理论力学1_绪论拉格朗日力学

1、理论力学理论力学宋若龙宋若龙 崔志文崔志文 王鲲王鲲吉林大学物理学院吉林大学物理学院物理楼物理楼246考核方式考核方式 作业：作业： 20分分 阶段考试：阶段考试：20+20分分 期末考试：期末考试：40分分参考书参考书1. 王克协，经典力学教程，吉林大学出版社王克协，经典力学教程，吉林大学出版社2. 秦敢，力学与理论力学（下册），科学出版社秦敢，力学与理论力学（下册），科学出版社3. 朗道，力学，高等教育出版社朗道，力学，高等教育出版社4. Goldstein, H., Classical Mechanics5. 李德明，经典力学，高等教育出版社李德明，经典力学，高等教育出版社6. Jose

2、，J. V., Classical Dynamics: A contemporary approach, 绪绪 论论 研究对象：低速研究对象：低速 宏观物体宏观物体 的机械运动的机械运动 三个里程碑：三个里程碑： 1687, Newton, 自然哲学的数学原理自然哲学的数学原理 1788, Lagrange, 分析力学分析力学 1834, Hamilton, 论动力学中的一种普遍方论动力学中的一种普遍方法法（哈密顿原理）（哈密顿原理）内内 容容 第一章第一章 向量与非惯性系向量与非惯性系 第二章第二章 拉格朗日力学拉格朗日力学 第三章第三章 哈密顿力学哈密顿力学 第四章第四章 微振动微振动 第

3、五章第五章 中心力中心力 第六章第六章 刚体刚体 第七章第七章 非线性动力学与混沌非线性动力学与混沌分析力学分析力学经典力学问题经典力学问题第二章第二章 拉格朗日力学拉格朗日力学Chapter 2. Lagrangian mechanics牛顿力学的局限性牛顿力学的局限性0),(),(),(,00trfamamtrftrrFrmrrct 主动力主动力 约束力约束力 非惯性力非惯性力约束方程约束方程 初始条件初始条件 1717, 约翰约翰 伯努利，虚功原理伯努利，虚功原理 Johann Bernoulli, Principle of virtual work 1744, 莫培督，最小作用量原理莫

4、培督，最小作用量原理 Maupertuis, Principle of least action 1752,达朗贝尔达朗贝尔, 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 DAlembert, DAlembert Principle 1760, 拉格朗日，拉格朗日方程拉格朗日，拉格朗日方程 Lagrange, Lagranges equation 1788, 拉格朗日，拉格朗日，分析力学分析力学 Lagrange, Analytical mechanics 1834, 哈密顿，哈密顿原理哈密顿，哈密顿原理 Hamilton, Hamiltons Principle 1835, 哈密顿，正则方程哈密顿，正则方程

5、Hamilton, Canonical equation分析力学的发展分析力学的发展 1. 避开系统各部分之间的约束力和繁琐的避开系统各部分之间的约束力和繁琐的向量运算，用一标量拉格朗日函数（向量运算，用一标量拉格朗日函数（L=T-V）描述系统的动力学特征。描述系统的动力学特征。 2. 将力学建立在新的原理之上：哈密顿原将力学建立在新的原理之上：哈密顿原理。理。 3. 用能量来描述力学系统，适用于从量子用能量来描述力学系统，适用于从量子力学到宇宙学等物理学的各个领域。力学到宇宙学等物理学的各个领域。分析力学的特点分析力学的特点2.1 广义坐标广义坐标 (generalized coordina

6、tes)1. 约束约束(Constraints)限制质点或质点系自由运动的条件，称为约束。限制质点或质点系自由运动的条件，称为约束。mitrrrfni, 2 , 1 , 0),(21完整约束完整约束(holonomic: essentially integrable) （几何约束，可积约束）（几何约束，可积约束）mitrrrrrrfnni, 2 , 1 , 0),(2121非完整约束非完整约束(nonholonomic)(微分约束，速度约束微分约束，速度约束)mirrrfni, 2 , 1 , 0),(21稳定约束稳定约束(stable) 2. 自由度自由度(Freedom)对受完整约束的系统

7、，唯一地确定其位形（位置和形状）所必对受完整约束的系统，唯一地确定其位形（位置和形状）所必须给出的独立参量的数目，称为自由度。须给出的独立参量的数目，称为自由度。3. 广义坐标广义坐标(Generalized coordinates)任何一组能明确表明体系位形的参数，都可以作为一组坐标，任何一组能明确表明体系位形的参数，都可以作为一组坐标，称为广义坐标。称为广义坐标。独立变更，唯一确定体系位形独立变更，唯一确定体系位形2D平面运动平面运动2D纯滚动纯滚动r),(),( , 3yxrf ),(),( , 2xf ),(),( , 221xxf 2D平面运动平面运动2x1xAlf, 12D平面运动

8、平面运动l2D平面运动平面运动h第二章第二章 拉格朗日力学拉格朗日力学 复习复习 1. 约束约束（限制质点自由运动的条件） 2. 自由度自由度f（对受完整约束的系统，唯一地确定体系的位置和形状必须给出的独立量的数目） 3. 广义坐标广义坐标q（任何一组能明确表明体系位形的参数） 4. 位形空间位形空间（由f个广义坐标张成的f维空间） 5. 虚位移虚位移 （符合约束条件的无限小、瞬时的位置变更，不经历时间）1.1 约束和广义坐标约束和广义坐标r1.2 虚功原理虚功原理 1. 理想约束：理想约束： 2. 虚功原理：平衡的充要条件虚功原理：平衡的充要条件 3. 广义力：广义力： 4. 平衡的稳定性平

9、衡的稳定性0iirR0iirFqrFQiiqVQ所有主动力都是保守力0)(0 xV0)(0)(00 xVxV稳定不稳定 1.达朗贝尔原理达朗贝尔原理 2. 拉格朗日方程拉格朗日方程 3. 保守系拉格朗日方程保守系拉格朗日方程 4. 拉格朗日函数拉格朗日函数 5. 广义动量广义动量1.3 达朗贝尔原理与拉格朗日方程达朗贝尔原理与拉格朗日方程0iiirmRF QqTqTdtd0qLqLdtdVTtqqL),(qLqTp1.4 哈密顿原理与拉格朗日方程哈密顿原理与拉格朗日方程 1. 变分法变分法 泛函泛函 取极值的条件取极值的条件21)(),(,(xxdxxyxyxfJ0yfyfdtd 2. 哈密顿原理哈密顿原理 对相同的起止位置和约束，完整保守系对相同的起止位置和约束，完整保守系在所有可能的运动中，真实运动使拉格朗在所有可能的运动中，真实运动使拉格朗日函数对时间的积分取极值。日函数对时间的积分取极值。21),(ttdttqqLsS1.5 拉格朗日方程第一积分拉格朗日方程第一积分 1.循环坐标循环坐标 2. 哈密顿函数哈密顿函数Constant, 00ppqLdtdqLVTHVTTHLqptpqHtpqq02,),(tLdtdHConstant0HtL（对稳定约束）（对稳定约束）