一些特殊类型的一阶微分方程的解法探讨毕业论文

1、 本本科科毕毕业业论论 文文（设设计计）题目一些特殊类型的一阶微分方程的解法探讨学生姓名 学 号 系 名数学与计算机信息工程系专业年级数学与应用数学 2008 级指导教师 职 称单位 辅导教师 职 称单位 完成日期20122012年5 5月2020日 材材 料料 目目 录录 xx 大学本科毕业论文（设计）任务书大学本科毕业论文（设计）任务书（指导教师用）xx 大学大学本科毕业论文（设计）开题报告本科毕业论文（设计）开题报告（学生用）xx 大学本科毕业论文（设计）中期自查表大学本科毕业论文（设计）中期自查表（学生用）论文正文：论文正文：一些特殊类型的一阶微分方程的解法探讨一些特殊类型的一阶微分方

2、程的解法探讨xx 大学大学本科毕业论文本科毕业论文（设计设计）诚信保证书诚信保证书 xx 大学大学本科毕业论文（设计）任务书本科毕业论文（设计）任务书（指导教师用）题目名称 一些特殊类型的一阶微分方程的解法探讨学生姓名 所学专业数学与应用数学班 级 指导教师姓名 所学专业 职 称 完成期限2011 年 12 月 10 日至 2012 年 5 月 10 日1.毕业论文（设计）主要内容或主要技术指标一般的微分方程没有普遍的解法，即使对于一阶微分方程也是如此.在数学史上，数学家leibnitz 和 euler 分别试图利用变量替换和积分因子法来统一解决一阶微分方程的求解问题，但始终没有如愿.不过这并

3、不意味着人们就对此束手无策，处理问题的基本原则是具体问题具体分析，对一些具有某种特殊形式的一阶微分方程，可采取特定方法求解.作者可从以下几个方面作深入研究：（1）一阶微分方程（含特殊形式）及其通解的概念；（2）求解特殊一阶微分方程通解的理论价值和实际意义；（3）一阶微分方程解的存在唯一性分析；（4）分析、归纳诸如变量分离方程、齐次方程、bemoulli 方程、一阶线性微分方程等经典微分方程的方程特点及其求解的数学思想方法；（5）考察、分析某些特殊类型的一阶微分方程的本质特点，探究其转换与求解的方法和技巧.2.毕业论文（设计）基本要求（1）根据自己所学专业的理论知识，结合社会实践，恰当选题，旨在

4、理论联系实际，初步培养科研能力，运用所学的理论知识分析问题和解决问题；（2）根据所选论题，全面收集文献资料，并对所收集的资料进行合理的分析、整理；（3）根据拥有的资料，结合自己对论题的理解和研究，做好开题报告；（4）全面构思论文设计的主体框架，编写详细的写作提纲；（5）按论文设计的主体构想和具体的写作提纲撰写论文初稿；（6）在初步完成论文初稿的基础上，进一步与指导老师交流和勾通，吸取合理的建议，不断完善结构、补充材料、丰富内容、严谨逻辑、规范格式，提高论文的学术水平与实用价值；（7）严格按照 xx 大学毕业论文设计的规范来撰写与编辑，确保论文的规范性；（8）在整个毕业论文设计的过程中，严格按照

5、大学的工作要求来开展研究工作，端正态度，严明纪律，讲究科学，提高效率，按质按量完成毕业论文研究工作.3.毕业论文（设计）进度安排（1）2011 年 12 月 1 日2011 年 12 月 9 日：结合专业，完成选题； （2）2011 年 12 月 10 日2012 年 1 月 10 日：收集资料，学习相关理论和专著，实地调研； （3）2012 年 1 月 11 日2012 年 1 月 31 日：分析、整理文献资料，筛选出有价值的东西； （4）2012 年 2 月 1 日2012 年 2 月 10 日：与导师讨论和交流，完成论文开题报告； （5）2012 年 2 月 11 日2012 年 3 月

