ANOVA统计学之方差分析学习教案

1、会计学1ANOVA统计学之方差分析统计学之方差分析第一页，共38页。2第1页/共38页第二页，共38页。3 ANOVA ANOVA 由英国统计由英国统计学家学家R.A.FisherR.A.Fisher首创，首创，为纪念为纪念FisherFisher，以，以F F命名，命名，故方差分析又称故方差分析又称 F F 检验检验 （F testF test）。用于推断）。用于推断多个总体多个总体(zngt)(zngt)均数均数有无差异有无差异 第2页/共38页第三页，共38页。4第十章第十章 单向单向(dn xin)方差分析方差分析One-way analysis of variance第一节第一节 方

2、差分析的基本方差分析的基本(jbn)思思想想 将所有测量(cling)值间的总变异按照其变异的来源分解为多个部份，然后进行比较，评价由某种因素所引起的变异是否具有统计学意义。第3页/共38页第四页，共38页。5组间变异组间变异(biny)总变总变异异(biny)组内变异组内变异第4页/共38页第五页，共38页。61.总变异总变异(biny)（Total variation）：全部测量值）：全部测量值Yij与总均数与总均数 间的差异间的差异 2.组间变异组间变异(biny)（ between group variation ）：各组的均数：各组的均数 与总均数与总均数 间的差异间的差异3.组内变

3、异组内变异(biny)（within group variation )：每：每组的每个测量值组的每个测量值Yij与该组均数与该组均数 的差异的差异下面用离均差平方和下面用离均差平方和(sum of squares of (sum of squares of deviations from meandeviations from mean，SS)SS)反映变异反映变异(biny)(biny)的大小的大小 20.0Y YiYiY第5页/共38页第六页，共38页。 1. 总变异: 所有测量(cling)值之间总的变异程度，计算公式22111122,1)iinnaaijijijijNiji jSSY

4、YYCYCNS总(2211,()()inaNijijiji jYYCNN校正校正(jiozhng)系数：系数：1N总第6页/共38页第七页，共38页。 2组间变异(biny)：各组均数与总均数的离均差平方和，计算公式为21211()()inijjaaiiiiiYSSn YYCn组间1a组间SS组间反映了各组均数 的变异(biny)程度组间变异(biny)随机误差+处理因素效应 iY第7页/共38页第八页，共38页。21121()(1)inaijiijaiiiSSYYnS组内Na组内 3组内变异：在同一处理组内，虽然每个受试对象接受的处理相同(xin tn)，但测量值仍各不相同(xin tn)，

5、这种变异称为组内变异，也称SS误差。 用各组内各测量值Yij与其所在组的均数差值的平方和来表示，反映随机误差的影响。计算公式为第8页/共38页第九页，共38页。三种三种“变异变异”之间的关系之间的关系(gun x)离均差平方和分解：离均差平方和分解：组内组内组间组间总总SSSSSS+=， 且 总 =组间 +组内 组内变异组内变异 SS组内组内： 随机误差随机误差 组间变异组间变异 SS组间组间：处理因素处理因素 + 随机误差随机误差 第9页/共38页第十页，共38页。One-Factor ANOVA Partitions of Total VariationVariation Due to T

6、reatment SSBVariation Due to Random Sampling SSWTotal Variation SSTFCommonly referred to as:oSum of Squares Within, oroSum of Squares Error, oroWithin Groups VariationFCommonly referred to as:oSum of Squares Among, oroSum of Squares Between, oroSum of Squares Model, oroAmong Groups Variation=+第10页/共

7、38页第十一页，共38页。 均方差均方差(fn ch)(fn ch)，均方，均方(mean (mean squaresquare，MS) MS) 变变异异程程度度除除与与离离均均差差平平方方和和的的大大小小有有关关外外， 还还与与其其自自由由度度有有关关，由由于于各各部部分分自自由由度度不不相相等等， 因因此此各各部部分分离离均均差差平平方方和和不不能能直直接接比比较较，须须将将 各各部部分分离离均均差差平平方方和和除除以以相相应应自自由由度度，其其比比值值 称称为为均均方方差差，简简称称均均方方(mean square，MS)。组组 间间均均方方和和组组内内均均方方的的计计算算公公式式为为:

8、 SSMS组间组间组间 SSMS组内组内组内 第11页/共38页第十二页，共38页。 如果各组样本的总体均数相等（如果各组样本的总体均数相等（H0：12k） ，） ， 即各处理组的样本来自相同总体，无处理因素的作用，则组即各处理组的样本来自相同总体，无处理因素的作用，则组 间变异同组内变异一样，只反映随机误差作用的大小。组间间变异同组内变异一样，只反映随机误差作用的大小。组间 均方与组内均方的比值称为均方与组内均方的比值称为 F 统计量统计量 MSFMS组间组内 1组间，2组内 F 值接近于值接近于 l，就没有理由拒绝，就没有理由拒绝 H0；反之，；反之，F 值越大，拒绝值越大，拒绝 H0的理

