概率论与数理统计答案

1、习题答案第I章三、解答题1设P(AB)-O,则下列说法哪些是正确的？(1) 4和B不相容;(2) 4和B相容:(3) 43是不可能事件；(4) AB不一定绘不可能事件；(5) F(A)-0或(6) P(A 一 B) P(A)解：(4) (6)正确.2设4, 是两事件，且尸(A)-0.6, F(B)-0.7,问：(1) 在什么条件下取到最大值，最大值是多少？(2) 在什么条件下取到最小值，最小值是多少？解：因为 P(AB) < P(A) + P(B)- P(Au B),又因为 P(B)< P(AuB)即 P(B)-P(AJB)<O.所以(1) 当 P(B) = P(AJB)时

2、p(ab)取到最大值，最大值是P(AB) = P(A)-Q.6.(2) P(AJB) = 1 时到最小值，最小值是 P(ABr0.6十071-033.已知事件儿B满足P(AB) = P(AB) 9记试求P(B)解：因为P(AB) = P(AB),即 P(AB) = P(A U B) = 1 一 P(A U B) = 1 - P(A) 一 P(B) + P(AB),所以 P(B) = L-P(A) = L-p.4已知尸(A)-0.7, PS-B)-0.3,试求 P(AB)解：因为尸(A B)-0.3,所以 P0)-P(AB)-O3,P0B)尸(人)-0.3,又因为 P(A)-0.7,所以 P(A

3、B) -0.7-03-0.4, P(AB) = 1 - P(AB) = 0.6.5. 从5双不同的鞋子种任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？解：显然总取法有n = 种，以下求至少有两只配成一双的取法k： 法一：分两种情况考虑：k = C； Cj O 十C；其中：CC;(CJ)2为恰有1双配对的方法数r1 r1其中：C；V 飞为恰有1双配对的方法数法三：分两种情况考虑:k = C；(C：_C；)+C；其中：C；(C； 一 C：)为恰有1双配对的方法数法四：先满足有1双配对再除去重复部分：k = C；C：-C；法五：考虑对立事件：k = C0-C (C)4其中：C； (C)4为

4、没有一双配对的方法数6. 在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念氐 任取3人记录其纪念章的号码.求:(1) 求最小号码为5的概率：(2) 求最大号码为5的概率.7. 将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1, 2, 3的概率.解：设Mi M3表示杯子中球的最大个数分别为1，2, 3的事件，则S设5个产品中有3个合格品，2个不合格品，从中不返回地任取2个，求取出的2个中全是合格品，仅有一个合格品和没有 合格品的槪率各为多少？解：设M2.Mi.Mo分别事件表示取岀的2个球全址合格品，仅有一个合格品和没有合格品，则9. 口袋中有5个白球，3个黑球，从中任収两个，求取到的

5、两个球颜色相同的概率.解:设Mi- “取到两个球颜色相同”，Ml “取到两个球均为白球”，-“取到两个球均为黑球”，则 M=M1UM2 且陆 nM；=0.c2 c213所以 P(M) = P(M UMJ = P(MJ + P(MJ =仝 + 仝= C§ C? 2810. 若在区间(0,1)内任取两个数，求事件“两数之和小于6/5”的槪率.解：这是一个几何概型问题.以*和y表示任取两个数，在平面上建立xOy直角坐标系，如图.任取两个数的所有结果构成样木空间n=(.r, y)： 0<X, y<l事件A-a两数之和小于 6/5”-(x, y)eH： x±y<6/

6、5因此.1 f4f1 X A的面积=25, =£I)Q的面积125图？11. 随机地向半圆0 V)Y J2or-妒(4为常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点 和该点的连线与x轴的夹角小于的概率.4解：这是一个几何概型问题.以x和y表示随机地向半圆内掷一点的坐标，6表示原点和该点的连线与X轴的夹角，在平而上建 立xOy H角坐标系，如图.随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间n=(x, y)： 0 <x <2afi < y <yJ2ax-x271爭件A -“原点和该点的连线与X轴的夹角小于”4=(.V, V)： 0 <

