大学概率论教学第三章ppt

1、一.边缘分布& 二.独立性& 三.随机变量函数的分布1 二维随机变量的分布二维随机变量的分布 定义定义( (p52)p52) n n个随机变量个随机变量X X1 1,X,X2 2,X,Xn n构成的构成的n n维随机维随机向量向量(X(X1 1,X,X2 2,X,Xn n),),称为称为n n维随机变量。维随机变量。一维随机变量一维随机变量XR1上的随机点坐标。上的随机点坐标。二维随机变量二维随机变量(X,Y)R2上的随机点坐标。上的随机点坐标。n n维随机变量维随机变量(X(X1 1,X,X2 2,X,Xn n) )Rn上的随机上的随机点坐标。点坐标。几何意义：几何意义：分布

2、函数分布函数F(x0,y0) 表示随机点表示随机点(X,Y)落在区域落在区域 (x,y)|-xx0, -yy0中的概率。如图阴影部分：中的概率。如图阴影部分： 定义定义(p52)设设(X, Y)是二维随机变量，是二维随机变量，(x, y) R2, 则称则称 F(x,y)=PX x, Y y为为(X, Y)的的分布函数分布函数，或称为，或称为X, Y的联合分布函数的联合分布函数。 对于对于(x1, y1), (x2, y2) R2, (x1x2，y1y2 ),则则 Px1X x2，y1Y y2 F(x2, y2)F(x1, y2) F (x2, y1)F (x1, y1).(x1, y1)(x2

3、, y2)(x2, y1)(x1, y2)0),(lim),( yxFFyx1),(lim),( yxFFyx且且0),(lim),( yxFyFx0),(lim),( yxFxFy(1) 归一性归一性 对任意对任意(x, y) R2 , 0 F(x, y) 1,分布函数分布函数F(x,y)F(x,y)具有如下具有如下性质性质：(p53)(p53) (2) 单调不减单调不减 对任意对任意y R, 当当x1x2时，时， F(x1, y) F(x2 , y)； 对任意对任意x R, 当当y1y2时，时， F(x, y1) F(x , y2). );y,x(F)y, x(Flim)y, 0 x(F0

4、 xx00 ).y, x(F)y, x(Flim)0y, x(F0yy00 (3) 右连续右连续 对任意对任意x R, y R, (4) 矩形不等式矩形不等式对于任意对于任意(x1, y1), (x2, y2) R2, (x1x2，y1Y211),(010 xyxdydxdxdyyxfYXP11xy求：求：(1)(1)常数常数A A；(2) F(1,1)(2) F(1,1)；(3)(X,Y)(3)(X,Y)落在三角形区域落在三角形区域D:xD:x 0,y0,y 0,2x+3y0,2x+3y 6 6的概率的概率. . 其它,00, 0,),(),()32(yxAeyxfYXyx例例3 设设解解：

5、(1) 由归一性由归一性6 A ) 1 , 1 () 2(F 0 0)32(1dxdyAeyx 101032)32()1)(1(6eedxdyeyx dxdyyxf),(3) (X,Y)(3) (X,Y)落在三角形区域落在三角形区域D D：x x 0,y0,y 0,2x+3y0,2x+3y 6 6 内的概率。内的概率。解解:dxdyeDYXPDyx )32(6),( 303260)32(6dyedxxyx671ex(, )GDSPX YGS易见，若（易见，若（X，Y）在区域）在区域D上上(内内) 服从均匀分布服从均匀分布,对对D内任意区域内任意区域G，有，有两个常用的二维连续型分布两个常用的二

6、维连续型分布(p59) 定义定义若二维随机变量若二维随机变量(X, Y)的密度函数为的密度函数为 其其它它，, 0),(1),(2RDyxSyxfD 则称则称(X, Y)在区域在区域D上上(内内) 服从二维均匀分布。服从二维均匀分布。 例例4.4.设设(X,Y)(X,Y)服从如图区服从如图区域域D D上的均匀分布，上的均匀分布，(1)(1)求求(X,Y)(X,Y)的概率密度；的概率密度；(2)(2)求求PY2X PY2X ；(3)(3)求求F(0.5,0.5)F(0.5,0.5)1DS其它0),(1),() 1 (Dyxyxf解解:4121121 GS41212113 S411412)2( X

7、YP41)5 . 0 , 5 . 0()3( FDxyG2 HDyxH5 . 0, 5 . 0 ),(),(222121 NYX二维正态分布二维正态分布(P59)求求：（1 1）PXPX 0,(2)PX0,(2)PX 11其它00),(yxeyxfy随机变量（随机变量（X X，Y Y）的概率密度为）的概率密度为xyD解解: PXPX 0=00=011011 edyedxXPxyFY(y)F (+, y) PYy 称为二称为二维随机变量维随机变量(X, Y)关于关于Y的边缘分布函数的边缘分布函数. )y,x(Flimy )y,x(Flimx FX(x)F (x, +) PXx称为二维随机变量称为

