【精品】高三数学1.3抽样方法(第二课时)大纲人教版选修

1、【精品】高三数学1.3抽样方法 ( 第二课时 ) 大纲人教版选修课题抽样方法 (二 ) 系统抽样和分层抽样教学目标一、教学知识点1.理解抽样方法中的系统抽样和分层抽样,并掌握这两种抽样的概念和步骤.2.深刻理解系统抽样中,在整个抽样过程中,每个个体被抽取的概率仍然是相等的.二、能力训练要求1.会用系统抽样和分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本,并解决一些简单的实际问题 .2.会运用等价转化、 分类讨论等数学思想方法去解决系统抽样和分层抽样里的实际问题.3.能运用条件概率和概率乘法公式进行解释：在整个抽样过程中每个个体被抽取的概率仍然是相等的 .三、德育渗透目标1.培养学生收集信息、加工信息

2、的能力,培养学生观察问题、分析问题、 概括问题的能力.2.培养学生热爱生活、热爱生命的意识,提高学生动脑动手实际操作问题的能力,从做中学,深刻体会生命的意义.3.培养学生唯物辩证法的观点,要具有一定认识论的基础,用发展的眼光、进步的眼光去看待社会的进步.教学重点系统抽样和分层抽样是抽样方法中的重要而又简单的方法之一,它们是数理统计的基础,与简单随机抽样有着密切联系,即在将总体中的个体均分后的每一段进行抽样时,采用的是简单随机抽样 .教学难点系统抽样和分层抽样都是等概率抽样的解释,整个抽样过程中每个个体被抽取的概率是相等的 .教学方法建构主义观点在高中数学课堂教学中的实践的研究,在学生已经掌握简

3、单随机抽样的定义、特点和方法步骤的基础上,让学生主动建构系统抽样和分层抽样,并进行概念的顺应或同化 .要通过在具体例子中去显示它们之间的区别的教学手段来突破“逐个抽取时各个个体被抽取的概率相等”与 “整个抽样过程中各个个体被抽取的概率相等”这一教学难点.教具准备实物投影仪或多媒体(供学生练习时使用)教学过程 .课题导入师上节课 ,我们学习了抽样方法(一 ) 简单随机抽样(板书 ),介绍了它的定义、特点和方法 ,同学们在课堂上的精彩表演、随机应变的能力,让我十分羡慕.在日常生活、 生产实践、科学实验等各个领域中都大量运用统计学知识,特别是抽样方法.只依靠简单随机抽样是很难解决这个广泛的实际问题的

4、.为此 ,我们要学习另外的方法：(板书课题 )抽样方法 ( 二) 系统抽样 (在已经板书课题的基础上进行修改,擦去 “简单随机 ”四个字 ).讲授新课师当总体中的个体数较多时,采用简单随机抽样显得较为费事.例如：某国家级示范高中学校的德育领导小组为了了解本校高三年级参加全国四1五普法中学生法律知识竞赛的1000 名学生的成绩,打算从中抽取一个容量为50 的样本 .同学们 ,你看怎样抽取呢？请你们设计一个方案.(学生在位子上进行讨论设计抽样方案,研讨气氛很活跃)生可以用随机数表法,然后读数 ,取出 50 个数即可 .师我们课本中的随机数表中的数都是两位数,没有三位数和四位数,这就有一定困难了.生

5、上节课你不是讲过了,可以用计算机来产生随机数的吗？师当然可以 .但为解决这样一个问题,我们要先做一个随机数表,这样是否有点本末倒置了 .所以我们应该采用新的方法.生为了能利用随机数表,将这 1000 名学生分成10 个组 ,每组 100 名学生 .对各个组的学生再分别编号00,01,02,03,04,97,98,99再.用随机数表法,十次抽取 ,每次抽取5 个 .这样就得到了一个容量为50 的样本 .由简单随机抽样方法知,每个号码被抽到的概率都是相等的,即51501.100,也就是10002020师大家看看 ,他的这种抽样方法行不行？生 (众生一齐回答 )可以！就是太繁 ,重复读数表太麻烦 .