7、x < 267,0 <y < y2ax-x2.0 <0 < 4因此1.1.A的面积亍"蔦加11O的面积 1勿2兀2 701212. 已知P(4) = -,P(B|4) =丄,P(A|B)=丄,求P(AUB).32解：P(AB)= P(A)P(BA)=丄xl = , P(B)= P(AB)=丄十丄=J_14 312P(AB) 12 2613. 设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所収两件产品中有一件是不合格品，则列一件也是不合格品的概率是多少？解：题中要求的“已知所収两件产品中有一件定不合格品，则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所収两

8、件产品中 至少有一件绘不合格品，则两件均为不合格品的概率” O设A- “所取两件产品中至少有一件是不合格品”，B- “两件均为不合格品”： C2 7C2 ?P(A) = l-P(A) = l- = -, P(B)令=舌C1O 35o 214. 有两个箱子，第1箱子有3个白球2个红球，第2个箱子有4个白球4个红球，现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2 个箱子里，再从第2个箱子中取出一个球，此球是白球的概率是多少？已知上述从第2个箱子中取出的球是白球，则从第1个箱 子中取出的球足白球的槪率是多少？解：设A- “从第1个箱子中取出的1个球是白球”，B- “从第2个箱子中取出的1个球是白球”，则C1

9、 32P(A) = = -,P(A) = -山全概率公式得555由贝叶斯公式得15. 将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作B的槪率为0.02,而B被i吴收作4的概率为0.01,信息A与信息B传送的频繁程度为2： 1,若接收站收到的信息是儿 问原发信息是A的概率是多少？解：设“原发信息是A”，N“接收到的信息绘A”，己知所以由贝叶斯公式得1 1 116. 三人独立地去破译一份密码，己知各人能译出的概率分别为一，一，一，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率址多5 3 4少？解：设4“第i个人能破译密码”，1,2,3.III_4-2-3P(AJ = -,P(A2) = -,

10、P(A3) = -以 P(4i)=P(42)=P(A3)= 334534至少有一人能将此密码译出的概率为17. 设事件A与B相互独立，己知尸(A)-0.4, P(AUB)-0.7求解：由于人与B相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B)P(AUB)-P(A)+ F(B) - P(AB)- P(A)十 P(B) P(A)PB)将P(A)-04 P(AUB)0.7代入上式解得P(B)-0.5,所以或者，山于人与B相互独立，所以人与B相互独立，所以18. 甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5,现己知目标被命中，则它能甲射中的概率绘多少？ 解：设4 “甲射击目标”，B- “乙

11、射击目标”，“命中目标”，己知 p(a)-p(b)-i. P(MA) = 0.6,= 0.5,所以山于甲乙两人是独立射击El标，所以19某零件用两种工艺加工，第一种工艺有三道工序，各道工序岀现不合格品的概率分别为0.3, 0.2, 0.1：第二种工艺有两道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3, 0.2,试问：(1) 用哪种工艺加工得到合格品的概率较大些？(2) 第二种工艺两道工序出现不合格品的槪率都是0.3时，情况又如何？解：设第1种工艺的第i道工序出现合格品”，匸1,2,3； Bl “第2种工艺的第i道工序出现合格品”，/=1,2.(1) 根据题总，P(Ai)77, F(A沪0.8,

12、户(如)-0.9尸(5)-07尸(BJ-O.&第一种工艺加工得到合格品的概率为p(AiA：A3)- p(Ai)p(A2)p(A3)- 0.7 x 0.8x 0.9 = 0.504,第二种工艺加工得到合格品的概率为P®)P(B沪 0.7 x 0.8 = 0.56,可见第二种工艺加工得到合格品的概率大。(2) 根据题意，第一种工艺加工得到合格品的概率仍为0.504,而P®)-P®)-0.7.第二种工艺加工得到合格品的概率为p(BiB2) p(Bi)p(B2)= 0.7 X 0.7 = 0.49.可见第一种工艺加工得到合格品的概率大。1 91 设两两相互独立的三

