第十二讲求图形面积的几种常用方法

1、 第十二讲 求图形面积的几种常用方法 第十二讲 求图形面积的几种常用方法在组合图形中，求阴影部分的面积的常用方法是：割补法、加减法、旋转法、构造法、等积的变换，抓不变量、等分、一半的应用、代换、比例等。a、割补法：对于一些求不在一起的几块阴影面积的和，往往需要把它们通过剪割、拼补在一起，才便于计算，在剪割、拼补过程中，一定要注意割下来的图形和补上去的图形的形状、大小必须完全一样。【例1】如图，每个小圆的半径是2厘米，求阴影部分的面积是多少平方厘米？【分析与解】如图，通过剪割、拼补，阴影部分的面积就变成了圆的面积减去正方形的面积，则阴影部分面积为：s阴影=s圆s正方形=×424

2、5;4÷2×4=50.2432=18.24(平方厘米)【例2】右图中三个圆的半径都是4厘米，三个圆两两交于圆心。求阴影部分的面积是多少平方厘米？【分析与解】如图，三个阴影部分的面积都相等，只需要求出其中一个面积即可，但非常困难。这时我们可以考虑采用割补的方法，同时利用对称性，将其个半圆形，则阴影部分的面积=3。14×4×4÷2=25。12（平方厘米）b、加减法：注意观察，所求阴影部分的面积看是由哪几个图形相加，再减去哪个图形变可以得到。我们把这种通过加、减就能求出它的面积的方法，我们的把它称为“加减法”。【例3】如图，正方形的边长为4厘米，求阴

3、影部分的面积是多少？【分析与解】如图，显然阴影部分的面积=扇形的面积 空白c的面积，而空白c的面积=正方形的面积扇形的面积，即s阴影=s扇（s正s扇）= s扇s正s扇= s扇s扇s正即s扇s扇比s正的面积多了b那部分的面积，即b= (bc)(ba)(a bc)阴影部分的面积，s阴=×42÷4×24×4=25.1216=9.12(平方厘米)。ab【例4】如图，长方形的长为12厘米，宽为8厘米，求阴影部分的面积是多少？【分析与解】如图，s阴影= s大扇sa= s大扇(s长s小扇) = s大扇s小扇s长=×122÷4×82

4、7;412×8=163.2896=67.28（平方厘米）adebcabcebdc、旋转法：在求一些面积时，有时需要把某个图形进行一定方向的旋转，使之拼在一起，变成另一个比较方便求的图形。【例5】如图，梯形abcd的上底是3厘米，下底是5厘米，高是4厘米，e是梯形的中点。求阴影部分的面积是多少？【分析与解】如图，由于e是梯形的中点，若以e为圆心，将三角形bec绕反时针方向放置，使c点与d点重合，显然可得，阴影部分的面积 与三角形abe的面积相等，所以阴影部分的面积=梯形面积的一半=（34）×4÷2÷2=8（平方厘米）。d、等分法：就是将整个图形，平均分成若

5、干份，再看所求的图形的面积占多少份，从而求得阴影部分的面积。【例6】将三角形abc的三条边分别向外延长一倍，得到一个大的六边形，已知三角形abc的面积是6平方厘米，求大六边形的面积。abc【分析与解】要求六边形的面积，似乎很困难，但通过三角形的顶点a、b、c的三条边对六边形进行等分，就很容易得出，六边形的面积是三角形面积的13倍，故所求面积为：6×13=78（平方厘米）【例7】如图，在正方形中，放置了两个小正方形，大正方形的面积是180平方厘米，求甲乙两个小正方形有面积各是多少？【分析与解】经过等分，可以得到，甲的面积占正方形面积的一半的，即甲的面积为180÷2÷

6、2=45（平方厘米）；乙的面积占正方形面积的一半的，即乙的面积=180÷2÷9×4=40（平方厘米）。e、抓不变量：若甲比乙的面积大a，则甲和乙同时加上或减去相同的数，它们的大小不变，而图形发生变化，再通过变化后的图形进行求解，就可以使问题得到简便；若两个面积相等的图形，同时加上或差动相同的面积，则剩下的面积仍然相等。【例8】如图，已知半圆的ab=20（厘米），阴影比阴影面积大57平方厘米，求直角三角形的高bc的长？【分析与解】根据条件，可以求得半圆的面积为：3.14×10×10÷2=157（平方厘米），又“阴影比阴影面积大57平方厘