6、师你们的意思是这样抽样麻烦,你们能否修改 ,减少这样的重复劳动呢？生假定这1000 名学生的编号是1,2,3,4,5,998,999,1000,由于 50 1000=1 20,我们将总体均分成50个部分 , 其中每一部分包括20个个体 .第一部分的个体的编号是1,2,3, ,19,20；第2组的个体的编号是21,22,23, ,39,40；;第 50组的个体的编号是981,982,983, ,998,999,1000然后.在第1 组的个体中随机抽取一个号码,例如抽取的是第18号 , 那么可以从18 号起 ,每隔20个抽取1 个号码 ,这样得到一个容量为50的样本：18,38,58,78,98,

7、 ,958,978,998.师在你的抽样方案中,每个号码被抽取的概率都能相等吗？生在上面的抽样中,由于在第1 部分 (组)( 个体编号 120) 中的起始号码是随机确定的,每个号码被抽取的概率都等于11部分的个体前 ,其他各部分中每个号码被,所以在抽取第1201抽取的概率也都是.就是说 ,在这个系统抽样中,每个个体被抽取的概率都是.另一方面 ,2020如果采用简单随机抽样,从这个总体中抽取一个容量为50 的样本 ,那么每个个体被抽取的概率 P501.即表明采用上面两种抽样方法时,每个个体被抽取的概率是相等的 .100020师这种抽样方法和简单随机抽样方法一样吗？你们能否根据抽样方法的特点进行命

8、名呢？生这种抽样方法与简单随机抽样方法是不同的,这种抽样方法叫做系统抽样,它的定义是可将总体分成均衡的几个部分,然后按照预先定出的规则 ,从每一部分抽取1 个个体 ,得到所需要的样本 ,这种抽样方法叫做系统抽样,也称为机械抽样 .师系统抽样与简单随机抽样的联系是什么？生将总体均分后的每一部分进行抽样时,采用的是简单随机抽样 .师由于总体中的个体数1000 正好能被样本容量50 整除 ,可以用它们的比值作为进行系统抽样的间隔,如果不能整除 ,例如总体中的个体数为1003,样本容量仍为50.这时如何抽样呢？生可先用简单随机抽样从总体中剔除3 个个体 ,使剩下的个体数1000 能被样本容量50 整除

9、 ,再用系统抽样方法进行抽样 .2师这样抽样时,在整个抽样过程中每个个体被抽取的概率仍然是相等的吗？生答案是肯定的.因为 ,从个体数为1003 的总体中抽取一个容量为50 的样本 ,先从总体中剔除 3 个个体时 ,其中每个个体不被剔除的概率是10001000 个个,对于仍留在整体中的11003体 ,采用系统抽样时每个个体被抽取的概率是,即在整个抽样过程中每个个体被抽取的概100015020.率是 P20.所以在整个抽样过程中每个个体被抽取的概率仍然相等10031003师你们能概括出系统抽样的步骤吗？生 (1)采用随机的方式将总体中的个体编号,为简便起见 ,有时可直接利用个体所带的号码 ,如考生

10、的准考证号、街道上各户的门牌号、居民身份证号码等等.(2)为将整个的编号进行分段(即分成几个部分 ),要确定分段的间隔N为总体中k.当(Nn的个体数 ,n 为样本容量 )是整数时 , kN ; 当 N 不是整数时 ,通过从总体中剔除一些个体使nn剩下的总体中个体个数N能被 n 整除 ,这时 kN.n(3)在第 1 段用简单随机抽样确定起始的个体编号l.(4)按照事先确定的规则抽取样本(通常是将 l 加上间隔 k,得到第2 个编号 l+ k,再将 (l+ k)加 上 k, 得 到 第 3个 编 号l+2 k, 依 此 类 推 , 继 续 下 去 , 直 到 获 取 整 个 样 本 ), 即l,l