13、事件儿和c满足条件ABC - 0, P(A) = P(B) = P(C) < 一，且己知P(A(JBUC) = ,2 16求 PA).解：因为 ABC-0,所以 P(ABC) -0,因为儿b, Q两两相互独立，P(A) = P(B) = P(C),所以由加法公式 P(A U B U C)二 P(4) + P(B) + P(C) P(AB) - P(BC)- P(A C) + P(ABC)得93P(A) - 3P(A)2 = 即4P(A) - 3 4P(A)-l = 016考虑到P(A)<-,得P(A) =丄.241 2设事件儿B、c的概率都是一且P(ABC) = P(ABC)9证明

14、：22P(ABC) = P(4B)+ P(AC) + P(BC) 丄.2证明：因为P(ABC)=P(ABC),所以P(ABC) = 1 P(A U 3 U C) = 1 P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(BC) - P(AC) + P(ABQ将P(A) = P(B) = P(C)=-代入上式得到整理得3设 00<P(B)< b F(A|B)十 P(兀|B) = 1,试证 A 与独立.证明：因为P(AB) = l9所以将 P(AJB) = P(A) + P(B)-P(AB)代入上式得两边同乘非零的P(B)1屮(B)并整理得到所以A与B独立.4. 设人，B是

15、任意两事件，其中4的槪率不等于0和1,证明P(B | A) = P(B | A) 事件A与B独立的充分必要条件.证明：充分性，由于P(BA) = P(BA),所以 丫J =，響，即P(A) P(A)两边同乘非零的P(A)1-P(A)并整理得到P(AB) = P(4)P(B),所以A与B独立.必要性：山于力与B独立，即P(AB) = P(A)P(B),且P(4)hO、P(兀)工0,所以一方面另一方面所以 P(B | A) = P(B | A).5. 一学生接连参加同一课程的两次考试.第一次及格的槪率为"，若第一次及格则第二次及格的槪率也为p；若第一次不及格 则第二次及格的概率为上2(1

16、) 若至少有一次及格则他能収得某种资格，求他取得该资格的概率.(2) 若已知他第二次及格了，求他第第一次及格的概率.解：设a-“第i次及格”,i=i, 2已知p(a)= p，p(4； | a)= ,p(ajA)= 2,2山全概率公式得(1) 他取得该资格的概率为(2) 若已知他第二次及格了，他第一次及格的概率为6. 每箱产品有10件，其中次品从0到2是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品为不合 格而拒收.III于检验误左，一件正品被误判为次品的概率为2%, 件次品被误判为正品的概率为10%.求检验一箱产品能通过验 收的概率.解：设4-“一箱产品有i件次品” ,/=

17、0, 1, 2设“一件产品为正品”，N= “一件产品被检验为正品” 已知 P(A°) = P(4J = P(A2) = I，P(N | M) = 0.02,P(N | M) = 0.1,山全概率公式P(M) = 1 -PM) = 1 - = -L，又 p( | M) = 1- P(N | M) = 1-0.02 = 0.98,山全概率公式得一箱产品能通过验收的概率为7. 用一种检验法检验产品中是否含有某种杂质的效果如下.若真介有杂质检验结果为含有的概率为0.8：若真侖不有杂质检验 结果为不含有的概率为0.9：据以往的资料知一产品真含有杂质或貞不侖有杂质的概率分别为0.4和0.6,今独

