初二因式分解竞赛例题精选及练习题

1、初二因式分解竞赛例题精选及练习题一、提公因式法 .二、运用公式法.三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例 1、分解因式： am an bm bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有 a，后两项都含有 b，因此可以考虑将前两项分为一组， 后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式 = (aman )(bmbn)=a(mn)b(mn)每组之间还有公因式！= (m n)(a b)思考：此题还可以怎样分组？此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。例 2、分解因

2、式： 2ax 10ay 5by bx解法一：第一、二项为一组；第三、四项为一组。解法二：第一、四项为一组；第二、三项为一组。解：原式 = (2ax10ay)(5bybx )原式 =( 2axbx)(10ay5by )=2a(x5 y)b(x5 y)=x(2ab)5 y(2ab)=( x5y)(2ab)=(2ab)( x5 y)练习：分解因式1、 a 2abacbc2、xyxy1（二）分组后能直接运用公式例 3、分解因式： x 2 y 2 ax ay分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式 = ( x2y 2 )( ax

3、ay)=( xy)( xy)a( xy)=( xy)( xya)例 4、分解因式： a 22abb2c2解：原式 = (a22abb 2 )c 2=(ab) 2c2=(abc)( abc)注意这两个例题的区别！练习：分解因式3、 x 2x9 y 23y4、 x2y 2z22 yz综合练习：（1） x3x 2 yxy 2y3（2） ax 2bx 2bxaxab（3）x26xy9y21628 1（ ）a26ab12b9b24aaa4（5）42329（ ）2222aa a6 4a x 4a y b x b y（7）x22 xyxzyzy2（ ）a22ab22b2ab18（9） y( y2)(m1)(

4、 m1)（10） ( a c)(a c) b(b 2a)（11） a 2 (bc)b2 ( ac)c 2 (ab)2abc （）a3b3c33abc12四、十字相乘法 .（一）二次项系数为1 的二次三项式直接利用公式x2(p)pq(xp)()进行分解。q xx q特点：（ 1）二次项系数是1；（ 2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。例 5、分解因式： x 25x6分析：将 6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由于 6=2×3=(-2) × (-3)=1 × 6=(-1) ×(-6) ，从中可以发现只有2× 3

5、 的分解适合，即 2+3=5。12解： x25x6 = x2( 2 3) x 2 313=( x2)( x3)1× 2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例 6、分解因式： x 27 x6解：原式 = x 2(1)(6) x(1)(6)1-1= (x 1)( x6)1-6（-1 ）+（-6 ）= -7练习 5、分解因式 (1)x 214x24(2) a 215a 36(3)x 24 x5练习 6、分解因式 (1)x 2x2(2)y 22y15(3)x210 x24（二）二次项系数不为1 的二次三项式 ax

6、2bx c条件：（ 1） aa1a2a1c1（2） c c1c2a2c2（3） b a1 c2a2c1b a1c2 a2 c1分解结果： ax 2bxc =( a1 x c1 )( a2 x c2 )例 7、分解因式： 3x2 11x 10分析：1 -23-5（-6 ）+（-5 ）= -11解： 3x211x 10 =( x2)(3x5)练习 7、分解因式：（1）5x27x6（ ）27x223x（3）10x217x3（ ）211y1046 y（三）二次项系数为1 的齐次多项式例 8、分解因式： a 2 8ab 128b2分析：将 b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法

7、进行分解。18b1 -16b8b+(-16b)= -8b解： a 28ab128b 2 = a2 8b(16b)a8b(16b)=(a 8b)(a16b)练习 8、分解因式 (1)x 23xy2 y 2 (2) m26mn8n 2 (3)a 2ab6b2（四）二次项系数不为1 的齐次多项式例 9、 2 x27 xy6 y 2例 10、 x 2 y 23xy21-2y把 xy 看作一个整体 1-12-3y1-2(-3y)+(-4y)= -7y(-1)+(-2)= -3解：原式 = ( x 2y)( 2x3y)解：原式 =( xy1)( xy2)练习 9、分解因式：（1）15x27xy4 y2（

8、）2x26ax82a综合练习 10、（1） 8x67 x31（2） 12x211xy 15y 2（3） (xy) 23(xy) 10（ ）(ab)24a4b34（5） x2 y 25x 2 y 6x 2（6） m 24mn 4n23m 6n 2（7）x24xy4y22 4y3 （ ）5(ab)223( a22)10(a b)2x8b（9） 4x24xy6x3y210（ ）12( xy)211( x2y2) 2(xy)2y10思考：分解因式： abcx2( a2 b2c2 ) xabc五、主元法 .例 11、分解因式： x23xy10y2x9y25-2解法一：以 x 为主元2-1解：原式 = x

9、 2x(3 y1)(10y 29 y2)(-5)+(-4)= -9=x 2x(3y1)(5 y2)( 2 y1)1-(5y-2)= x(5 y2) x(2 y1)1(2y-1)=( x 5y 2)( x2 y1)-(5y-2)+(2y-1)= -(3y-1)解法二：以 y 为主元1-1解：原式 = 10y2(3x9)(x2x2)12y=10y2(39)y(x2x2)-1+2=1x=10y2(39)y(x1)(x2)2(x-1)x= 2 y( x1) 5 y( x2)5-(x+2)=(2 yx1)(5 yx2)5(x-1)-2( x+2)=(3 x-9)练习 11、分解因式 (1)x 2y 24

