围渐近稳定的。故系统在平衡状态是大范围渐近稳定的。132、定理二：、定理二：( , ) tx f x设系统的状态方程为: xe=0是其平衡状态。如果存在一个有连续的一阶偏导数的标量函数V(x)，并且满足下列条件： V(x)是正定的；是正定的；( )Vx(2) 是半负定的；是半负定的；(3) 对于任意初始时刻t0时的任意状态x00, 在tt0时，除了在x=0时,有 外， 不恒等于零不恒等于零，则系统在平衡状态是渐近稳定渐近稳定的。如果随着|x|，V(x) ，那么在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定大范围渐近稳定的。( )0Vx( )Vx在应用定

13、理二时，注意以下两种两种情况：1x2x00 x( )0Vx( )VCx（1）极限环的情况。稳定，但不是渐近稳定但不是渐近稳定；141x2x00 x( )VCx( )Vx（2） 不恒等于不恒等于0，属于x的运动轨迹与V(x)=C相相切切的情况，但最终趋于原但最终趋于原点点，因此系统渐近稳定系统渐近稳定。12212xxx xx例例2：设系统的状态方程为：设系统的状态方程为:试分析系统的稳定性。试分析系统的稳定性。解：（解：（1）由）由 , 求得求得( ) tx0ex= 0是系统唯一平衡状态；是系统唯一平衡状态；（2）选择）选择Lyapunov函数为：函数为：15（3）2221212122( )()

14、222dVxxx xx xxdt x故故V(x)的导数是半负定的；的导数是半负定的；（4）由：）由：2212120,00 xxxxxx 有2x 不恒等于零22( )2Vx x不恒等于零故系统在平衡状态是大范围渐近稳定的。故系统在平衡状态是大范围渐近稳定的。2212( )Vxxx二次型函数，是正定的；二次型函数，是正定的；3、定理三：、定理三：( , ) tx f x设系统的状态方程为: xe=0是其平衡状态。如果存在一个有连续的一阶偏导数的标量函数V(x)，并且满足下列条件：16 V(x)在原点的某一邻域内是正定的；在原点的某一邻域内是正定的；( )Vx(2) 在同样的邻域内也是正定的；在同样

15、的邻域内也是正定的；那么系统在原点处的平衡状态是不稳定的。（注意：此地V(x)的导数也可半正定，但有但有V(x)的导数不恒为零的导数不恒为零。）21122212sin tcos tttxx ex exxx例例3：设时变系统的状态方程为：设时变系统的状态方程为:分析系统的稳定性。分析系统的稳定性。解：（解：（1） 显然显然 是系统平衡状态是系统平衡状态;ex = 0（2）选择）选择V(x)为：为：12( )2tVe x xx在在、象限，象限，V(x)0是正定的；是正定的；17（2）在相同的区域内求）在相同的区域内求V(x)的导数，有：的导数，有：12212222121212()2()22()(

16、)2()ttVex xx xex xxxVxxxx当当V(x) 0时，时， ,故系统在平衡状态故系统在平衡状态xe是不稳是不稳定的。定的。( )0Vx小小 结结（1）Lyapunov函数是一个正定的标量函数；函数是一个正定的标量函数；（2）对于一个给定的系统，）对于一个给定的系统，Lyapunov函数不是唯一函数不是唯一的；的；（3）Lyapunov第二方法的定理均是充分条件，因此当第二方法的定理均是充分条件，因此当你选定的你选定的V(x)不满足定理的条件时，不能断定系统的稳不满足定理的条件时，不能断定系统的稳定性，很可能你没找到合适的定性，很可能你没找到合适的V(x)；（4）一般选取）一般选

17、取V(x)=xTpx为最简单的二次型，但并不为最简单的二次型，但并不意味着意味着V(x)一定就是简单的二次型；但是对于线性系一定就是简单的二次型；但是对于线性系统的统的V(x)一定可以用二次型来构造。一定可以用二次型来构造。185-4 线性系统稳定性分析线性系统稳定性分析一、线性定常连续系统的稳定性分析一、线性定常连续系统的稳定性分析定理（充分必要条件）：定理（充分必要条件）：( ),txAx给定线性定常系统为:ex0是其平衡状态，若对任何对称的正定矩阵Q，都存在一个对称对称正定矩阵正定矩阵P，使满足T A PPAQ 则系统在平衡状态xe=0是渐近稳定的（当然是大范围AS），而且是系统的一个L