18、立地对一产品进行 三次检验，结果是两次检验认为含有杂质，而有一次认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率.解：4-“一产品真含有杂质”，Bl “对一产品进行第i次检验认为含有杂质”，/= 1,2,3.己知独立进行的三次检验中两次认为含有杂质，一次认为不含有杂质，不妨假设前两次检验认为含有杂质，第三次认为检验不 禽有杂质，即別发生了，而B3未发生 又知 P(5 |4) = 0.&P(E I 兀) = 09 P(A) = 0A 所以所求槪率为P(ABiB2B5) =P(ABB耳) P(4)P(d鸟区 |力)一 P(4)P(B厶瓦 |4) + P(兀)厶鸟 | 兀)山于三次检验是独立进行的，

19、所以S.火炮与坦克对战，假设坦克与火炮依次发射，且山火炮先射击，并允许火炮与坦克各发射2发，已知火炮与坦克每次发射的命中槪率不变，它们分别等于0.3和0.35.我们规定只要命中就被击毁.试问(1) 火炮与坦克被击毁的概率各等于多少？(2) 都不被击毁的概率等于多少？解：设4-“第i次射击目标被击毁” ,123,4.己知 P(AJ = P(AJ = 03, P(A2) = P(A4) = 035,所以(1) 火炮被击毁的概率为坦克彼击毁的概率为(2) 都不被击毁的概率为9.甲、乙、丙三人进行比赛，规定每局两个人比赛，胜者与第三人比赛，依次循环，直至有一人连胜两次为止，此人即为冠 军，而每次比赛双

20、方取胜的概率都是丄，现假定甲乙两人先比，试求各人得冠军的概率.2解：甲第i局获胜”，Bl “乙第i局获胜"，Bl “丙第i局获胜”，1,2,., 已知P(&) = P(BJ=P(CJ =丄=由于各局比赛具有独立性，所以2在甲乙先比赛，且甲先胜第一局时，丙获胜的槪率为p(AgUg叭gU人导*恥心U.)=(扑+併+仙+弓同样，在甲乙先比1赛，且乙先胜第一局时，丙获胜的概率也为一，7丙得冠军的概率为2x1 = -,甲.乙得冠军的概率均为丄(1-) = .772714第二章2一、填空题:1. PX <x9 F(x2)-F(x1)2. PX =k = C"pk(I-p)

21、n'k, o, 13. PX =k = eA,A > 0为参数，k-o, 1,14. 1 + Av 、一-.a <x<b0, 其它1 直6/(x) = 0 厂svxv+s7. 队X)= /e 2 ,-0O < X < 4-008. (巳)一(口)<J<7X12Pi0.40.40.2分析：山题意，该随机变虽为离散型随机变筮，根据离散型随机变虽的分布函数求法，可观察出随机变虽的取值及概率。10. 64分析：每次观察下基本结果“XW1/2”岀现的概率为2皿冷，而本题对随机变呈x取值的观察可看作绘3重伯努利实验，所以(、(X -12 2-112 2-1

22、11. PX <22=片<-Uo(-)=0.7257 ,2 2 2同理，P|X|< 3.5-0.8822.12. G(y) = Pr = 3X +1 < y =1313. ,利用全概率公式来求解：48二、单项选择题：1.B,山概率密度是偶函数即关于纵轴对称，容易推导心尸 1丁（兀皿=fx/（Qdx - /（兀冷=* - ：/（兀皿=* _ /（/皿2.B,只有B的结果满足F(-Hc) = Inn F(x) = 1.v-wc3. C,根据分布函数和概率密度的性质容易验证f2.X>24. D, Y = ,可以看出Y不超过2,所以X,X <2Fy(y) = PY&

23、lt;y =1y>2'防 yv2t y>2-y,0 > 0 ,l-e 6 ,y <2可以看出，分布函数只有一个间断点.5. C,事件的概率可看作为事件A （前三次独立垂复射击命中一次）与事件B （第四次命中）同时发生的概率，即P = P(AB) = P(A)P(B) = C；p(l-p)3'2 p.1(1)三、解答题X123456(A)分析：这里的概率均为古典概型下的概率，所有可能性结果共36种，如果X-1,则表明两次中至少有一点数为1,其余一个1至6点均可，共有C； X6-1 （这里C；指任选某次点数为1, 6为列一次有6种结果均可収，减1即减去两次均

