高等数学(2017高教五版)课件函数的极值与最大值最小值(工科类)ppt课件

1、1第六讲 函数的极值与最大值最小值2函数的极值与最大值最小值一、引言二、函数的极值及其求法三、最大值最小值问题3函数的极值与最大值最小值一、引言二、函数的极值及其求法三、最大值最小值问题4x3从边长为a的一张正方形薄铁皮的四角切去边长为x的四个小正方形，折转四边，作一个盒子，问x为何值时盒子的容积最大？问题xoyx1x25函数的极值与最大值最小值一、引言二、函数的极值及其求法三、最大值最小值问题6函数的极值与最大值最小值一、引言二、函数的极值及其求法三、最大值最小值问题7二、函数的极值及其求法（一）极值的概念（二）极值的存在条件与求法8二、函数的极值及其求法（一）极值的概念（二）极值的存在条件

2、与求法9xyo定义设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义，如果对于去心邻域U0(x0)内的任一x，有 f(x)f(x0)称f(x0)为函数f(x)的一个极大值(或极小值).函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点注极值是一个局部的概念定义设函数f(x)在区间I上有定义，如果存在x0I,使得对于区间I内的任一x，有 f(x)f(x0)(或f(x)f(x0),则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）10定义设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义，如果对于去心邻域U0(x0)内的任一x，有 f(x)f(x0)称f(x0)为函数f(x)的一

3、个极大值(或极小值).函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点xyo注极值是一个局部的概念定义设函数f(x)在区间I上有定义，如果存在x0I,使得对于区间I内的任一x，有 f(x)f(x0)(或f(x)f(x0),则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值(或最小值).11定义设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义，如果对于去心邻域U0(x0)内的任一x，有 f(x)f(x0)称f(x0)为函数f(x)的一个极大值（极小值）函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点注极值是一个局部的概念yox定义设函数f(x)在区间I上有定义，如

4、果存在x0I,使得对于区间I内的任一x，有 f(x)f(x0)(或f(x)f(x0),则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值(或最小值).12二、函数的极值及其求法（一）极值的概念（二）极值的存在条件与求法13二、函数的极值及其求法（一）极值的概念（二）极值的存在条件与求法14xyo ab极值存在的必要条件15设函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，极值存在的必要条件注极值点驻点不可导点定理1可导函数：极值嫌疑点极值嫌疑点xyxyoo例：3xy xy 则f (x0)=016xoyx2x1极值存在的充分条件17定理2（第一充分条件）极值存在的充分条件xoy+(1)若00(,)xx

5、x 时，( )0,fx 而00(,)xxx 时，( )0,fx 则( )f x在0 x处取得极大值；(2)若00(,)xxx 时，( )0,fx 而00(,)xxx 时，( )0,fx 则( )f x在0 x处取得极小值；(3)若0(, )oxU x 时，( )fx 的符号保持不变,则( )f x在0 x处没有极值设函数f(x)在x0处连续，且在x0的某去心邻域0(, )oU x 内可导.18定理2（第一充分条件）极值存在的充分条件(1)若00(,)xxx 时，( )0,fx 而00(,)xxx 时，( )0,fx 则( )f x在0 x处取得极大值；(2)若00(,)xxx 时，( )0,f

6、x 而00(,)xxx 时，( )0,fx 则( )f x在0 x处取得极小值；(3)若0(, )oxU x 时，( )fx 的符号保持不变,则( )f x在0 x处没有极值u例132)1()4(xxy求函数的极值设函数f(x)在x0处连续，且在x0的某去心邻域0(, )oU x 内可导.19极值的求法(1) 明确函数的定义域(2) 求出f (x)=0的点，明确不可导点(3) 将上述点从小到大排列，把定义区间划分为若干子区间(4) 在每个子区间上讨论f (x)的符号，判定是否取得极值(5) 求出极值20极值存在的充分条件定理3（第二充分条件）设函数f (x)在x0处具有二阶导数且f (x0)=

