数学专业论文

1、安阳师范学院本科学生毕业论文数列极限的求法作 者 董亚芳 系（院） 数学与统计学院 专业数学与应用数学专业年级 08级数应一班 学 号 080801010 指导教师 朱石焕 日期 2012年4月17日 学生诚信承诺书本人郑重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。签名：日期：论文使用授权说明本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学

2、位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。签名：导师签名：日期：数列极限的求法董亚芳(安阳师范学院 数学与统计学院,河南 安阳 455000)摘要：数列极限可用语言和语言进行准确定义，本文主要讲述数列极限的不同求法，例如：极限定义求法、极限运算法则法、夹逼准则求法、单调有界定理求法、函数极限法、定积分定义法、Stoltz公式法、几何算术平均收敛公式法、级数法、收缩法等等.我们还会发现同一数列极限可用不同方法来求.关键词：定义；夹逼准则；Stoltz公式；函数极限第一章 数列极限的概念 在研究

3、数列极限解法之前，首先我们要清楚数列极限的定义.这是对数列极限做进一步深入研究的先决基础.1.1 数列极限的来源及定义 数列极限概念是由于某些实际问题的精确解答而产生的。如我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法割圆术。因一系列正多边形的面积子在无限增大时，内接正多边形无限接近于圆，同时也无限接近于某一确定的数，此时这一数值可精确表达圆的面积。在解决类似实际问题中逐步的引出了数列极限。定义1（语言）：设是个数列，是一个定数，若，正整数N,使得当n>N时，都有，则称数列收敛于，定数称为数列的极限，并记作，或,读作"当n趋于无穷大时，的极限等于或趋于&q

4、uot;定义2 ：，若在之外数列中的项至多只有有限个，则称数列收敛于极限。注意：由定义2可知，若，使得数列中有无穷多个项落在之外，则一定不以为极限。定义2（A-N语言）：若A>0，正整数N，使得当n>N时，都有，则称是数列当n无限大时的非正常极限，或称发散于，记作或，这时，称有非正常极限。对于有类似的定义。为了后面数列极限的解法做铺垫，我们先介绍一些常用定理. 1.2 数列极限求法的常用定理定理1.2.1（数列极限的四则运算法则）若和为收敛数列，则，也都是收敛数列，且有若再假设及，则也是收敛数列，且有定理1.2.2（单调有界定理）在实数系中，有界的单调数列必有极限。定理1.2.3（

5、型stoltz公式） 设有数列，其中严格递增，且，如果则定理1.2.3'(型stoltz公式)设严格递减，且，若则注意：特别地，由定理3得定理 1.2.4（几何算术平均收敛公式）：若，则(1) 当时，有(2)定理 1.2.5（迫敛性） 设收敛数列，都以为极限，数列满足：，当时，有，则数列收敛，且定理 1.2.6（归结原则）设在内有定义，存在的充要调件是：对任何含于且以为极限的函数列，极限都存在且相等。第二章 数列极限的求法2.1 极限定义求法 在用数列极限定义法求时，关键是找到正数.我们前面一节的定理1.2.4（几何算术平均收敛公式）的证明就可用数列极限来证明，我们来看几个例子.例2.

6、1.1 求，其中.解：.事实上，当时，结论显然成立.现设.记，则. 由 ,得 . （5）任给，由（5）式可见，当时，就有.即.所以.对于的情况，因，由上述结论知，故 .综合得时，.例2.1.2 定理1.2.4（1）式证明.证明：由，则，存在，使当时，有 ,则 .令，那么 .由，知存在，使当时，有.再令,故当时，由上述不等式知 .所以 .2 极限运算法则法 我们知道如果每次求极限都用定义法的话，计算量会太大.若已知某些极限的大小，用定理1.2.1就可以简化数列极限的求法.例2.2.1 求,其中.解：分子分母同乘，所求极限式化为 .由知，当时，所求极限等于；当时，由于，故此时所求极限等于0.综上所

7、述，得到 例2.2.2 求，其中.解: 若，则显然有；若，则由得 ；若，则 .2.3 应用迫敛性求极限 定理1.2.5又称夹逼准则，它不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求极限的工具.例2.3.1 求极限.解：因为 ，所以 .因 ，再由迫敛性知 .例2.3.2 求数列的极限.解： 记，这里，则 ,由上式得 ，从而有 , （2）数列是收敛于1的，因对任给的，取，则当时有.于是，不等式（2）的左右两边的极限皆为1,故由迫敛性得 .例2.3.3 设及，求.解：.事实上，先令，把写作，其中.我们有 .由于，可见是无穷小.据等式 ，注意到，由方才所述的结果是无穷小.最后的等式表明，可表为有