7、米”，若阴影和阴影都加上空白部分，则半圆的面积比三角形的面积大57平方厘米，因此可求得三角形面积是15757=100（平方厘米），高bc为：100×2÷20=10（厘米）f、“一半”的应用：在正方形、长方形、平行四边形中，以其中一条边为底，在它的对边上任意取一点，所得的三角形的面积等于整个面积的一半。abecdf【例9】一个长方形长边为12厘米，宽ab=8厘米，e是bc上一点，ae长10厘米，ae和df互相垂直，df长是多少厘米？【分析与解】如图，如果连接de，则可得三角形ade的面积是长方形面积的一半，由“ae和df互相垂直”，可知df是三角形ade的高，则df=12&#

8、215;8÷2×2÷10=9.6(厘米)1745c34ab【例10】如图，在长方形中，四条直线把长方形分成了八部分，已知其中的三部分的面积分别是17、45、34平方厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？【分析与解】首先可得，两个大三角形的面积都是长方形面积的一半，所剩下的部分也是长方形的一半，为了能比较清楚的表示它们之间的关系，不妨用字母a、b、c来表示其余部分的面积。显然有abc=a1745c34，所以阴影部分的面积b=174534=96（平方厘米）【另解】也可根据覆盖原理，当覆盖部分面积之和等于总面积时，必有重叠面积等于外露面积。b是重叠面积，17、45、34

9、都是外露面积，所以有b=174534=96（平方厘米）g、等积变换：根据图形的特点，由面积与面积之间的相等关系，进行一些转化，从而使问题解决得到简便。cabd【例11】如图，由大、小两个正方形组成的图形中，小正方形的边长是6厘米，求图中阴影部分的面积是多少平方厘米？【分析与解】根据已知条件，要求阴影部分的面积是比较难的。但是，如果我们连接bd，再仔细观察三角形acd与三角形abc，不难得出它们都是以小正方形的对角线ac为底，以梯形abdc的高为高，所以三角形acd的面积=三角形abc的面积=小正方形面积的一半，所以阴影部分的面积=6×6÷2=18（平方厘米）。abddcfe

10、【例12】三角形abc的面积为60平方厘米，ae=ed，bd=bc，求阴影部分的面积是多少平方厘米？【分析与解】bc看成3份，dc就是1份，由“ae=ed”可得三角形abe的面积=三角形bde的面积。又以bd为底的三角形在图上有三角形bde和三角形bdf，所以需要连接的线有ec或df，如果连接ec，则会发现三角形aef与三角形bed的联系不大；如果连接df，则有三角形aef与三角形efd的面积相等，阴影部分的面积变变成为三角形bfd的面积。这时我们把三角形fdc的面积看作1份，三角形bdf的面积就是2份，三角形abf的面积=三角形bdf的面积，所以三角形abf的面积也为2份，三角形abc的面积

11、就被平分成了122=5（份），阴影部分的面积为：60÷5×2=24（平方厘米）。666h、构造法：就是根据已知数据的特殊性，构造出一个我们比较熟悉的图形来进行解答。这种方法在以后的学习中应用得更加广泛，在这里我们主要讲如何将直角三角形构造成正方形来计算的题型。【例13】一个等腰直角三角形的斜边长6厘米，求它的面积？【分析与解】如果我们用四个同样的等腰直角三角形就可以构造成一个正方形，这个正方形的边长就是这个三角形的斜边长度，面积是这个三角形的4倍。所求直角三角形的面积是6×6÷4=9（平方厘米）。【例14】一个直角三角形的斜边长10厘米，两直角边相差6厘

12、米，求它的面积？【分析与解】如果我们用四个同样的直角三角形就可以构造成一个空心正方形，正方形中阴影部分的面积=大正方形的面积小正方形的面积，小正方形的边长恰好是两条直角边的差，所以直角三角形的面积=（10×106×6）÷4=16（平方厘米）。abcdo12abcdo1212bai、比例法：如果两个三角形的高相等，则它们面积的比等于它们底的比；如果两个三角形的底相等，则它们面积的比等于它们高的比；如果两个长方形的宽相等，则它们面积的比就等于长的比。【例15】如图，在梯形abcd，两条对角线相交于o，下底是上底的3倍，三角形aod的面积是12平方厘米，那么梯形的面积为

