相量法 复数的计算

1、第九章第九章相相 量量 法法第九章相量法第九章相量法 教学重点教学重点1. 了解复数的各种表达式和相互转换关系，掌握复数的了解复数的各种表达式和相互转换关系，掌握复数的四则运算。四则运算。2. 掌握正弦量的复数表示法，以及复数掌握正弦量的复数表示法，以及复数( (相量相量) )形式的欧形式的欧姆定律。姆定律。3. 掌握运用相量法分析计算阻抗串、并联的正弦交流电掌握运用相量法分析计算阻抗串、并联的正弦交流电路。路。教学难点教学难点1掌握复数的四则运算以及各种表达式之间的相互转换。掌握复数的四则运算以及各种表达式之间的相互转换。2掌握运用相量法分析计算正弦交流电路。掌握运用相量法分析计算正弦交流电

2、路。第九章相量法第九章相量法第一节复数的概念第一节复数的概念第二节复数的四则运算第二节复数的四则运算第三节正弦量的复数表示法第三节正弦量的复数表示法第四节复数形式的欧姆定律第四节复数形式的欧姆定律第五节复阻抗的连接第五节复阻抗的连接本章小结本章小结第一节复数的概念第一节复数的概念一、虚数单位一、虚数单位二、复数的表达式二、复数的表达式一、虚数单位一、虚数单位 图图 9-1在复平面上表示复数在复平面上表示复数 参见图参见图 9-1 给出的直角坐标系复数平面。在这个复数平面给出的直角坐标系复数平面。在这个复数平面上定义上定义虚数单位虚数单位为为1j 二、复数的表达式二、复数的表达式 图图 9-1在

3、复平面上表示复数在复平面上表示复数 一个复数一个复数 Z 有以下四种表达式。有以下四种表达式。1直角坐标式直角坐标式( (代数式代数式) ) Z = a + jb式中，式中，a 叫做复数叫做复数 Z 的的实部实部，b 叫做复数叫做复数 Z 的的虚部虚部。 在直角坐标系中，以横坐标在直角坐标系中，以横坐标为实数轴，纵坐标为虚数轴，这为实数轴，纵坐标为虚数轴，这样构成的平面叫做样构成的平面叫做复平面复平面。任意。任意一个复数都可以在复平面上表示一个复数都可以在复平面上表示出来。例如复数出来。例如复数 A = 3 + j2 在复平在复平面上的表示面上的表示如图如图 9-1 所示。所示。 图图 9-1

4、在复平面上表示复数在复平面上表示复数 2三角函数式三角函数式 在图在图 9-1 中，复数中，复数 Z 与与 x 轴的夹角为轴的夹角为 ，因此可以写成，因此可以写成Z = a + jb = |Z|(cos jsin ) 式中式中 |Z| 叫做复数叫做复数 Z 的的模模，又称为，又称为 Z 的的绝对值绝对值，也可用，也可用 r 表示，表示，即即22ba|Z|r 叫作复数叫作复数 Z 的的辐角辐角，从图，从图 9-1 中可以看出中可以看出 )0 0( arctan)0 0( arctan)0( arctanbaabbaabaab， 复数复数 Z 的实部的实部 a、虚部、虚部 b 与模与模 |Z| 构

5、成一个直角三角形。构成一个直角三角形。 3指数式指数式 利用欧拉公式，可以把三角函数式的复数改写成指数式，利用欧拉公式，可以把三角函数式的复数改写成指数式，即即Z =|Z|(cos jsin ) =|Z|ej 4极坐标式极坐标式( (相量式相量式) )复数的指数式还可以改写成极坐标式，即复数的指数式还可以改写成极坐标式，即Z =|Z|/ 以上这四种表达式是可以相互转换的，即可以从任一个式以上这四种表达式是可以相互转换的，即可以从任一个式子导出其他三种式子。子导出其他三种式子。【例【例9-1】将下列复数改写成极坐标式：】将下列复数改写成极坐标式：( (1) )Z1 = 2；( (2) ) Z2

6、= j5；( (3) ) Z 3 = j9；( (4) ) Z4 = 10；( (5) ) Z 5 = 3 j4；( (6) ) Z6 = 8 j6( (7) ) Z7 = 6 j8；( (8) ) Z8 = 8 j6。( (2) ) Z2 = j5 = 5/90 ( (j 代表代表90 旋转因子，即将旋转因子，即将“5”逆时针旋逆时针旋90 ) )( (3) ) Z3 = j9 = 9/ 90 ( ( j代表代表 90 旋转因子，即将旋转因子，即将“9”作作顺顺 时针旋转时针旋转90 ) )( (4) ) Z4= 10 = 10/180 或或10/ 180 ( (“ ”号代表号代表 180