6、 31 日：撰写论文并完成初稿； （6）2012 年 4 月 1 日2012 年 4 月 25 日：反复与导师交流，修改初稿，完成论文第二稿； （7）2012 年 4 月 26 日2012 年 5 月 5 日：进一步修改论文，严格按论文规范编辑，定稿； （8）2012 年 5 月 6 日2012 年 5 月 10 日：编写毕业论文答辩提纲，完成最后的扫尾工作. 指导教师签名： 2011 年 1 2 月 10 日xx 大学大学本科毕业论文（设计）开题报告本科毕业论文（设计）开题报告（学生用）学号 学生姓名 系 名数学与计算机信息工程系专业年级数学与应用数学指导教师 职称论文（设计）题目一些特殊类

7、型的一阶微分方程的解法探讨1.本论题国内外研究动态及研究意义：微分方程与微积分同时诞生，目前数学家掌握了一些可以用初等积分法求解的一阶微分方程类型, 也发现有许多无法用初等积分法求解，所以,探讨一阶微分方程是微分方程领域的一个基本研究内容.随着时代的不断进步和科技的迅速发展，一阶常微分方程在很多学科领域内有重要的应用，如飞机和导弹飞行的稳定性的研究、自动控制、各种电子学装置的设计等.这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题.在国外，当代数学家 leibnitz 和 euler 对一阶微分方程解法的研究活动，有十分重要的学术意义.1691 年，他们提出了常微分方程的分离变量

8、法，解决了可化为变量分离型方程的求解问题；同年还提出了求解一次齐次方程的方法；1694 年，leibnitz 证明了使用了变量替换能把一阶线性常微分方程化成积分方程；1694 年，leibnitz 引进了找等交曲线或曲线族的问题，求出了一些特殊问题的解；1696 年，他又证明了利用变量替换将伯努利方程变换，并将一些微分方程进行简化.通过求解微分方程，这两位科学家解决了研究活动中的许多具体问题.这些年来，一阶线性、非线性微分方程、可分离变量微分方程、齐次微分方程、全微分方程、一阶隐方程等问题已得以解决.然而一部分一阶微分方程还未能转化为经典类型的方程，它们是没有统一的初等解法.目前,关于这一部分

9、一阶微分方程的特殊解法,还在探索中.而本文的主要目的，就在于总结四种特殊类型的微分方程（变量分离方程、齐次微分方程、线性方程、伯努利微分方程）的解法特点.通过对其进行分析和研究，从中总结经验、解题思想进而对一阶高次微分方程及其新类型的解法进行探讨.因此，通过探讨新的一阶微分方程，从而培养我们的机智性和灵活性，以及思维能力.2.毕业论文（设计)研究内容、拟解决的主要问题：（1）研究内容本论文首先对经典类型的一阶微分方程的解法总结归纳，进一步对一阶常系数高次微分方程的一般形式的解法总结，通过对经典一阶微分方程的解法运用，进一步扩展到对一阶常系数高次微分方程新类型的解法探讨.（2）拟解决的主要问题通

10、过总结及研究，找出几类常见的一阶微分方程并对其解法进行探讨.每类特殊的一阶微分方程通过案例寻找合适的解法对问题进行分析.总结常见的几类微分方程的解法规律，进一步对常系数高次微分方程及其新类型的解法进行探讨.3.毕业论文（设计)研究方法、步骤及措施：（1）拟采取的研究方法文献资料法：主要通过查阅关于本课题新文献和新成果，时刻关注所研究问题的新动向，对国内外有关特殊类型的一阶微分方程的解法的资料进行收集和研究，更深层次的了解特殊一阶微分方程解法.使所立论文研究的内涵和外延更丰富，方向更明确，方法更科学，以保证论文的研究质量.举例法：通过列举相关的事实，更具体的特殊一阶微分方程应用.积极与导师交流学

11、习有关文献、研究心得以及课题的研究进展情况，对研究工作中所遇到的难题和关键问题相互讨论、交流，而且不断完善研究目标.分析法：结合以上方法来提出问题、分析问题和解决问题.探究法: 深入学习，积极探究.（2）毕业论文的具体步骤2011 年 12 月 1 日2011 年 12 月 9 日：结合专业，完成选题；2011 年 12 月 10 日2012 年 1 月 10 日：收集资料，学习相关理论和专著，实地调研； 2012 年 1 月 11 日2012 年 1 月 31 日：分析、整理文献资料，筛选出有价值的东西；2012 年 2 月 1 日2012 年 2 月 10 日：与导师讨论和交流，完成论文开