24、为1的情.c 、 C； x6-l ci X5 +111形，因为Cix6多算了一次或C Jx5 +1种，故Px=l= = =,其他结果类似可得.-'丿 3636362.0, x <-l丄，-l<x<243-,2<x<34L x > 3=px =_1=土、= PX = 2=2 注意，这里x指的是緬钱数，X1R0-1或100显然px = 99= = 126X 咎3. Y6/ = cie = 1,所以Cl = w k'0, x <-14(1) /(X)=PX=-l,-l<x<2PX =-l + PX =2,2<x<31,

25、 x>33P(2<X <3= PX = 2UX = 3= PX = 2+ PX =3=-；5-Px =偶如茅存+存器2411 1 )2222J PX>5=1-PX <4=1 110C 1PX=3的倍数=工刊=/=1 °6. （i）X P（0.5r）=P（1.5）PX=0=严 o.5r = 2.5 Px>l=l-Px = o=l-e-257. 解：设射击的次数为x,由题意知X（40002）px >2=l-px <1=1一2=0(?爲0.02*0.98心一工：=08 =1 0.28 = 0.9972,其中 8-400X0. 02.8解：设X

26、为事件4在5次独立重复实验中岀现的次数，X3（5,03）则指示灯发出信号的概率= 1-0.8369=0.1631：9.解：因为x服从参数为5的指数分布，则F（x） = l-e 9 px >10=l-F（10） = e- 丫B（5,严）则 PY = k = C； (e"2 )1-厂尸7、k = 0.1,5x咒10. (l) 由归一性知：1 = J：QCOSxd.Y= 2d ,所以 « =(2)、P0<X <11. 解(1)山尸在的连续性可得liin F(x) = Inn F(x) = F(l) >即a-l VT1+A->1-J2x,0 <x

27、 <1 lo.(2) P0.3 < X <0.7= F(0.7)-F(0.3) = 0.4.5<V 他 o 其 1 - 5 o(3) x的概率密度f(x) = Fx)=12.解因为X服从（0, 5）上的均匀分布，所以f（X）=若方程4%- + 4Xx + X+ 2 = 0有实根，则4 = (4X)'16X32nO,即X >2 X <-1 ,所以有实根的概率为13.解：(1)因为X N(3,4)所以(2)PX >c=l-P(X <c,则px <c=- = F(c) = ( 一 )=-,经查表得 2(0) =丄，即1 = 0,得c =

28、3:由概率密度关于X-3对称也容易看出。 2 2(3)PX > d=l PX <d = l- F(d) = 1-(” 3)> 0.9,d 3d 3则()<0.1,即()>0.9 ,经查表知(128) = 0.89972J-3故>1.28，即 d<044：2CT14解：PX >k=l-PX <k = l-Prk<X < = l-<D(-)+(-)£k所以(_) = 095. pX <k =F(/:) = a)(-) = 0.95； ill对称性更容易解出: b<j15解 X N(“q)则<(y=

29、P/i-a < X </ + o- 上面结果与0无关，即无论b怎样改变.px“|vb都不会改变:16.解:ihx的分布律知pX-2-10134101921013所以Y的分布律是y>0y <010<x<l0当 y<0时,Fy (y) = 0,则 fY(y) = 0当 y>0时,Fy (y) = pex < y= px < lii yi_山、一"厂丄e &所以Y的概率密度为人(刃=亍师 018.解 X(/(0、l) , f(x) = <Fy(y) = py y = pl-x<y =1-F(1-y)所以九（刃=

