【素材】《等等差数列的前n项和》数列求和及解题方法(人教)(2)

1、数列求和及解题方法数列求和的常用方法题型 1. 公式法 : 适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。题型 2. 分组求和法 ：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和. 例求数列 an2nn 的前 n 项和。题型 3. 倒序相加法 ：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法） .例 6. 设 函数 f ( x)2x的 图 象 上 有两 点 P( x1 , y1 ) , P ( 2x , 2y，) 若2 x2OP1 (OP1 OP2

2、) , 且点 P 的横坐标为 1 .22（I ）求证： P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；（II ）若 Snf ( 1 )f ( 2)f ( 3)f ( n ), n N * , 求 Sn ;nnnn分析：（I ） OP1 (OP1OP2) , 且点 P 的横坐标为 1 .22 P 是 P1 P2 的中点，且 x1x2 12x12x22x1 (2 x22)2x2 (2 x12)42(2 x12x2)y1 y222x22(2 x12)(2 x22)42(2 x12x212x1)由（I ）知， x1x21 ， f ( x1 )f ( x2 ) 1且f122又Sn12n1nffff1nnnnSnn

3、n 121ffff2nnnn（1）+（2）得：2Sn1n12n2n1f 1fnfnfnfnfnfnf 12 f1 111 n322n3 22Sn2题型 4. 裂项相消法 : 适用于c其中 an 是各项不为 0 的等差数anan 1列，c 为常数；如果一个数列的每一项都能化为两项之差，而前一项的减数恰与后一项的被减数相同，一减一加。常用裂项有： 1 . an11)1n1（注：1111; ）n(nn1n(n k) knnk2 . ann(n12)1 (1(n12) ；1)(n2n( n 1)1)(n3.an1n1n（注：n1n1n1 (n kn ) ；n kk4. n n! ( n 1)! n!.

4、 等例 7已知 1222n21n(n 1)(2n1) ，求 35762n1(nN )的和1212221222321222n2解：an2n12n16，则：1222n21n(nn(n1)(2n1)1)6Sn 6112111)6 1 11 11123n(n1223nn 1=16n6 1n 1n 1题型 5. 错位相减法 : 适用于 an bn 其中 an 是等差数列， bn 是各项不为 0 的等比数列。则数列an bn 的前 n 项和 Sn 求解，均可用错位相减法。（错位相减法的步骤是：在等式两边同时乘以等比数列bn 的公比；将两个等式相减； 利用等比数列的前n 项和公式求和. ）例 8. 已知数列 an 满足 an(2 n1) 2n ，求 an 的前 n 项和 Sn分析：由题意得： Sn213 225 23(2 n 1) 2n （* ）2Sn223235 24(2 n1) 2n1（* ）（* ）- （* ）得： Sn22(2 2