12、题报告；2012 年 2 月 11 日2012 年 3 月 31 日：撰写论文并完成初稿； 2012 年 4 月 1 日2012 年 4 月 25 日：反复与导师交流，修改初稿，完成论文第二稿； 2012 年 4 月 26 日2012 年 5 月 5 日：进一步修改论文，严格按论文规范编辑，定稿； 2012 年 5 月 6 日2012 年 5 月 10 日：编写毕业论文答辩提纲，完成最后的扫尾工作.（3）论文框架 1 摘要 abstract2 正文第一章 绪论1.1 研究动态1.2 研究意义第二章 常见的具有特殊形式的一阶微分方程及可化为此类型的微分方程 2.1 变量分离方程与离变变换 2.1

13、.1 变量分离方程 2.1.2 常见的可化为变量分离方程的类型 2.2 线性微分方程 2.3 伯努利微分方程 第三章 常系数高次微分方程 3.1 一阶常系数高次微分方程 3.2 一阶常系数高次微分方程新类型解法的探讨3 结束语4 致谢 5 参考文献4.主要参考文献：1 王高雄,周之铭，朱思铭,王寿松.常微分方程(第三版)m.高等教育社,2006.72 东北师范大学数学系微分方程教研室. 常微分方程m.北京:高等教育出版社,1986.3 中山大学数学力学系.常微分方程m.人民出版社,1978.4同济大学数学系.高等数学(下)m.北京:高等教育出版社,2008:276281.5四川大学数学系高等数

14、学教研室.高等数学（第三册）m.北京:高等教育出版社,1990.6戴中林.一类一阶高次微分方程的解法j.大学数学，2006.7 钱祥征. 常微分方程解题研究m.湖南科技出版社.1987年.8邹豪思，冯尚.高等数学下册（第二版）m.内蒙古大学出版社,2008.9同济大学应用数学系.高等数学(下册)(第五版)m.北京:高等教育出社,2002.10刘颖.一类特殊的一阶微分方程的初等积分法j.沈阳航空工业学院学报2004，21（5）：90-91.11张小慧.解一阶微分方程j.商丘职业技术学院学报,2006,5(2):11-12.12李裕民.谈谈几种可积型一阶微分方程的解法j.湖南数学讯,1994,2:

15、27-28.13王高雄,周之铭.常微分方程m.北京:高等教育出版社出版,2001.14伍卓群,李勇.常微分方程m.北京:高等教育出版社,2003.15 蔡燧林. 常微分方程.m. 武汉:武汉大学出版社,2003.16王柔怀.常微分方程讲义m.人民教育出版社,1979,2.是否可以进入论文（设计）研究：指导教师签名：年 月 日是否可以进入论文（设计）研究： 系主任签名：年 月 日xx 大学大学本科毕业论文（设计）中期自查表本科毕业论文（设计）中期自查表（学生用）系 名数学与计算机信息工程系年 级2008 级专 业数学与应用数学本人投入的时间和精力每周平均工作 28 小时，出勤情况：较好（ ） 、

16、一般（ ） 、差（ ）.影响时间投入的原因：找工作（ ） 、自身水平（ ） 、其他原因 .指导教师的投入指导教师每周指导 1 次，大约 0.5 小时；指导形式：网络（ ） 、电话（ ） 、面对面（ ） 、其他 ；指导效果： 好（ ） 、 较好（ ） 、一般（ ） 、 差（ ）.毕业论文（设计）工作情况是否能按任务书的“进程安排”完成工作：是（ ） 、否（ ） ，已完成内容占全部工作 70 .你的论题是：自选（ ） 、专业安排（ ） 、跨专业（ ）.论题是否结合专业（是、否） 、难度（高、适当、容易） 、工作量（大、一般、小）.自己对毕业设计（论文）文件规范的学习情况：已了解（ ） 、部分了解（