18、yapunov函数。（在应用中只要简单地取只要简单地取Q=I即可即可.）( )TVxx Px证：( )0T xx Pxx0设：V（）对上式求导，有19( )() ()()()TTTTTTTTTTVxx PxxPxx P xAxPxx P Axx A Pxx PAxxA PPA x欲使系统在原点是渐近稳定的，则要求v(x)的导数是负定的，故必须有( )0TV xx Qx即T A PPAQQ是正定的，-Q必是负定的，故定理得证。例例1：设控制系统的状态方程为：设控制系统的状态方程为：1214xx试用试用Lyapunov第二方法判别系统的稳定性。第二方法判别系统的稳定性。20解：解： （1）因为）因

19、为A非奇异，故非奇异，故xe=0；（2）设）设 ，而，而( )TVxx PxT A PPAQI故故1112111212221222111210241401pppppppp由此，可得由此，可得11121112221222221250481ppppppp 解之，得解之，得11122223711606060ppp 211112122223760607116060pppp P验算验算P的正定性，有的正定性，有1112360p 2237204606007113606060 即即P是正定的，系统在是正定的，系统在xe=0是渐近稳定的。是渐近稳定的。（4）系统的）系统的Lyapunov函数为：函数为：122

20、1211 22223716060( )(231411 )711606060TxVxxxx xxxxx Px故故2212( )TVxx xx Qx显然是负定的，故知求解正确。显然是负定的，故知求解正确。22 习题习题:4.4 4.6 (1) (3) 4-7 23二、线性离散系统的稳定性分析二、线性离散系统的稳定性分析定理定理:给定线性离散系统为给定线性离散系统为:(1)( )( )ekkkxGxx0 系统在xe=0是渐近稳定的充分必要条件充分必要条件是：对给定任一正定对称矩阵Q，都存在一个正定对称矩阵P，使满足T G PGPQ而且( ( )( )( )TVkkkxxPx是这个系统的Lyapuno

21、v函数。证：证：( ( )( )( )0( )Tkkkk xxPxx0设 V（）故有故有24()(1)()(1)(1)()()()()()()()()()()()()()TTTTTTTTTVkVkVkkkkkkkkkkkkkkkxxxxP xxP xG xP G xxP xxGP G xxP xxGP GP x 因为因为V(x(k)为正定的，而为正定的，而AS的条件要求的条件要求V(x(k)是负定的，故是负定的，故( ( )( )() ( )( )( )TTTVkkkkk xxG PGP xxQx即即T G PGPQ证毕。证毕。注意：注意： 为了简单起见，一般可取为了简单起见，一般可取Q=I；

22、但若在；但若在xo时，时，V(x(k)不恒等于零，也可取不恒等于零，也可取Q为半正定。为半正定。25例例2：线性定常离散时间系统的状态方程为：线性定常离散时间系统的状态方程为：0.80.4(1)( )1.20.2kkxx试判断系统的稳定性。试判断系统的稳定性。取取Q=I，则由，则由GTPG-P=-Q，有，有11121112122212220.8 1.20.80.41 00.4 0.21.20.201pppppppp解出解出P阵为：阵为：111212223.9041.0571.0572.223ppppP显然，矩阵显然，矩阵P是正定的。所以：是正定的。所以：xe=0是是AS的。的。解：解：( ),

23、ek x0故265-5 非线性系统的稳定性分析非线性系统的稳定性分析 与线性系统的稳定性分析不同，非线性系统的稳定性往往具有局部的性质，即非线性系统在大范围内不是渐近稳定的，但可能是局部渐近稳定的。xx2242420.520 xxxx例如：非线性系统例如：非线性系统 其相平面图如图所示：阴影内出发的轨迹均是收敛的；而阴影外的轨迹都趋于无限远点。系统具有局部稳定性。 因而应当找出在原点周围最大邻域内，满足渐近稳定条件的V(x)； 目前对非线性系统的V(x)尚无统一求取方法，本节介绍的方法均是充分条件。27一、克拉索夫斯基一、克拉索夫斯基(Krasovskii)法法设非线性系统的状态方程为( )(

24、 )xf xf 00设f(x)对xi (i=1,2,.n)是可微的，故系统的Jacobian矩阵为1111212.( ).nTnnnnfffxxxfffxxxfJ xxKrasovskii定义：( )( )( )TQ xJxJ x28则 如果Q(x)是负定是负定的，那么平衡状态xe=0是渐近稳定的。系统的Lyapunov函数为:( )( ) ( )TTVxx xfx f x 而且，如果xx,有有v(x)，那么xe =0是大范围渐大范围渐近稳定近稳定的。证：故有( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )TTTVxfx f xfx f xfx f x( )( ) ( )( ) ( )( )

