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文档简介

1、第一次数学危机起源毕达哥拉斯的数是指， 他们在数学上的一项重大发现是证明了勾股定理。 他们知道满足直角三角形三边长的一般公式， 但由此也发现了一些直角三角形的三边比不能用整数来表达， 也就是勾长或股长与弦长是不可通约的。 这样一来， 就否定了毕达哥拉斯学派的信条：宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。不可通约性的发现引起第一次数学危机。 有人说，这种性质是希帕索斯约在公元前 400 年发现的， 为此，他的同伴把他抛进大海。不过更有可能是毕达哥拉斯已经知道这种事实， 而希帕索斯因泄密而被处死。 不管怎样， 这个发现对古希腊的数学观点有极大的冲击。这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能

2、完全由整数及其比来表示，反之数却可以由几何量表示出来。整数的尊崇地位受到挑战， 于是几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。同时这也反映出， 直觉和经验不一定靠得住， 而推理证明才是可靠的。从此希腊人开始由“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系， 这不能不说是数学思想上一次巨大革命，这也是第一次数学危机的自然产物。解决无理数的发现，引起了第一次数学危机。首先，对于全部依靠整数的毕氏哲学，这是一次致命的打击。其次，无理数看来与常识似乎相矛盾。 在几何上的对应情况同样也是令人惊讶的， 因为与直观相反，存在不可通约的线段， 即没有公共的量度单位的线段。由于毕氏学派关于比例定义假定了任何两

3、个同类量是可通约的，所以毕氏学派比例理论中的所有命题都局限在可通约的量上， 这样，他们的关于相似形的一般理论也失效了。“逻辑上的矛盾”是如此之大，以致于有一段时间，他们费了很大的精力将此事保密， 不准外传。 但是人们很快发现不可通约性并不是罕见的现象。 泰奥多勒斯指出， 面积等于 3、5、6、17 的正方形的边与单位正方形的边也不可通约，并对每一种情况都单独予以了证明。 随着时间的推移， 无理数的存在逐渐成为人所共知的事实。诱发第一次数学危机的一个间接因素是之后 “芝诺悖论” 的出现，它更增加了数学家们的担忧： 数学作为一门精确的科学是否还有可能？宇宙的和谐性是否还存在？在大约公元前370 年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。 他的处理不可通约量的方法， 出现在欧几里得原本第 5 卷中，并且和狄德金于 1872 年绘出的无理数的现代解释基本一致。 今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微炒之处。意义第一次数学危机表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示。反之，数却可以由几何量表示出来。整数的尊祟地位受到挑战，古希腊的数学观点受到极大的冲击。于是，几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。同时也反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的。从此希

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