数理方程与特殊函数5齐次弦振动方程的分离变量法

1、数学物理方程第三章1 齐次波动方程分离变量法齐次波动方程分离变量法固有值和固有函数固有值和固有函数fourier级数回顾级数回顾波动方程的波动方程的fourier解解0,sin0, 0)0,0(,000 tttxxxxttuxuuutxuu 引例引例 有界弦的振动问题有界弦的振动问题u(x, t) = cos t sin x2/16解解 u = f(x + t ) + g(x t )xxgxfsin)()( 0)()( xgxfxxgxfsin)()( cxgxf )()(2f(x) = sin x + c2g(x) = sin x c )sin()sin(21txtxu )(),(0, 0)

2、0,0( ,0002xuxuuutlxuautttlxxxxtt 齐次波动方程分离变量方法齐次波动方程分离变量方法)(),(xx 其中其中是已知函数是已知函数设问题的解设问题的解 u( x, t )可以按自变量分离可以按自变量分离u( x, t )=t(t)x(x)将将 utt = t”x, uxx = t x” 代入波动方程代入波动方程3/16utt = a2 uxxt”(t) x(x) = a2t(t) x”(x)xxtat 2 xxtat20 xx 02 tat 常微分方程常微分方程边界条件边界条件:固有值问题固有值问题: 0)(, 0)0(0, 0lxxlxxx x(0) = 0x(l

3、) = 0t(t)x(0)=0t(t)x(l)=04/160 0 0 分三种情形分三种情形: (1) ; (2) ; (3)解解 的二次方程的二次方程:02 1 2(1)通解通解:xxbeaex 0 lleea a = b = 0时固有值问题只有零解时固有值问题只有零解0 x(0) = 0x(l) = 0边界条件边界条件:0 ba0 llbeae 5/16(2) 0)(, 0)0(0, 0lxxlxxx 0 通解通解: x(x) = ax + bx(0) = 0x(l) = 0b = 0a l + b = 0a = b = 00 时特征值问题只有零解时特征值问题只有零解(3)0 02 i 1

4、i 26/16 0)(, 0)0(0, 0lxxlxxx 0 通解通解: :xbxaxx sincos)( x(0) = 0x(l) = 0a = 00sin lb 0sin l nl ( n=1,2, )xlnbxxnn sin)( 222lnn 7/1602 tatn 222lnn 代入方程代入方程latndlatncttnnn sincos)( 通解通解:弦振动方程的基本解弦振动方程的基本解: 1sin)sincos(),(nnnlxnlatndlatnctxu un(x, t) = tn(t) xn(x)lxnlatndlatncnn sin)sincos( 8/16 otherxxx

5、, 07/4 , 7/3,7sin)( 0),(0, 0)0, 10( ,0010tttxxxxttuxuuutxuu 1)sin()0 ,(nnxncxu 1)sin()sin()cos(),(nnnxntndtnctxu 9/16例例1 1)sin()()0 ,(nntxndnxu )()sin(1xxncnn dn = 0 10)sin()(2dxxnxcn 7/47/3)7cos()7cos(dxxnxn fourier级数级数: 设设 f(x) 在区间在区间 连续连续, 10sincos2)(nnnnxbnxaaxf dxnxxfbnxdxxfann sin)(1cos)(1设设 f

6、(x) 在在 上连续上连续 (奇延拓奇延拓), 0 1sin)(nnnxbxfdxnxxfbn 0sin)(210/16设设 f(x) 在在 0, l上有定义上有定义(奇延拓奇延拓) 1sin)(nnnzbzf 1sin)(nnxlnbxf 0sin)(2nzdzzfbn lndxlxnxflb0sin)(2 xlz , 0, 0 l)()(zlfzf 11/16 1sin)sincos(),(nnnlxnlatndlatnctxu 波动方程初始条件波动方程初始条件)()0 ,(xxu )()0 ,(xxut 1sin)(nnlxncx 1sin)(nnlxnlandx dlnlclnsin)

7、(20 dlnlanldlnsin)(20 12/16 1sin)sincos(),(nnnlxnlatndlatnctxu 方程的方程的fourier解解 dlnlclnsin)(20 dlnandlnsin)(20 xuxuuutlxuautttlxxxxtt 0002,0, 00,0,结论结论:13/16 0,1000)10(0, 00,100,001002tttxxxxttuxxuuutxuau例例3 设设 a2=10000解解: dlnlclnsin)(20 dn10sin)10(50001100 )1(cos10250001333 nn)cos1(5233 nn 3354 n ( n为奇数为奇数)14/16 1sin)sincos(),(nnnlxnlatndlatnctxu 1sincosnnlxnlatnc 03310)12(sin)12(10cos)12(54kxktkk 15/16习题习题3.1 3.1 （p.56p.56） 2(1), 2(1,3)2(1), 2(1,3) 思考题思考题1. 偏微分方程分离变量法与常微分方程分离变量法偏微分方程分离变量法与常微分方程分离变量法有何不同？有何不同？2. 比较固有值问题