30、氏（1一刃=<1，0<l-）<10,其他1，0 < y < 10,其他19.解：X（l,2）,则 /（X）=1l<x<20 其他当y<oib, FYy) = pe2X <y=0,当y >0时，=代(*山刃，1 120.解:(1) 6 (y) =< y= P3X <y=plx<-yj = Fx (-y)厲（y）px < 111 j2 -Kx<l其他r 1 r 1 一 所以 A(y) = -/x(-y) = i8-1 < - y < 1丄)，'，-3 < y < 33斗% ,其

31、他 7(y) = P化 <y= P3 x <y二 PX >3-y=l-Fx (3 y),-1 <x <1其他20,其他0 Fy5(y) = PYi<y=px2<y当)y 0时，F、,(y) = PX2 <y=0,厶(y)=凡(x) = 0当 y > o时，Fy, (y) = P<X< 77= F皿-Fx (-77)，所以厶（刃=<2"1 氏)'>°,)'<o-1<X<1其他四. 应用题1.解：设x为同时打电话的用户数，山题意知X8(1002)设至少要有k条电话线路

32、才能使用户再用电话时能接通的槪率为0.99,则查表得k-5.2.解：该问题可以看作为10重伯努利试验，每次试验下经过5个小时后组件不能正常工作这一基本结果的概率为1-e-04,记X为10块组件中不能正常工作的个数，则5小时后系统不能正常工作，即X >2,其概率为3.解：因为X"(20,40'),所以设Y表示三次测呈中误塗绝对值不超过30米的次数，则X3(3,0.4931),(I)> 1 = 1 -= 0 = 1 - Cf 0.49310 (1 - 0.4931 )3 = 1 - 0.5069 3 = 0.8698 . PY = 1 = C； 0.49311 x 0

33、.5069 2 = 0.3801 .4.解：当yvO时,"刃是不可能事件,知F(y) = O,当OS y V 2时，Y和X同分布，服从参数为5的指数分布当时，y < y为必然事件，知尸(y) = l,因此，Y的分布函数为0 <0F()j = < 1-e ,0 < y <2：1,)J25.解：(1)挑选成功的槪率/?=:S设10随机挑选成功的次数为X,则该X 10,I 70丿设10随机挑选成功三次的概率为：PX = 3 = Cf0()' (1- )7 心 0.00036,以上概率为随机挑选下的概率，远远小于该人成功的概率3/10-03,因此，可以断

34、定他确有区分能力。(B)1解:由概率密度可得分布函数F(x)=亍1*3- + -(x-3),3<x<61, x62.解：X服从(一1,2)的均匀分布，=-1 < x < 21 ,X>0,-1,X <0,所以Y的分布律为Fy(y)=Pl-Vx <y = PX>(l-y)3 = l-Fx(l-y)3,fY (y) = fy ()M =1-FQ -)，)' = -/x(l- y)3I(l-)y 1=3(1-y)2 fx (1- y)3(1-y)24证明：因人(x)是偶函数，故£(x) = £.(x),Fy(刃=PY <

35、 y = P-X < y = PX >-y = l-PX <-y= 1-Fx(y)所 以fy (y) = f'y(y) = fx (y) = £ (y)5解：随机变呈X的分布函数为0 , x<lF(x) = < Vx -1, 1 < x < 8，显然 F(x) e 0,1,1,x>8Fy(y) = PY<y = PF(X)<y,当yvO时，F(X)<y是不可能事件，知F(y) = O,当0 < y v 1 时，F、,(y) = PX-I < y = PX < (l+y)3= y,当时，F(X)

36、 < 必然事件，知F,y) = l,o ,y<0即Fy (y) = < y, 0 < y < 1 o1, y > 1V -16. FVi (y) = PY, < y = P2X +1 < y = PX < 1j即 y < 1 时，Fy (刃=PX < 于 = f Odx = 0,y-1l-y即 V>1 时，FYi (y) = PX < 于 = Fe'xdx = l-e ,y 1当5 0时. 2y 1当> 0时. 2所以1A(y)= Il-vT >1 心“其他: FYAy) = PY2<y =