17、 ） 、不清楚（ ）.条件保障试验设备和器材是否得到保证：是（ ） 、否（ ）.学校提供的图书资料是否满足需要：是（ ） 、一般（ ） 、否（ ）.学校计算机上机条件：好（ ） 、较好（ ） 、不好（ ） ；约需 5 机时.经费来源：学校（ ） 、个人（ ） 、尚无需要（ ）.存在问题及整改思路存在主要问题是：1、本人已申请离校见习，没有得到学校图书馆和学校网络资料的帮助，资料不全；2、本人选的论文题目在大学期间开的课不是很深入，学的不是很精，写前需要很多时间自学相关知识；3、论文中整体的布局还欠很好的考虑，对论文的条理还有待改进.4、自身原因，已离校见习，工作多，写论文的时间不是很多.整改思

18、路：1、试图通过其他方法找到更合适的例题；2、多看与自己论文相关的资料，达到熟练的地步；3、对自己写好的论文要多次修改，减少在语言上的毛病；4、对论文的结构要更加熟悉.学生签名： 年 月 日 指导教师签名： 年 月 日一些特殊类型的一阶微分方程的解法探讨一些特殊类型的一阶微分方程的解法探讨数学与应用数学 摘摘 要要：关于一阶微分方程的求解，大部分教材只讨论了变量分离方程、齐次微分方程、线性方程、伯努利微分方程，而对其他类型探讨得比较少，针对这种情况，本文将特殊几类一阶微分方程的解法加以分析和归纳，其中运用了变量分离法、常数变易法转化为可积的变量分离方程的数学思想，进一步扩充到对常系数高次微分方

19、程及其新类型解法的探讨，目的在于培养我们分析问题和解决问题的能力，为今后解决更复杂的一阶微分方程打下基础.关键词关键词：一阶微分方程；解法；特殊类型；高次微分方程somesome specialspecial typestypes ofof first-orderfirst-order differentialdifferential equationsequations inin solutionsolution discussiondiscussionabstractabstract：摘要摘要.iabstractabstract.i第一章第一章 绪绪 论论.11.1 研究动态 .11.2

20、研究意义 .1第二章第二章 常见的具有特殊形式的一阶微分方程及可化为此类型的微分方程常见的具有特殊形式的一阶微分方程及可化为此类型的微分方程.22.1 变量分离方程与变量变换 .22.1.1 变量分离方程.22.1.2 常见的可化为变量分离方程的类型.6 2.2 线性微分方程 .10 2.3 伯努利微分方程 .15第三章第三章 常系数高次微分方程常系数高次微分方程.18 3.1 一阶常系数高次微分方程 .18 3.2 一阶常系数高次微分方程新类型解法的探讨 .22结束语结束语.24致致 谢谢.25参考文献参考文献.26第一章第一章 绪绪 论论1.11.1 研究动态研究动态微分方程与微积分同时诞

21、生，目前数学家掌握了一些可以用初等积分法求解的一阶微分方程类型, 也发现有许多无法用初等积分法求解，所以,探讨一阶微分方程是微分方程领域的一个基本研究内容.随着时代的不断进步和科技的迅速发展，一阶常微分方程在很多学科领域内有重要的应用，如飞机和导弹飞行的稳定性的研究、自动控制、各种电子学装置的设计等.这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题.在国外，当代数学家 leibnitz 和 euler 对一阶微分方程解法的研究活动，有十分重要的学术意义.1691 年，他们提出了常微分方程的分离变量法，解决了可化为变量分离型方程的求解问题；同年还提出了求解一次齐次方程的方法；169

22、4 年，leibnitz 证明了使用了变量替换能把一阶线性常微分方程化成积分方程；1694 年，leibnitz 引进了找等交曲线或曲线族的问题，求出了一些特殊问题的解；1696 年，他又证明了利用变量替换将伯努利方程变换，并将一些微分方程进行简化.通过求解微分方程，这两位科学家解决了研究活动中的许多具体问题.1.21.2 研究意义研究意义这些年来，一阶线性、非线性微分方程、可分离变量微分方程、齐次微分方程、全微分方程、一阶隐方程等问题已得以解决.然而一部分一阶微分方程还未能转化为经典类型的方程，它们是没有统一的初等解法.目前,关于这一部分一阶微分方程的特殊解法,还在探索中.而本文的主要目的，