7、0, f (x0)0,则(1)当f (x0)0时, 函数f (x)在x0处取得极小值.21极值存在的充分条件定理3（第二充分条件）设函数f (x)在x0处具有二阶导数且f (x0)=0, f (x0)0,则(1)当f (x0)0时, 函数f (x)在x0处取得极小值分析00()limxxfx 00( )()fxfxxx 0 0( )fxxx 保号性o0(,):Ux 0( )0fxxx 00 xxx ( )0fx 00 xxx ( )0fx 22极值存在的充分条件定理3（第二充分条件）设函数f (x)在x0处具有二阶导数且f (x0)=0, f (x0)0,则(1)当f (x0)0时, 函数f

8、(x)在x0处取得极小值xyoxyoxyo4yx 4yx 3yx l注若f (x0)=0,则不能判定f(x)在x0处是否取得极值23极值存在的充分条件定理3（第二充分条件）设函数f (x)在x0处具有二阶导数且f (x0)=0, f (x0)0,则(1)当f (x0)0时, 函数f (x)在x0处取得极小值l注若f (x0)=0,则不能判定f(x)在x0处是否取得极值u例21)1(32 xy求函数的极值极值的求法（用第二充分条件）(1) 明确函数的定义域(2) 求出驻点(3) 求出上述点处的二阶导数，判定是否取得极值24两种方法的比较第一充分条件第二充分条件使用条件弱强适用范围宽窄繁简程度繁简

9、两种方法的选择求出极值嫌疑点试求二阶导数易求，不为零第二充分条件是否第一充分条件驻点不可导点25函数的极值与最大值最小值一、引言二、函数的极值及其求法三、最大值最小值问题26函数的极值与最大值最小值一、引言二、函数的极值及其求法三、最大值最小值问题27三、最大值最小值问题（一）最大值最小值求法（二）最值应用问题28三、最大值最小值问题（一）最大值最小值求法（二）最值应用问题29求法(1) 求出f (x)在(a,b)内的驻点和不可导点;(2) 计算f (x)在上述驻点、不可导点处的函数值及f(a),f(b);(3) 上述函数值中，最大者为最大值，最小者为最小值.l注u例3xxy 1求函数在-5，

10、1上的最大值和最小值上述求法中无须判断极值.假定(1) f (x)在a,b上连续；(2) f(x)在(a,b)内除有限个点外可导，且至多有有限个驻点.30特例1若f (x)在一个区间内可导且只有一个驻点，若这个驻点是极值点，则f (x)在该点处取得最大值或最小值.l注这里无须和端点处的函数值比较.特例2若根据问题的性质可以断定f(x)的最值在区间内部取得且区间内部只有一个驻点，则f(x)在该点处取得最值.l注这里无须判断极值，也无须和端点处的函数值比较.xyoxyo31三、最大值最小值问题（一）最大值最小值求法（二）最值应用问题32三、最大值最小值问题（一）最大值最小值求法（二）最值应用问题3

11、3从边长为a的一张正方形薄铁皮的四角切去边长为x的四个小正方形，折转四边，作一个盒子，问x为何值时盒子的容积最大？u例434u例5某企业以钢材为主要生产材料。设该厂每天的钢材需求量为R吨，每次订货费为C1元，每天每吨钢材的存贮费为C2元（其中R、 C1、 C2为常数），并设当存贮量降为零时，能立即得到补充（在一个订货周期内每天的平均存贮量为订货量的二分之一）求一个最佳的订货周期，使每天的平均费用最小？ QT2T3Ttq(t)o存贮曲线图toCt0C0费用曲线图35u例6假设某工厂生产某产品x千件的成本是c(x)=x3-6x2+15x,售出该产品x千件的收入是r(x)=9x，问是否存在一个能取得最大利润的生产水平？如果存在的话，找出这个生产水平. xoy成本曲线和收入曲线图x1x236某渡海登岛演习场地情况如图所示：u例7参演部队驻地在陆地A处，攻击目标在海岛B处，A、B南北相距100km，AB10037某渡海登岛演习场地情况如图所示：u例7参演部队驻地在陆地A处，攻击目标在海岛B处，A、B南北相距100km，东西相距140km，AB14038某渡海登岛演习场地情况如图所示：u例7参演部队驻地在陆地A处，攻击目标在海岛B处，演习中部队先从A出发陆上行军到达海堤，再从海堤处乘舰艇到达海岛B