37、 Pex <y.当y<0时，ex <y为不可能事件,则7 (y) = Pex <y = 0,当0时，InyWO,则FyXy) = Pex <y = PX < hi y = J * Oclx = 0,当 y>l 时，hi y > 0'则化(y) = PX <liiy=£'Qdx = 1 丄y根据 fy2 (y) = n (y)得o, y<i 几()y yl：Ir(3)Fyy) = PY3<y = PX2<y.当y<0时,Fyy) = PX2 <y = 0,当y>0时，FYs(y)

38、= PX2 <y=P<X <=e-xdx = l-e-,0,y<0所以人（刃=二o7.(1)证明：由题 f(x) = 2e 't，X>00 ,x<0K = e-2 FYi (y)= PY, < y二 Pe2x < y,当 y<0时，Fri(y) = 0即/岭(y)=0当 0 v y v 时，FYi (y) = Pe2X < y =區 2exdx = y ,当 y>L 时，FYi (y) = P<X>= £' 2e2xdx = 1,r fl,0< y <1故有人i(y) = (o，

39、可以看出人服从区间(o, i)均匀分布：(2) y2= e2v,(y) = PY21 < y = P1-e'2x < y = Pe'2x > 1-y当 1 -y<0 时，(y) = Pe'lx >l-y = l,当0 v l-y v 1时,Fy、(y) = Pe2X >l-y=px <-hl(1_ y)-ln(l-v)2 严 dx=y,当 1 -y>l时,Fn(y) = Pe2X >l-y = PiX <-SU-y)&/x=0.'-X可以看出匕服从区间(0,1)均匀分布。0, 第三章1解：(xn

40、取到的所有可能值为(1,1), (1,2), (2,1)由乘法公式:PX=l,y=l=PX=lPy=llX=ll=2/3xl/2=/3同理可求得 PX=l,y=l=l/3； FX=2,y=l=l/3 (XY)的分布律用表格表示如下:X1211/31/321/302解；乙y所有可能取到的值是02C3 c c2-(i + j)(1) PX=i, y=/=PX=tP Y=/X=i= C8% - i , Q=0,12, J+/S2或者用表格表示如下，1 9/286/2802 3/2800(2)P(X,Y)A=PX+Yl=PX=0, Y=0+PX=l,Y=0+PX=0,Y=0=9/14q亠 P(AB)

41、P(AB)3 解；P(A)=l/4,由 P(BIA)=-=-=1/2 得 P(AB)=l/8 P(A) 1/4p(AB)由 P(AIB)=-= 1/2 得 P(B)=l/4P3)(X,Y)取到的所有可能数对为(0.0),(1,0),(0,1),(1,1)则px=o,y=o=)P(A 耳)=p(A U B) = 1 - P(A U B)1 _ P丄 厂(A)P(B)+P(AB)=5/8PX=0,Y=1=P(Ab)=P(B-A)=P(B)-P(AB)=1/8PX=1,Y=0=P(aB)=P(A-B)=P(A)-P(AB)=1/8PX=l,Y=l=P(AB)=l/8 4解：由归一性知：J I；f(x

42、,y)dxdy = JjAxydxdy =扌,故心(2)PX=Y=0 PX<yJ J "xydydx = |JI【8F(u,v)dudv =F(x,y)=0, x < 0 或y V 0 4丿：几 uvdudv, 0<x<l,0<y<l 4/jJuvdudv, 0 < x < l?y > 1 4jgjjuvdudv, x > 1,0 < y < 11, X > l,y > 1-0, xvCyvO2 2x y , 0<x<l,0<y<l2即 F(x,y)=x , 0 < x