23、就在于总结四种特殊类型的微分方程（变量分离方程、齐次微分方程、线性方程、伯努利微分方程）的解法特点.通过对其进行分析和研究，从中总结经验、解题思想进而对一阶高次微分方程及其新类型的解法进行探讨.因此，通过探讨新的一阶微分方程，从而培养我们的机智性和灵活性，以及思维能力.第二章第二章 常见的具有特殊形式的一阶微分方程及可化为此类型常见的具有特殊形式的一阶微分方程及可化为此类型的微分方程的微分方程2.12.1 变量分离方程与变量变换变量分离方程与变量变换2.1.12.1.1 变量分离方程变量分离方程1245101113形如 ， （2.1）( , )( , )0p x y dxq x y dy在方程

24、（2.1）中，变量与对称，它既可以看作是以为自变量、为未知函数的方程：xyxy （这时）， ( , )( , )dyp x ydxq x y ( , )0q x y （2.1.1）也可看作以为自变量、为未知函数的方程：yx （这时） ， ( , )( , )dyq x ydxp x y ( , )0p x y （2.1.2）如果一阶微分方程能化成：， （ 2.2 ( ) ( )dyf xydx）的形式，则称（2.2）式成为变量分离方程变量分离方程，而原方程为可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程，这里，分别是，的连续函数.( )f x( )yxy解可分离变量微分方程的方法：解可分离变量微分方

25、程的方法：（1）.首先将可分离变量微分方程改写为（2.2）形式；（2）.后将（2.2）分离变量，即 如果，我们把（2.2）式改写成( )0y ， （2.2.1） ( )( )dyf x dxy接着对（2.2.1）方程进行两边积分，得到 ， （2.3）( )( )dyf x dxcy其中 是任意常数.由该式确定变量分离方程的通解，即函数关系式.c( , )yy x c（3）.如果，不适合（2.2.1）式.但如果存在某使得，则直接验( )0y0y0()0y证知也是（2.2）的解.因此，必须找出的解.也就是说，变量分离方0yy( )0y0y程的通解（2.3）不包括时，必须补上特解.0yy0yy【例

26、2.1】求解方程 (1)(1)0 x ydxy xdy解解 原方程可化为，11dyyxdxyx将方程分离变量得 ，11yxdydxyx两边分别积分，得到 ，11yxdydxcyx解之得 ，lnlnyyxxc 即 ， （ 为任意常数）.容易验证当也是原方程的解.ln0 xyxyc c0y 【例 2.2】求解一阶可分离变量的微分方程2222(2 )(2 )0 xyy dxxyx dy解解 令，则原方程可化为uxyvxy 或 ，0uvduvduudv(1)0uvduudv当、时，将方程分离变量，得到uv0 ，1udvduuv两边积分，即得 ， （是任意常数）1lnlnuuvc1c 或 （） ，uuc

27、evcce 则原方程的通解为 ，()x yxycexy此外、 =0 时，即也是该方程的解.uvyx 2.1.22.1.2 常见的可化为变量分离方程的类型常见的可化为变量分离方程的类型1345613解一阶可积微分方程的一般思路是：根据方程的结构特点，利用变量变换的适当处理方程使之实现未知向已知的转化，将方程转化为变量分离方程，从而获解.（1）若一阶微分方程可以写成 ， （2.4）( )dyyfdxx的形式，则这个方程（2.4）称为齐次微分方程齐次微分方程.解齐次微分方程的方法：解齐次微分方程的方法：1.在齐次微分方程（2.4）中引入新的变量，就可以化为可分离变量微分方yux程.2.由于，故 ，于

28、是 ，代入方程（2.4）式，则原方程变yuxyxudyduuxdxdx为( )duuxf udx若；( )0f uu上式可分离变量，得到 ，再将该方程两边积分，则得到齐次微分方程( )dudxf uux的（2.4）的通解为 ，( )duf uuxce 若是的一个解，则是齐次微分方程（2.4）的一个特解.0u( )0f uu0yu x【例 2.3】求解微分方程2dyyydxxx解解 这是一个齐次微分方程，以 ，及代入原方程，则原方程变为yuxdyduxudxdx，2duxuuudx即 ， 2duudxx讲上式分离变量，即得，12dudxxu两边积分，得到，lnuxc整理后，得到方程的通解为 ，2

