导数知识点总结及例题讲解

1、高二数学复习讲义导数及其应用知识归纳1导数的概念4两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和 ( 或差 ) 的导数 , 等于这两个函数 y=f(x),如果自变量 x在 x0 处有增量x ，那么函数 y 相应地有增量 y =f（x 0+ x ）f （x），比值y（x）在 x叫做函数 y=f0x0到 x 0+ x之间的平均变化率，即y = f (x0x)f (x0 )。如果当 x0 时，xx处y 有极限，我们就说函数 y=f(x)在点 xx0f （x）在点 x可导，并把这个极限叫做0 处的导数，记作 f （ x0）或 y|xx0。即 f （x）= limylim f (x0x)f (x0

2、) 。=0x 0x x0x说明：（1）函数 f （x）在点 x 0处可导，是指yyx 0 时，x 有极限。如果x 不存在极限，就说函数在点x0 处不可导，或说无导数。（ 2） x是自变量x在 x0 处的改变量，x0时，而 y 是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数 y=f （x）在点 x0 处的导数的步骤：（ 1）求函数的增量 y =f （x 0 + x ） f （ x 0 ）；函数的导数的和 ( 或差 ) ，即： (uv)'u 'v' .法则 2 ：两个函数的积的导数 , 等于第一个函数的导数乘以第二个函数 , 加上第一个函 数乘以第二个函数的导数，即：

3、(uv)'u ' vuv' .若 C 为常数 ,(Cu )'C 'uCu '0Cu 'Cu ' .即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：(Cu)'Cu ' .法则 3 ：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的uu' vuv'积再除以分母的平方： =vv 2（ v 0 ）。形如 y=f(x )的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解求导回代。法xx（2）求平均变化率y f (xx) f (x)=00；xx（3）取极限，得导数f (x 0y)= lim。2导数的几

4、何意义x 0 x函数 y=f （ x）在点 x0 处的导数的几何意义是曲线 y=f （ x）在点 p （ x 0， f （ x 0 ）处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x）在点 p（x 0 ，f （ x 0）处的切线的斜率是f （ x 0）。/相应地，切线方程为 y y 0 =f（x 0）（ x x 0 ）。3几种常见函数的导数 : C0; x nnxn 1;(sinx )cosx; (cosx )sin x ; (e x ) ex ; ( a x ) a x ln a ; ln x1; l o g ax1 loga e .则： y| X = y | U·u | X5. 单调区

5、间： 一般地，设函数yf (x) 在某个区间可导，如果f '(x)0，则 f (x)为增函数；如果 f ' (x) 0，则 f(x)为减函数；如果在某区间内恒有f '(x)0，则 f (x)为常数；6. 极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0 ，极值点处的导数为0 ；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；7最值 ：一般地，在区间 a ，b 上连续的函数f(x) 在a ，b 上必有最大值与最小值。求函数 ? (x) 在(a ， b) 内的极值；求函数 ? (x) 在区间端点的值 ?(a) 、?(b) ；将函数 ?(x)

6、的各极值与 ?(a) 、?(b) 比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。高考题型解 ： y/( x a) ( 3 x 2a ，b) 由 y/0 得1. 导数定义的应用例 1 ( 北京高考）如图，函数f ( x) 的图象是2aba 时， y 取极大值x a , x，当 x3b折线段 ABC ，其中 A， B，C 的坐标分别为2a0 ，当 x时 y 取极小值且极小值为(0，4)，(2，0)，(6，4)，3负故选C或当 xb 时 y0 ，当 x b 时，lim f 1xf 1_x 0xy A4C321BO123456x解：由图可知 fx2x 4 0 x 2，根据导数的定义x 22x3知 li

7、m f 1xf 1f12 x 0x例 (重庆高考)已知函数y0选 C点评 : 通过导数研究函数图像的变化规律 , 也是考试的热点题型 .3. 利用导数解决函数的单调性问题例5（全国高考）已知函数f ( x )x 3ax 2x1， aR （）讨论函数f ( x) 的单调区间；（）设函数f ( x) 在区间21，内是减函33数，求 a 的取值范围f xx2bxc e x , 其中 b, cR ，（）略，解：（1）f(x )x 3ax2x1求导得（）若 b24 c1 , 且 lim fx c4 ，试证：6b2 x0x2f ( x )3 x2a x 1解 ：2b2 xbx， 易 知c e当 2时，在

8、上f 0c 故0fxcfxf0，a3f ( x)0f ( x)R递增；xx0x 0x0当，求得两根为bc4,2所以解得 6 b 2 a3f ( x) 0b24 c1 ,aa23 ，2. 利用导数研究函数的图像x3例 3（ 安 徽 高 考 ） 设 a b, 函 数aa232即f (x)在递 增 ，y (xa)( x的 b)图像可能是3aa 23，aa23递减，33aa23，递增。3（2）因为函数f ( x) 在区间2 ， 1 内是减3321函数，所以当 x，时 f x0 恒成33f203立，结合二次函数的图像可知解13得 a 2 点评：函数在某区间上单调转化为导函数fx 0 或 f x 0 在区