11、+ k,l+2 k,l+3 k, ,l+(n-1) k·.师我们再来看一个问题：一个单位的职工有500 人,其中不到 35 岁的有125 人,35岁49 岁的有 280 人,50 岁以上的有 95 人 .为了了解这个单位职工与身体状况有关的某项指标,要从中抽取一个容量为100 的样本 .请你们设计一个抽样方案 .生将 500 人进行编号 ,从 1 号到 500号 ,然后用系统抽样法进行抽样 .师如果抽取的100 个人恰好都是 35 岁以下的 ,或者都是 35 岁49 岁的 ,或者 50 岁以上的 95 人都抽取了 ,这种情况下 ,不能提供较为准确的信息 ,是不科学的抽样 .生这个问题

12、中的总体的差异是比较明显的,它是由差异明显的三个部分组成的情况,在抽样时要兼顾到各个部分都能抽到,又要符合一定的比例 ,所以 ,我们要先计算出样本容量与总体的个体数的比为100500=1 5,即从整体中每 5 个人抽取 1 个人 ,也就是从每个部分中都要按照1 5 进行抽取 .所以 ,在各个年龄段抽取的个体数依次是12528095, 即5,5525,56,19.于是问题转化为在 35 岁以下的 125人中抽样 25 人作为样本1,从 35 岁 49 岁 (含35 岁、 49 岁 )的 280 人中抽取56 人组成样本 2,从 50 岁以上的 95 人中抽取19 人组成样本3.再由 1、 2、3

13、 并集即得到容量为 100 人的样本 .师你的设计方案很科学,请问 ,对于各个层次的抽样又怎样抽取呢？生在各年龄段中分别抽样时,可采用前面介绍的简单随机抽样或系统抽样的方法.师下面我请三位同学到黑板上用三种抽样方法(抽签法、随机数表法、系统抽样法)写出这三个年龄段的抽样过程,其余同学在下面写 .生(用抽签法 )在 35 岁以下的125 人中抽取 25 人的样本 1.先将总体中的所有个体(共125 个 )编号为 1号至 125 号 ,并把号码写在形状、大小相同的号签上(号签是纸条 ), 然后将这125 张号签放在同一个箱子里 ,进行均匀搅拌 .抽签时 ,每次从中抽出 1个号签 ,连续抽取 25次

14、 ,就得到一个容量为25 的样本 1.生 (用系统抽样法 )在 35 岁49 岁 (含 35 岁、 49 岁 )的 280 人中抽取56 人的样本2.3(1)采用随机的方式将这个年龄段的总体中280 人进行编号 ,从 1 号至 280 号 .280段,每段 5人 .(2)将整个编号进行分段 ,确定分段的间隔 k5,即分成 5656(3)在第 1 段用简单随机抽样确定起始的个体编号,不妨设为3 号 .(4)按照事先确定的规则抽取样本,第一段是 3 号,第二段是 8号,第 3 段是 13号 ,这样继续下去 .第 55 个编号为3+54×5=273,即第 273 号 ,第 56个编号为 3

15、+55×5=278,即第 278 号 ,于是就得到一个容量为 56 的样本： 3,8,13,18, ,273,278.生(用随机数表法 )在 50 岁以上 (含 50 岁 )的 95 人中抽取19 人组成样本 3.在利用随机数表抽取这个样本时,可以按下面的步骤进行：第一步 ,先将 95 个人进行编号 ,可以编为 00,01,02,03, ,94.第二步 ,在附表 1随机数表中任选一个数作为开始,第 33 行第 18 列的数 82 开始 .(将附表第 31 行至 35 行的摘录如下 )66 67 40 67 1464 05 71 95 8611 05 65 09 6876 83 20

16、37 9057 16 00 11 6614 90 84 45 1176 73 88 05 9052 27 41 14 8622 98 12 22 0807 52 74 95 8068 05 51 18 0033 96 02 75 1907 60 62 93 5559 33 82 43 9049 37 38 44 5920 46 78 73 9097 51 40 14 0204 02 33 31 0839 54 16 49 3647 95 93 13 3064 19 58 97 7915 06 15 93 2001 90 10 75 0640 78 78 89 6202 67 74 17 33第