25、( )TTTVxfx f xfx f xfx f x( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( )( )( )( ) ( )TTTTTTTTJ x f xf xfx J x f xfx Jx f xfx J x f xfxJxJ xf xfx Q x f x29即Q(x)是负定的，则 也是负定的；( )Vx另外，对任一非零n维向量x，有( )TTTTTTx Q x xxJ (x)J(x) xx J (x)xx J(x)x( )TTTTTTx Q x xxJ (x)J(x) xx J (x)xx J(x)x2TTTTx J(x)xx J(x

26、)xx J(x)x这表明如果Q(x)负定，则J(x)负定。因此若x0，则J(x)0，也即说明x0，f(x) 0:0,( )( ) ( )0,TV x0 xfx f xx0即V(x)是正定的。例例1：利用：利用Krasovskii法确定下列系统在平衡状态法确定下列系统在平衡状态xe=0的稳的稳定性。定性。1132122xxxxxx 30解：显然解：显然x=0为系统的平衡状态，有为系统的平衡状态，有13122xxxxf(x)221011 3x J(x)故故2221126Tx Q(x)J (x)J(x)由由Sylvester准则，有准则，有1222203 120 x 故故x0,Q(x)是负定的，系统

27、在是负定的，系统在xe=0是渐近稳定的；且是渐近稳定的；且当当x时，有时，有2321122( )( ) ( )()TVxxxx xfx f x因此系统在因此系统在xe=0是大范围渐近稳定的。是大范围渐近稳定的。31解：解：例例2：确定下列系统在平衡状态：确定下列系统在平衡状态xe 渐近稳定的条件。渐近稳定的条件。112212()xf xxxxax假定假定f(0)=0，a0。(1).ex0 x0由，解出：111(2)fxaJ(x)12222TfxaQ(x)J (x)J(x)32(3)由由Sylvester准则，欲使准则，欲使Q(x)是负定的，则是负定的，则111200ffxx 即：2111440

28、ffaxxa 即：故当故当a0， 时，系统在时，系统在xe=0是渐近稳定的。是渐近稳定的。11fxa 注意注意:(1).对线性定常系统,其Jacobian矩阵为J(x)=A, Q(x)=AT+A；若A为非奇异,Q(x)为负定,则系统在xe =0是渐近稳定的；(2).对某些线性或非线性系统某些线性或非线性系统，其Q(x)阵不一定是负定的阵不一定是负定的，这时就不能对系统的稳定性提供任何信息；(3).要使Q(x)为负定为负定的必要前提必要前提是：Q(x)的主对角线上的的主对角线上的所有元素不能恒等于零所有元素不能恒等于零。33 习题习题: 4.5 4.934二、变量二、变量-梯度法梯度法1、预备知

29、识（1）V(x)是一个标量（纯量）函数是一个标量（纯量）函数，即只考虑大小、正负而不考虑方向的函数；但它又是一个多元函数；正因为它是标量函数，因而它的梯度一定存在；（2）梯度场一定是个保守场（有势场），保守场的旋度必为零，即保守场是一个无旋场；（3）由于梯度V的取法是多种多样的，因而V(x)不是唯一的；但一当V取定了，那么一定有唯一的V(x)与之对应。2、变量、变量-梯度法梯度法设所研究的非线性系统为( , )etxf xx0假定V(x)是系统的一个李氏函数，那么:351212( ).()TnnVVVVxxxVxxx xx即V(x)的导数可由V求得；（1） 的计算的计算( )Vx（2）V(x)

30、的确定的确定( )()TVVdx0 xx当被积函数是梯度时，线积分与路径无关，故1232113112211(. 0)(,. 0)112200(,.)0( )().nnnTxxxxxxxxxxxxxxnnVVdV dxV dxV dxx0 xx即V(x)可由它的梯度V唯一的确定；36（3）对V的约束 现在把寻求V(x)的问题，已经转换成了寻求一个合适的V(x)的梯度V的问题，因而V必须受到一定的约束。a. 旋度方程 为了保证假定的V ，是V(x)的梯度，那么必有:()0rotV 也即由旋度方程所构成的Jacobian矩阵必须是对称的:1111212.().niTinnnnVVVxxxVVVxVVVxxx Jx即满足下列个n(n-1)/2旋度方程:37( ,1,2,. )jijiVVi jnxx当n=3时，则旋度方程为：331221213213VVVVVVxxxxxxb. 由V计算出的V(x)和 必须满足 Lyapunov稳定性定理的要求，即：( )Vx( )0