9、由越充分。数理统计的理论证明，的理由越充分。数理统计的理论证明，当当 H0成立成立时，时，F 统计量服从统计量服从 F 分布。分布。 ，第12页/共38页第十三页，共38页。14F 分布分布(fnb)曲曲线线10,10215, 1215, 52122121122/22/12121121)(222)(FFFf第13页/共38页第十四页，共38页。15附表附表5 F5 F界值表（方差分析用，单侧界值）界值表（方差分析用，单侧界值）上行上行(shngxng)(shngxng)：P=0.05 P=0.05 下行：下行：P=0.01P=0.01分母自由度分母自由度2 2分子的自由度，分子的自由度，1 1

10、1 12 23 34 45 56 6 1 1161161200200216216225225230230234234 405240524999499954035403562556255764576458595859 2 218.5118.5119.0019.0019.1619.1619.2519.2519.3019.3019.3319.33 98.4998.4999.0099.0099.1799.1799.2599.2599.3099.3099.3399.33 25254.244.243.393.392.992.992.762.762.602.602.492.49 7.777.775.575.

11、574.684.684.184.183.853.853.633.63 5第14页/共38页第十五页，共38页。16第15页/共38页第十六页，共38页。17第16页/共38页第十七页，共38页。18第二节第二节 实例实例(shl)8.1(shl)8.1的方差分的方差分析析第17页/共38页第十八页，共38页。19H0： 即即4个试验个试验(shyn)组总体均数相组总体均数相等等 H1：4个试验个试验(shyn)组总体均数不全相等组总体均数不全相等 检验水准检验水准 12340.05一、一、 建立建立(jinl)检检验假设验假设第18页/共38页第十九页，共38页。20表表8 - 1 不 同 解

12、 毒 药不 同 解 毒 药 对 应对 应 的 大 白 鼠 血 中 胆 硷 脂的 大 白 鼠 血 中 胆 硷 脂 酶 含 量酶 含 量 (/ m l ) 组 号组 号i 胆 硷 脂 酶 含 量胆 硷 脂 酶 含 量 ( Yi j) in jijY iY jijY2 1 2 3 1 2 1 8 1 6 2 8 1 4 6 111 1 8 . 5 2 2 3 3 . 0 2 2 8 3 1 2 3 2 4 2 8 3 4 6 1 6 8 2 8 . 0 4 7 9 0 . 0 3 1 4 2 4 1 7 1 9 1 6 2 2 6 11 2 1 8 . 7 2 1 6 2 . 0 4 8 1 2 2

13、 1 1 9 1 4 1 5 6 8 9 1 4 . 8 1 4 3 1 . 0 合 计合 计 7 3 7 9 7 9 7 8 8 6 8 5 2 4 4 8 0 2 0 . 0 1 0 6 1 6 . 0 四 种 解 毒 药 的四 种 解 毒 药 的 解 毒解 毒 效效 果 是果 是 否 相 同 ？否 相 同 ？ SiS1S2S3S4合计值5.99 4.15 3.78 4.71 6.65 第19页/共38页第二十页，共38页。21二、二、 计算计算(j sun)离均差平方、自由度、均离均差平方、自由度、均方方1 总 离 均 差 平 方 和 总 离 均 差 平 方 和总SS= 211inaij

14、ijYC=10616 (480)2/24 1016.0。 或或总SS (24-1)6.652=1016.0 总 自 由 度总 自 由 度总=24-1 23 。 2 组 间 离 均 差 平 方 和 组 间 离 均 差 平 方 和 21222221()11616811289480568.33666624inijjaiiYCSnS组间。 组 间 自 由 度组 间 自 由 度1=4-1=3， 组 间 均 方， 组 间 均 方组间MS333.568 189.44 。 3 组 内 离 均 差 平 方 和 组 内 离 均 差 平 方 和组内SS 1016.0 568.33 447.67， 组内SS (6-1

15、)5.992 (6-1)4.152+(6-1)3.782+(6-1)4.712 组 内 自 由 度组 内 自 由 度2=4(6-1)=20,组 内 均 方组 内 均 方组内MS2067.447 22.38。 第20页/共38页第二十一页，共38页。22三、计算三、计算(j sun)F值值F38.2244.189 8.46 分 子分 子 分 母分 母 自 由 度自 由 度 分 别分 别 为为 ： 3， 20 列 于 方 差 分 析 表 中列 于 方 差 分 析 表 中 (见 表见 表 8-2)。 表表 8 - 2 大 白 鼠 血 中 胆 硷 酯 酶 含 量 方 差 分 析 表大 白 鼠 血 中