10、x6 y5(2)x 2xy2 y2x7 y6(3)x2xy6y 2x13y6(4)a 2ab6b 25a35b36六、双十字相乘法。定义：双十字相乘法用于对Ax 2BxyCy2DxEyF 型多项式的分解因式。条件：（ 1） Aa1a2 ， Cc1c2 ， Ff1 f 2（2） a1c2 a2c1B ， c1 f 2c2 f 1E ， a1 f 2 a2 f1 D即：a1c1f 1a2c2f 2a1c2a2c1B ， c1 f 2c2 f1E ， a1 f 2a2 f1D则 Ax2BxyCy 2DxEyF(a1 xc1 yf1 )( a2 x c2 f 2 )例 12、分解因式（ 1）x23xy

11、10y2x9y2（2）x2xy6y2x136y解：（1） x23xy10 y2x9 y2应用双十字相乘法：x5y2x2 y12xy 5xy3xy ，5 y4y9 y ， x 2xx原式 = (x5 y2)(x2 y1)（ 2）x2xy6y2x13 6y应用双十字相乘法：x2y3x3 y23xy 2xyxy ， 4y9 y13y，2x3xx原式 = (x2 y 3)( x3y2)练习 12、分解因式（ 1） x 2xy2 y 2x7y 6（2） 6x 27xy3 y 2xz7 yz 2z2七、换元法。例 13、分解因式（ 1） 2005x2(200521)x2005（ 2） (x 1)(x2)(

12、 x3)( x6) x2解：（1）设 2005=a ，则原式 =ax 2(a 21) xa=(ax1)( xa)=(2005x 1)( x 2005)（2）型如 abcde 的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式 = (x 27x6)( x25x6)x2设 x25x6 A ，则 x27x 6 A 2x原式 =(A2x) A x 2 = A 22Axx 2=( A x) 2 = ( x26x 6) 2练习 13、分解因式（ 1） ( x 2xyy 2 ) 24xy(x 2y 2 )（2） (x232)(4 28x3) 90（）(a21)2(a25)24(a23)2xx3例 14、分

13、解因式（ 1） 2 x4x36 x2x2观察：此多项式的特点是关于 x 的降幂排列，每一项的次数依次少 1，并且系数成“轴对称” 。这种多项式属于“等距离多项式” 。方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。解：原式 =x2( 2x2x611)= x22( x21( x16xx2x2 )11x设 xt ，则 x2t 22xx2原式 = x 2 2（ t 22)t6= x 2 2t 2t10=x225t2= x22x25x12txx=·2··12= 2x25x 2 x22x 1x 2 xx5 x xx=(x1) 2 (2x1)( x2)（2） x44

14、x 3x 24x 1解：原式 =x2x24x141= x2x214 x11xx 2x2x设 x1y ，则 x 21y 22xx2原式 = x 2y 24y3 = x2y1y3=x2 ( x11)( x13) = x 2x 1 x 23x 1xx练习 14、（1）647336276（）4322xxxx2xx 1 2( x x )2 x八、添项、拆项、配方法。例 15、分解因式（ 1） x 33x 24解法 1拆项。解法 2添项。原式 = x31 3x 23原式 = x33x24x 4 x 4= (x1)( x2x1)3(x1)( x1)=x( x23x4)(4x4)= (x1)( x 2x1 3

15、x3)=x( x 1)( x 4) 4( x 1)= (x1)( x24x4)=( x 1)( x 24x 4)=(x1)( x2) 2=(x1)( x2) 2（2） x9x 6x33解：原式 = ( x91)( x61)( x31)= (x31)( x 6x31) ( x31)( x31) ( x31)= (x31)( x6x31x 31 1)= (x1)( x2x1)(x 62x33)练习 15、分解因式（ 1）398（ ）4224xx2(x1)( x 1)( x1)（3） x47 x21（4） x4x22ax1a 2（5） x4y 4( xy)4（6） 2a 2b22a2 c22b2 c

16、 2a 4b 4c 4九、待定系数法。例16、分解因式 x 2xy 6y 2x13y6分析：原式的前 3项 x 2xy6y 2可 以 分 为 (x3y)( x 2 y)，则原多项式必定可分为( x3y m)( x2 yn)解：设 x2xy6y 2x13y6=( x3ym)( x2 yn) (x 3ym)( x2 yn)= x 2xy 6 y 2(mn) x(3n2m) ymnx2xy6y2x136= x2xy6 y2(mn)x(3n2m) ymnymn113 ，解得 m2对比左右两边相同项的系数可得3n 2mmn6n3原式 = (x3y 2)( x2 y3)例 17、（1）当 m 为何值时，多

17、项式 x2y 2mx5y 6 能分解因式，并分解此多项式。（2）如果 x3ax 2bx8 有两个因式为 x1和 x2，求 ab 的值。（1）分析：前两项可以分解为(xy)( xy) ，故此多项式分解的形式必为 ( x y a)( x y b)解：设 x2y 2mx5 y6=( xya)( xy b)则 x2y 2mx5 y6 = x2y 2(a b) x (b a) y ababma2a2比较对应的系数可得：ba5 ，解得： b3 或 b3ab6m1m1当 m1时，原多项式可以分解；当 m1时，原式 =( xy2)( xy3) ；当 m1时，原式 =( xy2)( x y3)（2）分析： x3 ax 2bx8 是一个三次式，所以它应该