9、间上恒成立问题，是解决这类问题的通法本题也可以由函数aa 23a a23在3，3上递减，所以aa23233求解aa23133【变式1】（全国高考）若函数11f x3 x32 ax2a1 x 1 在区间 1,4上是减函数，在区间6,上是增函数，求实数 a 的取值范围解： f xx2axa 1 ，令 f x0 得x 1 或 xa1，结合图像知 4 a 16 ，故 a 5,7 点评：本题也可转化为fx0， x1,4 恒成立且 fx0， x6,恒成立来解【变式2】（浙江高考）已知函数f ( x ) x 3(1 a ) x 2a ( a 2)x b( a, bR) 若函数 f ( x) 在区间 (1,1

10、) 上不单调，求 a 的取值范围解：函数 f (x) 在区间 ( 1,1)不单调，等价于f x 0( 1,1)根在区间上有实数解，且无重2 1a xa a2又2，由f x0 ，得 x1a2a, x23。从而1a1,1a 21,a2或3解 得a2a3,.1a1,5a 1,3a1,或 a1,2211所以 a 的取值范围是5,1 .22点评：这种逆向设问方式是今后高考命题的一种趋势，充分体现高考“能力立意”的思想，高考中应高度重视。（4）利用导数的几何意义研究曲线的切线问题例 6（江西高考）若存在过点(1, 0)的直线与曲线 yx3 和 yax 2159都相切，则 a 等4 x于A 1或 -25B

11、1或21C 7或-64D7 或 74254644解：设过 ( 1, 0 )的直线与 yx3相切于点( x , x 3 )，所以切线方程00为y x0 33 x0 2 ( x x0 )即 y3 x02 x2x03 ，又 (1, 0) 在切线上，则x00 或 x032 ，ax 2当 x00 时，由 y0与 y15254 x9相切可得 a64，x32727当2 时，由y4 x 4与0y ax2151 ，4 x 9 相切可得 a所以选A .点评：函数的切线问题，切点是关键，因为它是联结曲线和其切线的“桥梁”，在做题中往往需要设出切点【变式】（辽宁高考）设P 为曲线C ：yx 22 x3 上的点，且曲线

12、C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为0，则点 P 横坐4标的取值范围为（）A1， 1B1，0212解：由曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为0，可得曲线 C 在点 P 处切线的斜40 1y2x2P率范围为，又，设点的横坐标 为 x0， 则 02x02 1，解得1x012，故选 A5. 利用导数求函数的极值与最值例 7 （天津高考）已知函数f ( x )x 4ax 32x 2b （ xR ），其 中a, bR 若函数 f ( x) 仅在 x0 处有极值，求 a 的取值范围解：f( x )x (4 x 23ax4) ，显然x0 不是方程4 x 23ax40 的根为 使f ( x) 仅 在

13、 x0处有极值，必须4 x 23ax40 成立，即有9a2640 883 这时， f (0)b 是解不等式，得3a唯一极值因此满足条件的a 的取值范围是883,36. 利用导数解决实际问题例 8 用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？解：设长方体的宽为 x（m），则长为 2x (m) ，高为h1812x4.53x(m)30x.42故长方体的体积为22333V x 2x4.5 3x9x6xm0x2从而 V(x) 18x18x 2(4.5 3x)18x(1x).令 V' x0 ，解得

14、 x0（舍去）或x1，因此 x1.3当 0x1 时， V ' x0；当 1x2 时，V ' x0 ，故在 x1 处 V x 取得极大值，并且这个极大值就是Vx 的最大值，从而最大体积 VV ' x912613m3，此时长方体的长为 2 m ，高为 1.5 m导数及其应用 基础训练 A组一、选择题1若函数 yf ( x) 在区间 ( a , b) 内可导，且 x0 ( a, b) 则 limf ( x0h ) f ( x0 h)Bh0h的值为（）A f ' ( x )B 2 f ' ( x )C 2 f ' ( x )D 0000lim f (x0h )f (x0h)lim 2 f (x0h ) f (x0h) h 0hh02h2lim f (x0h )f (x0h)2 f ' (x )h02h0t 2 其中 s 的单位是米， t 的单位是秒，2一个物体的运动方程为 s 1 t那么物体在3秒末的瞬时速度是（ C）A 7 米/秒B 6 米/秒C 5 米/秒D 8 米/秒s ' (t ) 2t1, s'(3)23153函数 y = x 3 + x 的递增区间是（ C ）A (0,)B (,1)C( ,)D (1,)y ' = 3x2 + 1> 0 对于任何实数都恒成立4 f (x ) ax 3