16、胆 硷 酯 酶 含 量 方 差 分 析 表 变 异 来 源变 异 来 源 SS MS F P 组 间组 间 568.33 3 189.44 8.46 0.00079 组 内组 内 447.67 20 22.38 总总 1016.00 23 第21页/共38页第二十二页，共38页。23四、下结论四、下结论查 附 表查 附 表 5 F 界 值 表 ， 得界 值 表 ， 得 F0 . 0 5 ( 3 , 2 0 )=3.10 。 由 于。 由 于 F F0 . 0 5 ( 3 , 2 0 )， 故 有 概 率故 有 概 率 P 0.05 ， 根 据 式， 根 据 式 (8.5)的 推的 推 断 规

17、则 拒 绝 无 效 假 设 ， 接 受断 规 则 拒 绝 无 效 假 设 ， 接 受 备 择 假 设 。 处 理 因 素 的备 择 假 设 。 处 理 因 素 的 4 个 水 平 中 至 少 有 一 个 组 的 总 体 平 均 值 不个 水 平 中 至 少 有 一 个 组 的 总 体 平 均 值 不 同 于 其 他同 于 其 他 各 组 。 从 表各 组 。 从 表 8.1 所 示 的 各所 示 的 各iY值 可 见 ， 不 同 解 毒 药 物值 可 见 ， 不 同 解 毒 药 物 的的 效效 果 是 不 同 的 。 解 毒 药 物果 是 不 同 的 。 解 毒 药 物 A 和和 C 与 空

18、白 对 照 组与 空 白 对 照 组 D 相相 近 。近 。 B 组 血 中 胆 硷 脂 酶 含 量 较 其 他 组 为 高 。组 血 中 胆 硷 脂 酶 含 量 较 其 他 组 为 高 。 注意：当组数为注意：当组数为2时，完全随机设计的方差时，完全随机设计的方差分析结果与两样本均数比较分析结果与两样本均数比较(bjio)的的t检验结果检验结果等价，对同一资料等价，对同一资料,有：有：tF第22页/共38页第二十三页，共38页。24第三节第三节 平均值之间的多重比较平均值之间的多重比较(bjio)(bjio)不拒绝不拒绝H0，表示拒绝总体，表示拒绝总体(zngt)均数相等的均数相等的证据不足

19、证据不足 分析终止。分析终止。拒绝拒绝H0，接受，接受H1, 表示总体表示总体(zngt)均数不全均数不全相等相等哪两两均数之间相等？哪两两均数之间相等？哪两两均数之间不等？哪两两均数之间不等？ 需要进一步作多重比较。需要进一步作多重比较。第23页/共38页第二十四页，共38页。25控制累积控制累积类错误概率增大类错误概率增大(zn d)(zn d)的方法的方法采用采用(ciyng)Bonferroni法、法、SNK法和法和Tukey法等方法法等方法第24页/共38页第二十五页，共38页。26累积累积类错误类错误(cuw)(cuw)的概率为的概率为当有当有k个均数需作两两比较时，比较的次数共个

20、均数需作两两比较时，比较的次数共有有c= k!/(2!(k-2)!)=k(k-1)/2设每次检验所用设每次检验所用类错误的概率水准为类错误的概率水准为，累，累积积类错误的概率为类错误的概率为，则在对同一，则在对同一(tngy)实验资实验资料进行料进行c次检验时，在样本彼此独立的条件下，根据概次检验时，在样本彼此独立的条件下，根据概率乘法原理，其累积率乘法原理，其累积类错误概率类错误概率与与c有下列关系有下列关系：1(1)c (8.6)例如，设例如，设0.05，c=3(即即k=3)，其累积，其累积类类错误的概率为错误的概率为1(1-0.05)3 =1-(0.95)3 = 0.1432k 第25页

21、/共38页第二十六页，共38页。27一、一、BonferroniBonferroni法法方法：采用方法：采用(ciyng)/c作为下结论时作为下结论时所采用所采用(ciyng)的检验水准。的检验水准。c为两两比较次为两两比较次数，数， 为累积为累积I类错误的概率。类错误的概率。12,11ihiheYYYYtNaSMSnn组内组内（）第26页/共38页第二十七页，共38页。28例例8-18-1四个均值四个均值(jn zh)(jn zh)的的BonferroniBonferroni法法比较比较 设设/c0.05/6=0.0083,由此由此t的临的临界值为界值为t（0.0083/2,20）=2.92