13、多少平方厘米？【分析与解】在梯形abcd中，容易得出三角形aob的面积=三角形doc的面积=12平方厘米；又ao：oc=ob：od=ab：dc=1：3，12:a=3:1,a=4,12:b=1:3,b=36,则梯形的面积为：1212436=64（平方厘米）。4621x【例16】如图，长方形被两条直线分成了四个小长方形，已知其中三个长方形的面积分别是：4、6、21平方厘米，那么阴影部分的面积是多少？【分析与解】设阴影部分的面积是x平方厘米，则有4：6=x：21，则阴影部分x的面积=21×4÷6=14（平方厘米）。j、利用r2和r3代换：有解有关圆和圆柱的题目时，如果没有告诉半径

14、以及没有给出求半径的条件，直接给出图形的面积时，往往不需要求半径，只需求出r2和r3即可。【例17】如图，阴影部分的面积为20平方厘米，求圆环的面积是多少？【分析与解】圆环的面积=大圆面积小圆面积=r2r2=(r2r2);而r2所表示的意义为大正方形的面积，r2所表示的意义为小正方形的面积，(r2r2)恰好表示阴影部分的面积，所以圆环的面积=(r2r2)=3.14×20=62.8（平方厘米）。【例18】一个正方体的体积50立方厘米，一个圆柱体的底面半径、高与正方体的棱长都相等，求这个圆柱体的体积？【分析与解】设正方体的棱长为a,圆柱体的底面半径为r，高为h，则有a3=50,r=h=a

15、,v=r2h=a3=3.14×50=157（立方厘米）解法练习题12a、割补法：1、求下列图形中阴影部分的面积。（单位：厘米）图1一2图11图132420图1444图1-666图1548图1-8图1-766图1-9162 2 2图1-10小圆半径为2图1-12a b图1-1110图1-14图1-13小圆半径为3每个扇形的半径都为2图1-15每个扇形的半径都为5图1-16b、加减法：2、求下列图形中阴影部分的面积。（单位：厘米）3图2-26001068图2-164图2-41410图2-36450453图2-6106图2-5、66图2-图2-8544图2-1088图2-954图2-124

16、4图2-14abcdac=2图2-13甲乙12图2-15图2-16o1o2abab=17 o1 o2=10=450322.4图2-18224图2-17求两阴影的面积之差c、旋转法：3、求下列图形中阴影部分的面积。（单位：厘米）2949正方形图3-21010图3-1图3-34212121313图3-4d、等分法：4、下列每个正六边形的面积都是36平方厘米，求图形中阴影部分的面积。图4-2图4-1图4-35、四个相同的正六边形，每个面积都是6平方厘米，求图形中三角形的面积。6、如图所示，四个等腰直角三角形和一个正方形拼成一个长方形，已知正方形的面积是5平方厘米，求长方形的面积。7、e是长方形的中点

17、，求阴影部分的面积与长方形的面积的比。addcefabcefd8、长方形abcd的长是15厘米，宽是8厘米，e、f是中点，求阴影部分的面积。ahdgcfbe9、正方形abcd的面积是12平方厘米， e、f、g、h分别是中点，求阴影部分的面积。10、下面是两个等腰直角三角形组成的图形，求阴影部分的面积占整个图形的几分之几？e、抓不变量：adcefb11、正方形abcd的边长为5厘米，cef的面积比abe的面积大5平方厘米，求ce的长。adebfc12、已知长方形abcd，长是8厘米，宽是6厘米，阴影比阴影面积小10.5平方厘米，求线段ce的长？daecbgf13、在平行四边形bcdg中，bc长1

18、0厘米，直角三角形abc的直角边ab的长是8厘米，已知阴影部分的面积比aef的面积大10平方厘米。求bf的长？14、已知半圆的半径是4，阴影部分比阴影部分面积大4.44平方厘米，求bc的长？cba15、如图三角形abc与三角形def是两个完全一样的三角形，已知ab=12，be=5，dg=4，求阴影部分的面积？adbegcfoecbad甲乙16、如图，ob把半径为6厘米，圆心角为900的扇形分成两部分，扇形obc的面积是扇形oab面积的2倍。odbe是长方形，那么图中甲的面积比乙的面积大多少？f、“一半”的应用：17、已知长方形的长为8厘米，宽为6厘米，求阴影部分的面积？6818、已知平行四边形