8、二维随机变量(X, Y)关于关于X的边缘分布函数的边缘分布函数；边缘分布实际上是高维随机变量的某个边缘分布实际上是高维随机变量的某个(某些某些)低低维分量的分布维分量的分布。2 边缘分布边缘分布一、边缘分布函数一、边缘分布函数(p56)(p56)0001),()( xxexFxFxX0001),()( yyyeeyFyFyyY解：解：例例1. 已知已知(X,Y)的分布函数为的分布函数为 其它其它00101),(xyyeeyxxeeyxFyyyx求求 FX(x)与与FY(y)。若随机变量若随机变量X与与Y的联合分布律为的联合分布律为 (X, Y) PXxi, Y yj pij ，i, j1, 2

9、, 则称则称 PXxipi. ，i1, 2, 为为(X, Y)关于关于X的边缘分布律的边缘分布律； 1jijp 1iijpPY yjp.j ，j1, 2, 为为(X, Y)关于关于Y的边缘分布律的边缘分布律。边缘分布律自然也满足分布律的性质。边缘分布律自然也满足分布律的性质。二、边缘分布律二、边缘分布律(p57)解：解：XY10pi.11/10 3/1003/10 3/10 p.j 故关于故关于X和和Y的分布律分别为：的分布律分别为： X10Y10 P 2/53/5P2/53/52/53/52/53/5例例2. 已知已知(X,Y)的分布律为的分布律为XY10 11/10 3/100 3/10

10、3/10 求求 X、Y的边缘分布律。的边缘分布律。 为为(X, Y)关于关于Y的边缘密度函数。的边缘密度函数。 dyyxfxfX),()(dxyxfyfY),()(设设(X, Y)f (x, y), (x, y) R2, 则称则称为为(X, Y)关于关于X的边缘密度函数；的边缘密度函数；同理，称同理，称易知易知, 若若(X,Y)N( 1, 2, 12, 22, ), 则则XN( 1, 12)，YN( 2, 22)，即，即二维正态分布的边缘分布也是正态分二维正态分布的边缘分布也是正态分布布。 P(59)三、边缘密度函数三、边缘密度函数(p58)(p58)解解:(1) 由归一性由归一性 1021x

11、xcdydx6 c dyyxfxfX),()()2(100 xx或或10)(6622 xxxdyxx例例3 3 设设(X,Y)(X,Y)的概率密度为的概率密度为 其其它它0),(2xyxcyxf(1)(1)求常数求常数c;(2)c;(2)求关于求关于X X的边缘概率密度的边缘概率密度x=yx=-y 其它其它01001)(11xdyxdyxfxxX 其它其它010)(ydxyfyyY设设(X,Y)(X,Y)服从如图区域服从如图区域D D上上的均匀分布，的均匀分布， 求关于求关于X X的的和关于和关于Y Y的边缘概率密度。的边缘概率密度。3 随机变量的独立性随机变量的独立性 定义定义定义：定义：

12、设设F(x,y),F(x,y),FX(x), FY(y)分别是（分别是（X,Y)的联合的联合分布函数，边缘分布函数。若对于任意分布函数，边缘分布函数。若对于任意x, y有有F(x,y)=FX(x)FY(y)则称随机变量则称随机变量X X与与Y Y相互独立相互独立。P(61)P(61)定理定理(p61) (p61) 设设(X,Y)(X,Y)是二维是二维连续型连续型随机变量，随机变量，X X与与Y Y独立的充分必要条件独立的充分必要条件是是f(x,y)=ff(x,y)=fX X(x)f(x)fY Y(y)(y)定理定理(p61) (p61) 设设(X,Y)(X,Y)是二维是二维离散型离散型随机变量

13、，其分布随机变量，其分布律为律为P Pij ij=PX=x=PX=xi, i,Y=yY=yj j,i,j=1,2,.,i,j=1,2,.，则，则X X与与Y Y独立的充独立的充分必要条件分必要条件是对任意是对任意i,j i,j，P Pij ij=P=PiiP Pj j 。EXEX：判断：判断2 2中中例例1 1、例、例2 2、例、例3 3的的X X与与Y Y是否相互独立。是否相互独立。G例例1 已知随机变量已知随机变量(X,Y)的分布律为的分布律为x 1 2 0 0.15 0.15 1 a b 且知且知X与与Y独立，求独立，求a、b的值。的值。Y例例2 2 甲乙约定甲乙约定8:008:00 9

14、:009:00在某地在某地会面。设两人都随机地在这期间会面。设两人都随机地在这期间的任一时刻到达，先到者最多等的任一时刻到达，先到者最多等待待1515分钟分钟, ,过时不候。求两人能过时不候。求两人能见面的概率见面的概率。对对n维随机变量维随机变量(X1, X2, , Xn)， (x1, x2, , xn) Rn F(x1, x2, , xn)P(X1 x1, X2 x2, , Xn xn)称为称为n维随机变量维随机变量(X1, X2, , Xn)的分布函数，或随机的分布函数，或随机变量变量(X1, X2, , Xn )的联合分布函数的联合分布函数。n n维随机变量的边缘分布与独立性维随机变量的边缘分布与独立性(p62)(p62)定义定义 设设n维随机变量维随机变量(X1 , X2,Xn)的分布函数为的分布函数为 F(x1,x2,xn), (X1 , X2,Xn)的的 k（1 k0，