22、7118.528.0(:),244201122.3866(:C)0.072.9271,(:)1.3523.482.92713.402.92714.832.9.9271(:), (:),(:)1.432271.9271t A Bt At A Dt B Ct BtBDC D 同理只有有统计学意义，其他与其他各无统计组间差异学意义。第27页/共38页第二十八页，共38页。29BonferroniBonferroni法的适用性法的适用性 当比较次数不多时，当比较次数不多时，Bonferroni法的效果法的效果较好。较好。 但当比较次数较多但当比较次数较多(例如在例如在10次以上次以上)时，时，则由于其

23、检验水准则由于其检验水准(shuzhn)选择得过低，结选择得过低，结论偏于保守。论偏于保守。第28页/共38页第二十九页，共38页。30二、二、SNKSNK法法 SNK(student-Newman-Keuls)法又称q检验，是根据q值的抽样(chu yn)分布作出统计推论（例8-1）。1将各组的平均值按由大到小的顺序排列： 顺序(1)(2)(3)(4) 平均值28.018.718.514.8 原组号BCAD2. 计算两个平均值之间的差值及组间跨度k，见表8-3第(2)、 (3)两列。3. 计算统计量q值4. 根据计算的q值及查附表6得到的q界值（p286），作出统计推断。第29页/共38页第

24、三十页，共38页。31表表 8-3 SNK 法 两 两 比 较 的 计 算 用 表法 两 两 比 较 的 计 算 用 表 对 比 组对 比 组 两 平 均 值 之 差两 平 均 值 之 差 组 间 跨 度组 间 跨 度 统 计 量统 计 量 Q ( k , 2 0 )临 界 值临 界 值 概 率概 率 (i):(h) )(iY-)(hY k q =0.05 =0.01 P (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (1):(4) 13.2 4 6.83 3.96 5.02 0.01 (1):(3) 9.5 3 4.92 3.58 4.64 0.01 (1):(2) 9.3 2 4

25、.82 2.95 4.02 0.05 (2):(3) 0.2 2 0.10 2.95 4.02 0.05 (3):(4) 3.7 2 1.92 2.95 4.02 0.05 22.38 11112662ihihihYYYYqMSnn组内 附表附表6第30页/共38页第三十一页，共38页。32Tukey 法 又 称 为 真 正 显 著 差法 又 称 为 真 正 显 著 差 (honestly significant difference ， HSD)法法 ,用用 单 一 值 作 为 判 断 标 准 。 该 法 的 计 算 步 骤 为 ：单 一 值 作 为 判 断 标 准 。 该 法 的 计 算

26、步 骤 为 ： 1 计 算 两 两 的 绝 对 差 值 计 算 两 两 的 绝 对 差 值 d( i , h )=hiYY。 结 果 见 表结 果 见 表 8-4 第第 2 行行 。 2 从 附 表 从 附 表 6 查 出查 出 =0.05 时时 q( k , N - k )= q0 . 0 5 ( 4 , 2 0 )=3.96。 3.nMS1,组内kNkqHSD3.9622.381 67.65 (8-12) 当 两 组 的 观 察 例 数 不 相 等 时 用 例 数 较 少 的当 两 组 的 观 察 例 数 不 相 等 时 用 例 数 较 少 的 ni代 替代 替 n。 4. 凡凡 d( i

27、 : h ) HSD， 则 拒 绝则 拒 绝 H0； 否 则 不 拒 绝； 否 则 不 拒 绝 H0。 表表8 - 4 H S D 法 计 算 用 表法 计 算 用 表 比 较 组比 较 组 AY-BY AY-CY AY-DY BY-CY BY-DY CY-DY 绝 对 差绝 对 差d 9 . 5 0 . 2 3 . 7 9 . 3 1 3 . 2 3 . 9 结 果 判 断结 果 判 断 拒 绝拒 绝H0 不 拒 绝不 拒 绝H0 不 拒 绝不 拒 绝H0 拒 绝拒 绝H0 拒 绝拒 绝H0 不 拒 绝不 拒 绝H0 第31页/共38页第三十二页，共38页。33第四节第四节 方差分析的假定条

28、件和数据方差分析的假定条件和数据(shj)(shj)转换转换 一、方差分析的假定条件（上述条件与两均数比较的t检验的应用条件相同。）1.各处理(chl)组样本来自随机、独立的正态总体(D法、W法、卡方检验)；2.各处理(chl)组样本的总体方差相等（不等会增加I型错误的概率，影响方差分析结果的判断） 二、方差齐性检验1. Bartlett检验法2. Levene等3. 最大方差与最小方差之比3,初步认为方差齐同。第32页/共38页第三十三页，共38页。34H0：各总体方差齐同，：各总体方差齐同，H1：各总体方差不齐。：各总体方差不齐。 kiiiCSnSkNC1222ln)1(ln)(1 1 k 误差误差MSnXXSkiikinjiijCi 11122)1()(； kNnkCkii1)1(1)1(3111 式中式中 k 为组数，为组数，in为各组例数，为各组例数，N 为总例数，为总