概率论练习答案114

1、概率论练习j一.填空题：1. 已知 P(A) = 0.4, P(B) = 0.6, P(AUB) = 0.9,贝9 P(AB)= 3/4 o 则P(B I A) = IM, P(A U ) = 0,92 A,B是两随机事件，P(B) = 1/3,P|B)二 1/5,P(A|B)二 1/5,则 P(AB) = 4/15, P(A) = 25C6 613设一年以365天计，6个研究生同住一个宿舍，则6人生日全不同的概率365(只列式，不计算)。4.设随机变量X和Y相互独立，且有相同的分布:X(Y)12P0.40.6则Z = X2 + Y的分布律为Z2356P0. 160. 240. 240. 36

2、E(X2+Y) = 4A5. 投掷均匀的五枚硬币，则至少出现一个正面的概率为刚好出现3个正面的概率为.6. 设X (均匀分布)，则 E(X)= 2 , E(X + 3)= ,D(X)= 1/3 .(T+10x+b)7. 设随机变量XN) 其概率密度为 /(x) = 亠/yj27Tb = 25? / = 5, b = 3a = 1/3£(X2) = 348-6个研究生同住一个宿舍则。人至少2人同一天生日的概率为l-f|?(一年以365天计)9. 在1,2,100这一百个正整数中任取一个，则它既不能被4整除也不能被6 整除的概率为0.67.10. 从(0,1)中随机取2个数，则其中一个数

3、大于2/3,另一个数小于1/3的概率为 2/911. 设 X 5(100,0.1) Y P(3) ZN (3,22),且, y,z 相互独立, 则 E(2X 3K-Z-3) = 5D(2X 3y-Z + 8) = 6712. 已知XE，用雪比晓夫不等式估计P|X-E(X)|>2<!/36 .P|X -£(X)| <y/3 X 26/2713. 随机变量X的概率密度为f(x) = Ae-ex<0则A = l/2,.其分布函数F(X) =£l-e'x>0214. 设连续型随机变量X的分布函数为F(x) = - arctan <%<

4、;+<«,71则分布密度/(x) =彳在壬PW<X<|1113 =1/6二、单项选择.1某射手在相同条件下作独立射击，其命中率为0.8,则直到第三发子弹才命中的概率是(A) C；(0.8)(0.2)2(B)l-0.8x0.8(C)0.8(D)(0.2)2x0.82. 为两个随机事件,且Bu4则下列结论正确的是【C】(A) 若4发生，贝1出必发生(B) A与B必同时发生(C)若A不发生，贝必不发生 (D)若B不发生，贝IJA必不发生34、B为两随机事件，O<P(A)<1 ,则下面结论中错误的是【B】(A) P(A <jB) = P(A) + P(B)

5、 - P(AB)(B) P(B) = P(B/A) + P(B/A)(C) P(A A) = P(A) (D) P(A <jB)= P(A) + P(AB)4.己知10件产品中有件3件次品，现从中随意依次取出两件产品，取后不放回。已知取出两件产品中第一件是次品，那么第二件也是次品的概率是 【D】3632A、B、C、一D、一1090995.(sin兀xo,xa,b是某连续型随机变量的分布密度,则S上是【A】71兀3(A) 0,_(B) 0,刃(C) ,0(D) 0, 龙6. 下列函数中是某随机变量的分布函数的是【D (B) (/) = £二一00 VXV+S(A)斤(X)= &#

6、39;SVXV+81 + JT(C) F3(x) = + arctanx,-co<x< +oo4 27T<D) :-1 + xx<0x>07设随机变量X，丫相互独立,且,x 丫 ?v(632)Z = X + Y服从正态分布，且有则(A) Z N(ll，36)(B) Z "(11,13)(C) Z N(303)8. 设随机变量X,丫相互独立，且，XP(6),丫P(5)(泊松分布),则Z = X + Y也服从泊松分布，且有(A) Z P(30)(B) Z P(ll)(C) Z P(61)(D) ZB(屈)39.用雪比晓夫不等式估计概率p = PX-E（<

7、;X）>3yD（x）,则p B】（a）4（b）488(C) >-(D) <-9910.设随机变量XE（；l）（指数分布），其概率密度/（x）=（A > 0），用雪比晓夫不等式估计P|X - E（X）| >/<(A) 1/4(B) 1/2(C) 1/22Aezx>00,x<0(D) 1/24三解答题1.社会调查把居民按收入多少分为高、中、低三类，调查结果是高、中、低三类分别 占总数的10%、60%、30%,而银行存款在5万元以上的户数在这三类户数中的比例依次为100%、60%、10%。（1）求存款在5万元以上的户在全体居民中所占比例；（2）已知存款

8、户张国强存款超过5万元，求他属于低收入阶层的概率。解：设Ms分别表示高中低收入阶层，B表示银行存款5万以上的居民。（1）由全概率公式P(B) = P(<AlB + A2B + A3B)=P(A)P(B|A) + P(生)P(B | 缶)+ P(A3)P(BA3) =丄 X1OO% + x60%+xl0% = 0.4910 10 10（2）由贝叶斯公式P( A I B)=P(£B) _ 0.03P(B) _049XY3452.设（x,y）的分布列为1a1/103/10, （1）求a； （2）关于X,丫的22/103/101/10边缘概率分布，判别X与丫是否独立？ （3） PY-X

