概率论与数理统计74

1、第四节第四节 区间估计区间估计一、区间估计的基本概念一、区间估计的基本概念二、典型例题二、典型例题三、小结三、小结一、区间估计的基本概念一、区间估计的基本概念1. 置信区间的定义置信区间的定义,1),(),( ),(),(, 1),(0 ,);(2121212121 nnnnnxxxxxxpxxxxxxxxxxfx满足满足和和确定的两个统计量确定的两个统计量若由样本若由样本对于给定值对于给定值数数含有一个未知参含有一个未知参的分布函数的分布函数设总体设总体.1 ,1 ,1) ,(为置信度为置信度的置信下限和置信上限的置信下限和置信上限的双侧置信区间的双侧置信区间分别称为置信度为分别称为置信度为

2、和和间间的置信区的置信区的置信度为的置信度为是是则称随机区间则称随机区间 关于定义的说明关于定义的说明.) ,( , , , 是随机的是随机的而区间而区间没有随机性没有随机性但它是一个常数但它是一个常数虽然未知虽然未知被估计的参数被估计的参数 : 1),(),(2121的本质是的本质是因此定义中下表达式因此定义中下表达式 nnxxxxxxp). ,(1 ,1 ) ,( 的概率落入随机区间的概率落入随机区间以以而不能说参数而不能说参数的真值的真值的概率包含着参数的概率包含着参数以以随机区间随机区间 : 1),(),(2121还可以描述为还可以描述为另外定义中的表达式另外定义中的表达式 nnxxx

3、xxxp若反复抽样多次若反复抽样多次(各次得到的样本容量相等各次得到的样本容量相等,都是都是n) ), ,( 间间每个样本值确定一个区每个样本值确定一个区按按伯努利大数定理伯努利大数定理, 在这样多的区间中在这样多的区间中, .%100 ,)%1(100 不不包包含含的的约约占占真真值值的的约约占占包包含含 , 的的真真值值的的真真值值或或不不包包含含每每个个这这样样的的区区间间或或包包含含 例如例如 , 1000 0.01, 次次反复抽样反复抽样若若 .10 1000 个个真值的约为真值的约为个区间中不包含个区间中不包含则得到的则得到的 2. 求置信区间的一般步骤求置信区间的一般步骤( (共

4、共3步步) ). )(,);,(:, )1(2121 包括包括数数且不依赖于任何未知参且不依赖于任何未知参的分布已知的分布已知并且并且其中仅包含待估参数其中仅包含待估参数的函数的函数寻求一个样本寻求一个样本zxxxzzxxxnn .1);,( ,1 )2(21 bxxxzapban使使出两个常数出两个常数定定对于给定的置信度对于给定的置信度. 1 ),( ,),(, ),( , );,( )3(212121的置信区间的置信区间的一个置信度为的一个置信度为是是就就那么那么都是统计量都是统计量其中其中不等式不等式得到等价的得到等价的若能从若能从 nnnxxxxxxbxxxza.,1,区间估计精度降

5、低区间估计精度降低可信程度增大可信程度增大间长度增大间长度增大置信区置信区增大增大置信水平置信水平固定固定样本容量样本容量 n.,1区间估计精度提高区间估计精度提高可信程度不变可信程度不变间长度减小间长度减小置信区置信区增大增大样本容量样本容量固定固定置信水平置信水平n 单击图形播放单击图形播放/ /暂停暂停escesc键退出键退出单击图形播放单击图形播放/ /暂停暂停escesc键退出键退出二、典型例题二、典型例题.1,),( ,)0(, 021的置信区间的置信区间的置信水平为的置信水平为求求给定给定的样本的样本是来自总体是来自总体未知未知其中其中上服从均匀分布上服从均匀分布在在设总体设总体

6、 xxxxxn解解, ,max 21nhxxxx 令令由上节例由上节例4可知可知, ,1的无偏估计的无偏估计是是 hxnn 的概率密度为的概率密度为因为因为hx ., 0,0,)(1其他其他 xnxxfnn例例1, hxz ., 0, 10,)(1其他其他znzzgn其概率密度为其概率密度为 , )10(, baba可定出两个常数可定出两个常数对于给定的对于给定的 ,1 bxaph满足条件满足条件,d1 1nnbanabznz 即即,1 axbxphh.,为置信区间为置信区间 axbxhh 的随机变量的随机变量考察包括待估参数考察包括待估参数 解解.1 , , , ),(,2221的置信区间的

7、置信区间为为的置信水平的置信水平求求为未知为未知为已知为已知其中其中的样本的样本是来自正态总体是来自正态总体设设 nxxxn , 的无偏估计的无偏估计是是因为因为 x),1 , 0(/ nnxu 且且 ,)1 , 0(/数的数的是不依赖于任何未知参是不依赖于任何未知参nnx 例例2 ,1/2/ znxp,1 2/2/ znxznxp即即 分位点的定义知分位点的定义知由标准正态分布的上由标准正态分布的上 ., 1 2/2/ znxznx的置信区间的置信区间的一个置信水平为的一个置信水平为于是得于是得这样的置信区间常写成这样的置信区间常写成.2/ znx其置信区间的长度为其置信区间的长度为. 22

8、/ zn ,05. 0 , 1 ,16 2 n中取中取如果在例如果在例,96. 1 025. 02/ zz 查表可得查表可得.1.961610.95 x的置信区间的置信区间得一个置信水平为得一个置信水平为由一个样本值算得样本均值的观察值由一个样本值算得样本均值的观察值,20. 5 x则置信区间为则置信区间为),49. 020. 5( ).69. 5,71. 4(即即 .1 :的置信区间是不唯一的的置信区间是不唯一的置信水平为置信水平为注意注意 ,05. 0 2 中如果给定中如果给定在例在例 ,95. 0/ 01. 004. 0 znxzp 则又有则又有,95. 0 04. 001. 0 znx

9、znxp 即即 .0.95, 04. 001. 0的置信区间的置信区间为为的置信水平的置信水平也是也是故故 znxznx其置信区间的长度为其置信区间的长度为. )(01. 004. 0zzn 比较两个置信区间的长度比较两个置信区间的长度, 4.08)(01. 004. 02nzznl ,3.922025. 01nznl . 21ll 显然显然置信区间短表示估计的精度高置信区间短表示估计的精度高.说明说明: 对于概率密度的图形是单峰且关于纵坐标对于概率密度的图形是单峰且关于纵坐标轴对称的情况轴对称的情况, 易证取易证取a和和b关于原点对称时关于原点对称时,能使能使置信区间长度最小置信区间长度最小

10、.今抽今抽9件测量其长度件测量其长度, 得数据如下得数据如下(单位单位:mm): 142, 138, 150, 165, 156, 148, 132, 135, 160. 解解, 1 22/2/ znxznx的置信区间的置信区间的置信度为的置信度为得得根据例根据例,333.147,96. 1,05. 0, 4, 9025. 0知知由由 xzn 149.946). (144.720, 0.95的置信区间为的置信区间为的置信度为的置信度为 ),16,( nx 服从正态分布服从正态分布设某工件的长度设某工件的长度. 95 的置信区间的置信区间的置信水平为的置信水平为试求参数试求参数 例例3三、小结三、小结 点估计不能反映估