19、被分为4个三角形，已知其中3个三角形有面积分别为11、30、43平方厘米，那么阴影部分的面积为多少平方厘米？11433019、如图所示，已知平行四边形中的3个三角形的面积分别为7、2、9平方厘米，那么阴影部分的面积为多少平方厘米？972720、如图所示，已知正方形图中的五块面积分别为65、20、50、15、70平方厘米，那么阴影部分的面积为多少平方厘米？652050157021、在平行四边形abcd中，三角形abp的面积为15，三角形pbc的面积为34，那么阴影部分的面积为多少平方厘米？abdpc22、abcd是正方形，edgf是长方形，cd=4厘米，dg=5厘米，求宽de=？badgcef2

20、3、在长方形abcd中，三角形abp的面积为12，三角形pbc的面积为21，那么阴影部分的面积为多少平方厘米？ abcdp24、平行四边形abcd中，被两条直线分成四个平行四边形，已知平行四边形pfbg=26平方厘米，平行四边形dhpe=16平方厘米，那么阴影部分的面积为多少平方厘米？ adhcfbgep25、正方形外面有a、b两点，图形内所标数据分别为各小三角形的面积，那么阴影部分的面积为多少平方厘米？ 320.80.51.50.6ab26、如图，abcd为平行四边形，三角形dce的面积是97平方厘米，那么阴影部分的面积为多少平方厘米？adcfbeagbfecd27、如图，在四边形abcd中

21、，dcfg为正方形，adeb为梯形，de=30厘米，dg=24厘米，ab=39厘米，求梯形abed的面积？21%8728、如图，长方形被分成四个小三角形，其中一个三角形占长方形面积的21%，另一个面积为87平方厘米，求长方形的面积？abcde29、在四边形abcd中，ab=bc=10厘米，be=8厘米，求ad的长？abfcde30、在正方形abcd中，ab=8厘米，af=10厘米，求de的长？abcdfe绿色红色黄色31、bd、cf将长方形abcd分成4块，红色三角形面积是4平方厘米，黄色三角形面积是6平方厘米，绿色四边形的面积是多少平方厘米？abecdf32、aed和bfc是两个相等的等腰直

22、角三角形，面积都是2003平方厘米，求平行四边形abcd的面积？33、ae：ed=9：5，bf：fc=7：4。比较红色与蓝色面积的大小。红蓝abfcde红蓝g、等积变换： abdcfe34、三角形abc的面积为1，ae=ed，bd=bc，求阴影部分的面积。abdcfe35、如图所示，bd=bc，ae=ed，若三角形abc的面积是14平方厘米，求阴影部分的面积。abdcef36、三角形abc的面积是40平方厘米，ae=ed，dc=2db，则阴影部分的面积是多少平方厘米？abcdef37、三角形abc的面积是12平方厘米， ec=2ae，f是中点，则阴影部分的面积是多少平方厘米？38、由大小两个正

23、方形组成的图形中，小正方形的边长是6厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？39、由大小两个正方形的边长分别是10厘米、6厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？habcdefg1240、已知长方形的长是15厘米，宽是8厘米，四边形efgh的面积是12平方厘米，求空白部分的面积？41、已知长方形的长是8厘米，宽是6厘米，四边形efgh的面积是3平方厘米，求阴影部分的面积？abcdefghh、构造法：42、如图，求四边形的面积是多少？（单位：厘米）4507343、一个等腰直角三角形的斜边长6厘米，求它的面积？44、一个正方形的对角线长5厘米，求这个正方形的面积。45、一个直角三角形的斜边长是10厘米

24、，两直角边的差是3厘米，求这个直角三角形的面积？46、一个直角三角形的斜边长是15厘米，两直角边的差是4厘米，求这个直角三角形的面积？47、如图，小正方形的边长是3厘米，大正方形的边长是5厘米，求阴影部分的面积是多少？i、比例法： 48、四边形的两条对角线，将四边形分为四个小三角形，已知其中三个三角形的面积分别是15平方米、75平方米、65平方米，求阴影部分的面积？15756549、一个长方形被两条直线分成四个长方形，其中三个的面积分别是20平方米、25平方米、30平方米，求阴影部分的面积？2520301245350、一个长方形被四条直线分成九个长方形，其中五个的面积分别是1、2、3、4、5平方厘米，求阴影部分的面积？51、如图所示，图形内所标数据分别为各小长方形的面积，那么大长方形的面积是多少？361620301252、如图所示，已知梯形中的两个小三角形的面积为3、9平方厘米，那么梯形的面积是多少？39abcde2053、如图所示，已知梯形abcd中，三角形cde的面积为20平方厘米，ae：ed=