43、< l,y > 1 y x> 1,0 <y < 1 1, x > l,y > 15解 Px+Y»i= jj/(x,y)y = £匚(宀等)心d* 等x+y>l6解：X的所有可能取值为(MZY的所有可能取值为(MZ 3PX=0,Y=0=0.53=0.125;、PX=0,Y=l=0.53=0.125PX=i,Y=i= Cj0.52 x0.5 = 0.25 , PX=i,Y=2=Ci0.52 x0.5 = 0.25PX=2,Y=2=0.53=0.125, PX=2,Y=3=0.53=0.125X,Y的分布律可用表格表示如下:7解：/

44、(x, y)=e0,0<x <y其它8解：f(x, y)= <0,A012300.1250.125000.25100.250.2500.52000.1250.1250.25P.0.1250.3750.3750.1251jr < y < 1x<01 = CQg)dxdy = f jK)dydx=lX所以c=21/4(2) fx (a) = p/(x, y)dy =盲L * 曲"1 =0, 其它9 解：SD =丄 dx = lii x |f = 2(Xf)在区域D上服从均匀分布，故/(xJ)的概率密度为21x2(l-x4)<1其它10解:(3x心

45、)彳00 < x < L0 < y < x其它当(Xvl时,业"Ti 0<iT11 解：f(x,y) =0<x<l,|y|<x其它当庐o时,fxr(xy) =/(兀刃:AW o；V0 <x < 1-x <y <x其它当y>0时,fxy(xy)=/(x，刃一匸AW I o0<x< 1-x <y <x其它所以，= < 1-|刃0 <| y |< x < 1其它y>0y<012 解：由 /X|r(x|y) =13解：Z=max(XK)JV=min(X,n

46、的所有可能取值如下表Pi0.050.150.20.070.110.220.040.070.09(x,y)(Orl)(0,0)(04)(lrl)(1,0)(M)(2<1)(2,0)(2,1)max(X9y)001111222Min(X,F)-100-101-101Z=max(X,Y),W=min(X,y)的分布律为Z012Pk0.20.60.2w101Pi0.160.530.31解：氏(0=矿铁">° A(y) = he役0.x<00,由独立性得x, y的联合概率密度为则 PZ=i=PXY= JJ /(x, y)dxdy = JX £,歹丘 &am

47、p; dydx =-.v<yPZ=()=l-PZ=l=0.5故Z的分布律为Z01Pk0.5OS115解：/(兀刃彳万0.x2 + y2 <1其它显然，/x(X)H/y(),所以X与丫不相互独立.fl, 0<x<lfl, 0< y<l"解'办%其它A(y)=o,其它利用卷积公式：au)=£fx(x)fy(z-x)dx 求 fZ A W/rU-v)=0 vx VV z Vl + X其它 fx (X)=1, 0<x<l0,其它 Gy)h0.y<0利用卷积公式：fz=7x(z-y)/W)dy FX17 解：由定理 31

48、(p75)知，X+y-N(l,2)X + y _ 故PX + Y<1 = P-18解:(1)/x(x) = j(x,y)dx = ex (x +1) <x>o)同理,人(刃=*-'0 + 1)>>°显然，人匕)九()')，所以X与丫不相互独立 利用公式.4(z) = jA(x, z - x)dx19解：并联时，系统L的使用寿命Z=maxX,F因 XE(a),yE(Q故串联时，系统L的使用寿命Z=minXY组1 解：fx=on+o4, Fx+y=i=Px=i,y=o+Fx=o,y=i=6r+z>Px=oY+y=i =px=o,y=i=r/由于X=OI与x+y=i相互独立.所以p(x=o, x+y=i=Fx=o)Px+v=i即a=(a+04)(“+b)(1)再由归一性知：0.4-H/+ft+0.1=l(2)解(1),得a=04=0l2 解: PX >2Y= JJ /(x,f (2 - x - y)dydx =.t>2y24-HX利用公式fz (Z) =羽厶计算-X3解：(1) Fy)=PY=PX2 当)yo 时，/Xx)=o当加时 Fy(y)= P- <x <y = Fx(77)-(yy)从而.fY(y) = <击人(")+人(-")=<0, y>4(2