8、限个（个）无穷小的乘积，所以也是无穷小，即 .2.4 单调有界定理求法 有的时候我们需要先判断一个数列是否收敛，再求其极限，此时该方法将会对我们有很大帮助，我们来看几个例子.例2.4.1 求例2.1.3注解中的.解：.事实上，令.当时， .因此从某一项开始是递减的数列，并且显然有下界0.因此，由单调有界原理知极限存在，在等式的等号两边令，得到,所以为无穷小.从而 . 例2.4.2 求极限（个根号）.解：设， 又由，设，则.因，故单调递增.综上知单增有上界，所以收敛.令由，对两边求极限得，故.2.5 函数极限法 有些数列极限可先转化为函数极限求可能很方便，再利用归结原则即可求出数列极限.例2.5

9、.1 用函数极限法求例2.1.1,即求.解：先求，因,再由归结原则知.例2.5.2 用函数极限求例2.3.2,即求.解：先求.因，再由归结原则知.例2.5.3 用函数极限求例2.3.3,即设及，求.解：先求.因（由洛比达法则），再由归结原则知.2.6 定积分定义法 通项中含有的数列极限，由于的特殊性，直接求非常困难，若转化成定积分来求就相对容易多了.例2.6.1 求.解：令，则.而,也即，所以.例2.6.2 求极限.解：因为 ， ，类似地 ，由夹逼准则知 .注：在此式的求解中用到了放缩法和迫敛性.2.7 Stoltz公式法Stoltz公式，在求某些极限时非常方便，尤其是当时特别有效.例2.7.

10、1 同例2.1.2，定理1.2.4（1）式证明.证明：前面用定义法证明，现用Stoltz公式证明.令，则由Stoltz公式得到 .例2.7.2 求.解： （Stoltz公式） （二项式定理） .2.8 几何算术平均收敛公式法 上面我们用Stoltz公式已得出定理1.2.4,下面我们通过例子会发现很多类型的数列极限可以用此方法来简化其求法.例2.8.1 同例2.1.1一样求，其中.解：令,由定理1.2.4（2）知 .例2.8.2 同例2.3.2一样求.解：令,由定理1.2.4（2）知 .例2.8.3 同例2.6.1相似求.解：令,则 .所以 ，也即，而由定理1.2.4（2）知 .故 .例2.8.

11、3 求.解：令，则由定理1.2.4（1）知 .2.9 级数法 若一个级数收敛，其通项趋于0（）,我们可以应用级数的一些性质来求数列极限，我们来看两个实例来领会其数学思想.例2.9.1 用级数法求例2.1.3注.解：考虑级数，由正项级数的比式判别法，因 ，故级数收敛，从而.例2.9.2 用级数法求例2.3.3,即设及，求.解：考虑正项级数，由正项级数的比式判别法，因 ，故正项级数收敛，所以.例2.9.3 求极限.解： 因级数收敛，由级数收敛的柯西准则知，对，存在, 使得当时， ，此即，所以 .例2.9.4 求极限.解：令，所以.考虑级数 ，因为，所以此级数收敛.令 ，则.再令， .所以 .而 ,

12、所以 .第三章 结 论 通过上述章节我们探讨了数列极限的求法.我们知道极限是数学分析的基石，是微积分学的基础，可见数列极限是一种重要的极限类型.掌握数列极限的概念、性质和计算是学好函数极限和微积分的前提和基础，.通过前面的例子我们知道求数列极限的方法灵活多样，给一些数学问题的讨论和计算带来极大的方便.对它的研究也使数学分析在经济领域和数学领域中发挥更大的作用.这在数学分析关于函数极限和微积分学的研究及其应用中都有非常重要的理论意义和应用价值.所以，国内外学者对数列极限的求法及其在实际应用的研究一直未中断，同时仍存在很多内容等待我们新时期的学术爱好者去探讨,去解决，去突破. 参考文献1 数学分析

13、题解精粹（第二版）/钱吉林等主编崇文书局，2009.2 数学分析教程（上册）/常庚哲，史济怀编高等教育出版社，2003.3 数学分析（上册 第三版）/华东师范大学数学系编高等教育出版社，2007.4 数学分析第一册/徐森林，薛春华编清华大学出版社，2005.5 求数列极限的方法探讨/郑允利高等函数学报（自然科学版），2010年06期.6 两类数列极限的求法/陈凌科技创新导报，2010年第28期.7 谈谈极限的求法/林瀚斌大众商务，2009年第12期.8 高等数学中数列极限的几种求法/周林湖北广播电视大学学报，2008年第11期.9 求数列极限的几种方法/李素峰邢台学院学报，2007年02期.O

14、n the Solutions and the Applications as to the Sequence LimitDong Yafang(Department of Mathematiacs and statistics,Anyang Normal University ,Anyang, Henan 455000)Abstract:The limit of a sequence can be accurately defined by language and language. This paper mainly describes different solutions to finding sequence limit, for example, definition of sequence limit method, fundamental operations of sequence limit method, squeezing law method, the monotone convergence theorem method, function limits method, definite integrals definition method, Stoltz formula method, geomer