29、(ln)yxxc其中 是任意常数.c【例 2.4】求解方程21tan22dyyydxxyx解解 显然这不是一个齐次微分方程，但方程两边乘以，得到2y ，222tandyyyydxxx即 ，222tandyyydxxx并令，则原方程可化为2zy ，tandzzzdxxx显然这是一个以为自变量、为未知函数的齐次微分方程，再令及xzzux代入上式，则方程变为dzduxudxdx ， tanduxuuudx即 ，tanduxudx将上式分离变量，得到 ，tandudxux两边积分，得到 ，1ln sinlnuxc这里是任意常数，整理后，得到1c，1sincue x 令，得到1cec ，sinucx于是

30、原方程的通解为 ，2arcsinyxcx此外，若时，则，从而为方程的特解.tan0u 0u 0y （2）形如 ，令 ，即可化为关于，的变量分离()dyaxbycdxuaxbycxu方程，从而可解.( )duabudx2.22.2 线性微分方程线性微分方程178若一阶微分方程可以写成 ， （2.5.1）( )( )dyp x yq xdx的形式，其中，在考虑的区间上是的连续函数.( )p x( )q xx若，则称（2.5.1）式为一阶非齐次线性微分方程一阶非齐次线性微分方程.( )0q x 若，则（2.5.1）式变为( )0q x ， （2.5.2）( )0dyp x ydx的形式，则称（2.5

31、.2）为一阶齐次线性微分方程一阶齐次线性微分方程，其通解为 ， （2.6）( )p x dxyce其中为任意常数. c解线性微分方程的方法：解线性微分方程的方法：由于方程（2.5.2）是方程（2.5.1）的特殊情形，那么两者的通解应该存在一定的联系，我们试图利用方程（2.5.2）的通解（2.6）的形式去求方程（2.5.1）的通解.因此我们设想:把式（2.6）中的任意常数变易为的待定函数，使之满足cx( )c x（2.5.1） ，从而求出.为此，令( )c x ， （ 2.7 ） ( )( )p x dxyc x e为方程（2.5.1）的解，得到 -( )( )( )( ) ( )p x dxp

32、 x dxdydc xec x p x edxdx(2.8)以（2.7） 、 （2.8）代入（2.5.1） ，得到 ，-( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )p x dxp x dxp x dxdc xec x p x ep x c x eq xdx即 ，( )( )( )p x dxdc xq x edx两边分别积分，求得，( )1( )( )p x dxc xq x edxc这里是任意常数，将上式代入（2.7）式，得到方程（2.5.1）的通解为1c （2.8）( )( )1( )p x dxp x dxyq x edxc e这种将常数变易为待定函数的方法，称之为常数变易

33、法常数变易法.这种方法在以后的解题中应用比较广泛.【例 2.5】求解微分方程sindyyxdxxx解解 该方程为一阶非齐次线性微分方程，且，代入公式（2.8） ，1( )p xxsin( )xq xx则 原方程的通解为 ，111sin()dxdxxxxyedxc ex即 1( cos)yxcx 其中为任意常数.c【例 2.6】求微分方程 的通解.2(6 )20yx dyydx解解 把方程改写成 ，226dyydxyx故在该微分方程中，将看作的函数，显然它关于不是线性微分方程，但若变成yxy，262dxyxdyy即 ， （2.9.1）32dxxydyy把看作未知函数，看作自变量，这样，对于及来说

34、，方程（2.9.1）是一阶xyxdxdy非齐次线性微分方程.首先，求出齐次线性微分方程 ，3dxxdyy 的通解为 ， （2.9.2）31xcy其中为任意常数.c其次，利用常数变易法求非齐次微分方程（2.9.1）的通解.把看作，微c( )c y分（2.9.2） ，得到 ，34( ) 11.3 ( )dxdc yc ydydyyy代入（2.9.1） ，得到 ，3341( )( ) 11.3 ( )32c ydc yyyc ydyyyy即 ，4( )2dc yydy两边积分得到 51( )10yc yc从而，原方程的通解为，5131()10yxcy即 ，213110yxcy这里的是任意常数.1c2

35、.32.3 伯努利微分方程伯努利微分方程191013 若一阶微分方程可以写成 ， ( )( )ndyp x yq x ydx（2.10）的形式，则称（2.10）为伯努利微分方程伯努利微分方程，这里、为的连续函数，( )p x( )q xx是常数.0,1n 解伯努利微分方程的方法：解伯努利微分方程的方法：利用变量代换的方法将方程（2.10）化为线性微分方程.具体步骤为：对于，方程（2.10）两边同时乘以得到0y ny， （2.11）1( )( )nndyyyp xq xdx引入变量代换 ， （2.12）1 nzy再对（2.12）式求导，得到 ， (1)ndzdyn ydxdx（2.13）将（2.