17、三步 ,从选定的数 82 开始向右读下去 ,得到一个两位数字号码 43,由于 43<94,将它取出；继续向下读 ,又得到 90,49,37,38,44,59,20,46,78,73, 随后的两位数是 90,由于它在前面已经取出 ,将它去掉；再继续下去 ,得到 97,而 97>94, 又将 97 去掉；继续向右读 ,得到 51,40,14,02,04, 随后的两位数是 02,它在前面已经出现 ,再去掉；再继续向右读下去 ,得 33,31,08.至此 ,19 个样本号码已经取满,于是,所要抽取的样本号码是43,90,49,37,38,44,59,20,46,78,73,51,40,14

18、,02,04,33,31,08.(教师在下面巡回检查,指导学生就某一种方法进行抽样,同学们也可以讨论抽样的具体过程 )师至此 ,经过大家的努力才将刚才提出的问题圆满地解决了.三位同学分别对三个部分进行抽样 ,这才组成一个完整的抽样过程,这种抽样方法与前面学过的有联系,但又有区别 ,你们能给它命名吗？生当已知总体由差异明显的几部分组成时,为了使样本更充分地反映总体的情况,常将总体分成几部分,然后按照各部分所占的比进行抽样,这种抽样叫做分层抽样,其中所分成的各部分叫做层.师可以看到,由于各部分抽取的个体数与这一部分个体数的比等于样本容量与总体的个体数的比 ,分层抽样时 ,每一个个体被抽到的概率都是

19、相等的.由于分层抽样充分利用了我们所掌握的信息,使样本具有较好的代表性,而且在各层抽样时,可以根据具体情况采用不同的抽样方法,所以分层抽样在实践中有着非常广泛的应用.师现在我们来看2003 年全国高考题第14 题：某公司生产三种型号的轿车,产量分别为 1200 辆、 6000 辆和 2000 辆,为检验该公司的产品质量,现用分层抽样的方法抽取46 辆进行检验 ,这三种型号的轿车依次抽取_辆、 _辆、 _辆 .生这种问题利用分层抽样较好.因总轿车数为9200 辆 ,而抽取 46 辆进行检验 ,抽样比例为46 1, 而这三种型号的轿车有显著区别, 根据分层抽样分为三层按1比例抽9200200200

20、样分别有6 辆、 30 辆、 10 辆. .课堂练习(1)(2004 年天津高考 ,13)某工厂生产A、B、C 三种不同型号的产品,产品数量之比依次为42 3 5.现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本 ,样本 A 种型号产品有16 件 .那么此样本的容量 n=_.(2)(2004 年湖北高考题 ,文 15)某校有老师200 人 ,男学生 1200 人,女学生 1000 人 .现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本 ,已知从女学生中抽取的人数为80 人 ,则 n=_.思路分析： 两题都是求样本的容量n 问题 ,运用分层抽样的方法和计算步骤求解.第 (1) 题已知比例 ,而 A

21、 产品的抽样数为16,逆向运算即可求得；第(2) 题,先算出比例 ,再计算 .解析： (1)A、B、 C 产品的数量之比为2 3 5, A 应被抽取的数量为 n=80.故填 80.2 n 16 .10(2)老师、男生、女生的人数比是1 6 5,而女生抽取的人数是80, 805 n .12 n=12×16=192( 名 ).故填 192.答案： (1)80 (2)192解题回顾： 分层抽样时 ,为保证每个个体等可能性地被抽取,各部分抽取的个数与这一部分的个数之比等于样本容量与总体的个体数的比,即 nin .N iN .课时小结师同学们 ,这节课我们学习了抽样方法中的两种抽样方法 ,请同学们总结本节课的主要内容 .生 1.系统抽样 (学生口述定义 ), 其步骤是：编号 ;对整个的编号进行分段,要确定分段的间隔 k;在第 1 段用简单随机抽样确定起始的个体编号l;在