9、<2.解：（1）由概率的规范性，分布的性质可得吕_13231_|台土 1010101010因此a = 0(2)由(X, Y)的联合分布列分别得X, Y的边缘分布列32Pi. = S Pij(' = 12)，P.j = S Pij (j = 123)j=i即Y34L341225550=PllH"lPl=fxZ =225X1223Pi.55所以X和Y不独立。(3)由(X, Y)的联合分布列(X, Y)(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)(2,4)(2,5)P0132311010101010Y-X234123Y-X1234P232310101010py-x.2 = ia

10、= l10 10 23设xr是相互独立的随机变量，且XU(0,2), YE(2) o求：(1)X,Y的联合概率密度；(2) P(X > Y) o解：(1)设fx (x). fY (y)分别表示X、Y的概率密度。Xt/(0,2),YE3fx=r0<x<20,其它fy(y) = 2严,y >00,y<015由独立性可得f(x,y) = fx(x)fY(y) =e2y <x< 2且y > 00,其它(2) P (X > Y) = JJf(x,y)dxdy= £dx(e2ydy =+1x>y4己知X阻3),求Y = X3的概率密度f

11、Y(y)解:X阻3)1< y) = P(x v y亍)=J J 0,其它丄力,1 V)y 27.20,其它人(y) = e= ¥)!,<), <275.知XE(5),其概率密度沏斗5严,x > 00,其它求Y = ex的概率密度fY(y)解:Fy(y) = P(?' <y) = *0,y <0P(x < hi y), y > 0o,y<i'5幺亠厶>1fY(y) = FYy) =0,其它Qx v 06.设随机变量X的分布函数为F(x) = */+b, o<xvl1,l<x(1)求常数k,b的值；(

12、2)求随机变量X的概率密度;(3) 求E(X),D(X)解：(1)由连续型随机变量的分布函数必连续，则b = F(0) = lim 一0 尸=01 = F(l) = liin 3 F(x) = k + b所以 k = l,b = O f(x) = Fx)=2x,0 < x < 10,其它D(x) = £(x7t 所以A= B=c=-)- (Ex)2 =-(-)2= 23187. 设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x, y) = A(B + aictan x)(C + aictan y),(1)求A,B,C(2)求(X,Y)的联合概率密度；(3) 求X和丫的边际概

13、率密度，并判别X和丫是否相互独立? 解：(1)71F(-s)y) = 0= A(B - )(C + arctany)71F(兀一 s) = 0 = A(B + arctanx)(C -)7171F(+s,+s) = l = A(B + y)(C + -)心*篦丄宀宀dxdy 71 1 + x 1+ y（3）f+<c11= J f（y）dy = -r j7t 1 + Xr-rX11/y（y） = J fy）dx = -?Jy7t 1+ y/（兀y） = fx CO齐（y）所以x和y相互独立8. 小明在上学路上所需时间（单位：分）XE（寻），己知上课时间为早晨8时，他每天7时出门，试求：（1

14、）小明迟到的概率；（2）某周（以五天计）小明最多迟到一次的概率；解：（1 ）设A表示小明迟到的事件P（A） = P（X > 60） = 1 P（X < 60）60 1_a(e 30 dx- +1 -X e 30Jo 30（2 ）设Y表示某周小明迟到的次数.Y（5,£一2）P（Y <1） = P（Y = 0） + P（Y = 1） = （1 戶）5 + 5丘-2（1 £-2）49某种工件长度的测量误差（单位：nun） XN（0,0.25）,（1）对此工件测量一次，求误差绝对值不大于0.98的概率；（1.96） = 0.975（2）对此工件测量20次，求至少5

15、次误差绝对值不大于0.98的概率.（只列式） 同类题P80,第25题解：（1） X N（0,0.25）, cr，=0.25, cr = 0.5P(| x |< 0.98) = P(0.98 <x< 0.98)詞空一I 0.5 丿0.98) _ £(96)1-0.95（2）设Y为2 0次测量中，误差绝对值不大于0. 9 8的次数.Y8（20,0.95）20P(Y >5)=0.95*0.05曲k=510.在次品率为1/10的一大批产品中，任意抽取300件产品，利用中心极限定理计算抽取 的产品中次品数在21与39之间的概率.解：设X为3 0 0件产品中的次品数，X B(300,l/10),EX =30,DX =27由中心极限定理：近似有XN (30,27)所求概率为P(21 < X < 39) = O(39ZJ°)-(21 二。)=馆)一 0>(- 73)= 2(馆)1 12712711-设二维随机变量(X,Y)-U(A) , A = (Xy)|x+ y> 0求 E(XY)QX解：S而积(人)=扌,/(兀)=<2, (x, y) e A0,其它fx