36、12） 、 （2.13）代入（2.10） ，可将伯努利微分方程（2.10）化为一阶非齐次线性微分方程，即 ， (1) ( )(1) ( )dzn p x zn q xdx（2.14）可按前面说介绍的解非齐次线性微分方程的方法求出方程（2.14）的通解，然后代回原来的变量，便得到伯努力方程（2.10）的通解.此外，当时，方程还0n 有解.0y 【例 2.7】求方程的通解.2lndyyyxdxx解解 这是的伯努利微分方程，令2n ，1zy对上式求导，得到 ，2dzdyydxdx 代入原方程得到 ，lndzzxdxx这是非齐次线性微分方程，求得它的通解为 ，2(ln )2xzcx代回原来的变量，得到

37、y ，2(ln )12xcxy这就是原方程的通解，此外，方程还有特解.0y 【例 2.8】求方程 的通解.4dyyxydxx解解 这是的伯努利微分方程.令12n ,12zy算得 ,1212dzdyydxdx代入原来的方程得到 ,22dzxzdxx这是非齐次线性微分方程,求得它的通解为 ,21 ln2zxxc代回原来的变量,得到y ,421 ln2yxxc其中是任意常数.这就是原方程的通解.此外,原方程还有特解.c0y 第三章第三章 常系数高次微分方程常系数高次微分方程3.13.1 一阶常系数高次微分方程一阶常系数高次微分方程1212141516众所周知，可积的一阶微分方程的类型是非常的有限，常

38、见的就前面我们介绍的变量分离方程、齐次微分方程、线性微分方程、伯努利微分方程以及全微分方程等，他们都是未知函数导数的一些简单的初等解法，但几乎都不设计的高次方程，下yy面我们详细地讨论了一类一阶常系数的一次齐次微分方程的解法，并将其结果推广到对同类型的一阶常系数次齐次微分方程的解法探讨.n若一阶微分方程可以写成 （2.15）11011()()0nnnnnnp yp yypy yp y 的形式，则称方程（2.15）为一阶常系数高次微分方程一阶常系数高次微分方程，其中各项系数，0p1p，均为常数.1npnp首先，我们先讨论当时，即一阶常系数的一次齐次微分方程为1n ， （2.16）010p ypy

39、 的求解，然后把方程（2.16）的解法推广到解一阶次微分方程的.其求解过程为n解解 方程可化为 ，10pdyydxp 将上式分离变量得 ，10pdydxyp 两边积分，得到方程（2.16）的通解为 ， （2.17）10pxpyce其中为任意常数.c解一阶常系数高次微分方程的方法为解一阶常系数高次微分方程的方法为由此上面的一阶常系数一次微分方程的通解为（2.17）可见，如果一阶常系数高次微分方程（2.15）也有解（为待定常数）.将其代入（2.15）可得到代xye数方程为 ， （2.18）01110nnnnpppp 因此，只要我们能求出满足代数方程（2.18）的值，函数就是常系数高次微xye分方程

40、的（2.15）的解，故其通解就是（其中为任意常数）.xycec我们称方程（2.18）为一阶常系数高次微分方程的特征方程一阶常系数高次微分方程的特征方程，它的根成为特征根特征根.现只须求出特征方程（2.18）的特征根，即可得到常系数高次微分方程的通解.引理引理 如果函数是微分方程(2.18)的解,则 ( 为任意常数)是方程1( )y x1( )ycy xc(2.18)的通解.下面根据特征根的不同情况分别进行讨论：（1） 特征根是单根的情形设，是特征方程（2.18）的个彼此不相等的根，则相应地方程12nn（2.15）有如下个解：n ， ，.11xye22xyenxnye可得微分方程（2.15）在实

41、数范围内的个独立的通解：n ， ，.（其中为任意常11xyce22xycenxnycec数）（2） 特征根有重根的情形设特征方程（2.18）有重根，这时只给出微分方程（2.15）的一个通解：n （为任意常数）.xycec现以一阶二次方程为例用常数变易罚证明方程（2.15）在重根下只有一个通解.设方程还有解为，则有.代入一阶二次方程( )xyc x e( )( ) xyc xc xe ，22012p ypy yp y 则有 ，22012( )( ) ( )( ) ( )( )0p c xc xp c xc xc xpcx .222001012( )( ) ( )2( )0pcxc x c xpp

42、cx ppp 由于是特征方程（2.18）的二重根，故有 ，20120102+ =0ppppp 于是，所以（常数） ，即方程（2.15）在重根的情况下只有一个通解( )=0c x ( )=c xc.xye（3） 特征方程有复根的情形因为微分方程的系数是实常数，复根将成对共轭地出现.设共轭复根为时，方程（2.15）在实数范围内通解中不含复数解，但在范围内通解中含有i 两个共轭复数解： ， ，1(cossin)xyexix 2(cossin)xyexix 故微分方程（2.15）在复数范围内有两个独立的通解： ， （为任意常数）1(cossin)xycexix 2(cossin)xycexix c.【

43、例 2.9】求一阶二次微分方程的通解.22320yy yy 解解 特征方程的根为，均为单根，故方程的通解为2320 11 22 ， （为任意常数）.1xyce22xycec【例 2.10】求一阶四次微分方程的通解.43223425840yy yy yy yy 解解 特征方程，即，解得（二43225840 22(4)0 1,2重根） ，故得原方程的三个通解为3,4i ， ，.1xyce2(cos2sin2 )xycxix e3(cos2sin2 )xycxix e这里为任意常数.c3.23.2 一阶常系数高次微分方程新类型解法的探讨一阶常系数高次微分方程新类型解法的探讨21516现在我们来探讨一

44、阶高次微分方程新类型的求解方法：若一阶常系数高次微分方程改成， 11011()()nnnnkxnnp yp yypy yp yce （2.19）的形式，我们称方程（2.19）式为一阶常系数非齐次微分方程一阶常系数非齐次微分方程，其中各项系数、 、都是常数.(0,1, )ip inck用前面我们所学的解决一阶非齐次微分方程的方法，即常数变易法的思想，对一阶高次非齐次微分方程进行求解.而本文讨论不是方程的特征根的情形，此时，kn10110nnnnpppp显然有：，1011( )( )( )( )0nnnnkkkkfppppnnnn设方程（2.19）的特解为（其中为待定系数） ，将、分别代入1kxn

45、yzez1y1y（2.19）式，则有：，1011( )( )( )nkxnnkxnnkkkz eppppcennn由于，上式变为0kxe，1011( )( )( )nnnnnkkkzppppcnnn从而有： ，1( )nczkfn于是方程（2.19）的一个特解： ，11( )nkxncyekfn【例 2.11】 求方程的一个解222()22xyy yye解：有题可知，、，而.2n 2k 1c 212kn故不是特征方程的特征根.2220令原方程的一阶特解为 （为待定系数） ，将、分别代入原方程，1kxxnyzezez1y1y可得到，因此，原方程存在一个特解为.1z 1xye结束语结束语总所周知，经典的微分方程等问题已经解决，然而尚有部分一阶微分方程还未能转化为经典类型的方程，它们是没有统一的初等解法，其特殊解法,我们还在探索中.而本文主要目的，就在于详细地介绍特殊类型的微分方程（变量分离方程、齐次微分方程、线性方程、伯努利微分方程）的解法特点，从中总结题型经验、解题思想进一步扩充到对常系数高次微分方程及其新类型解法的探讨，对今后解决更复杂的一阶微分方程有着积极的意义.现总结如下：第一：变量分离方程与变量变换.运用分离变量的方法，讲方程分离成 ，两边积分，得到 ，便可得到方程的通解.( )( )dyf x dxy( )( )dy