7、) )( (1) ) Z1= 2 = 2/0 解：利用关系式解：利用关系式 Z = a + jb =|Z|/ ， ， = arctan，计算如下：，计算如下：22|baZ ab( (5) ) Z5 = 3 + j4 = 5/53.1 ( (6) ) Z6 = 8 j6 = 10/ 36.9 ( (7) ) Z7 = 6 + j8 = ( (6 j8) )= ( ( 10/ 53.1 ) ) = 10/180 53.1 = 10/126.9 ( (8) ) Z8 = 8 j6 = ( (8 + j6 ) ) = ( (10/36.9 ) ) = 10/ 180 + 36.9 = 10/ 143.

8、1 。解：利用关系式解：利用关系式 Z = |Z|/ =|Z|(cos + jsin ) = a + jb 计算计算：【例【例9-2】将下列复数改写成代数式】将下列复数改写成代数式( (直角坐标式直角坐标式) )：( (1) )Z1= 20/53.1 ；( (2) ) Z2 = 10/ 36.9 ；( (3) ) Z3 = 50/120 ；( (4) ) Z4 = 8/ 120 。( (1) )Z1= 20/53.1 = 20(cos53.1 + jsin53.1 ) = 20(0.6 + j0.8) = 12 + j16( (2) )Z2 = 10/ 36.9 = 10(cos36.9 js

9、in36.9 )= 10(0.8 j0.6) = 8 j6( (3) ) Z3 = 50/120 = 50(cos120 + jsin120 ) = 50( 0.5 + j0.866) = 25 + j43.3( (4) )Z4 = 8/ 120 = 8(cos120 jsin120 ) = 8( 0.5 0.866) = 4 j6.928【例【例9-3】将下列复数改写成代数表示式：】将下列复数改写成代数表示式：( (1) )Z1= /90 ；( (2) ) Z2 = / 90 ；( (2) ) Z2 =1/ 90 = -j( (1) ) Z1= 1 /90 = j 解：利用关系式解：利用关系

10、式 Z = rcos +jrsin ，计算如下：，计算如下：【例【例9-4】将下列复数】将下列复数A=18-j40改写成坐标表示式：改写成坐标表示式：A=44/ 65.8 =-65.8 r=44 解：利用关系式解：利用关系式 ， 计算如下：计算如下： 22ba|Z|r )0 0( arctan)0 0( arctan)0( arctanbaabbaabaab， 第二节复数的四则运算第二节复数的四则运算设设 Z1= a + jb =|Z1|/ ，Z2 = c + jd = |Z2|/ ，复数的运算规，复数的运算规则为则为1加减法加减法 Z1 Z2 = ( (a c) ) + j( (b d) )

11、 2乘法乘法 Z1 Z2 = |Z1| |Z2|/ + 2121ZZZZ 3除法除法 / nnZZ11 4乘方乘方 /n 【例【例9-3】已知】已知 Z1= 8 j6， Z2 = 3 j4试求：试求：( (1) ) Z1 Z2；( (2) ) Z1 Z2；( (3) ) Z1 Z2；( (4) ) Z1 / Z2。解：解：( (1) ) Z1 + Z2 = ( (8 j6) ) + ( (3 + j4) ) = 11 j2 = 11.18/ 10.3 ( (2) ) Z1 Z2 = ( (8 j6) ( (3 j4) ) = 5 j10 = 11.18/ 63.4 ( (3) ) Z1 Z2

12、= ( (10/ 36.9 ) ) ( (5/53.1 ) ) = 50/16.2 ( (4) ) Z1 / Z2 = ( (10/ 36.9 ) ) ( (5/53.1 ) ) = 2/ 90 第三节正弦量的复数表示法第三节正弦量的复数表示法正弦量可以用复数表示，即可用正弦量可以用复数表示，即可用最大值相量最大值相量或或有效值相量有效值相量表示，但通常用有效值相量表示。其表示方法是表示，但通常用有效值相量表示。其表示方法是用正弦量的有用正弦量的有效值作为复数相量的模、用初相角作为复数相量的辐角。效值作为复数相量的模、用初相角作为复数相量的辐角。正弦正弦电流电流 i = Imsin( ( t

13、i) )的相量表达式为的相量表达式为 iII jme2I/ i正弦电压正弦电压 u = Umsin( ( t u) )的相量表达式为的相量表达式为uUU jme2 = U/ u 【例【例9-4】把正弦量】把正弦量 u = 311sin( (314t 30 ) ) V，i = 4.24sin( (314t 45 ) ) A 用相量表示。用相量表示。 解：解：( (1) ) 正弦电压正弦电压 u 的有效值为的有效值为 U = 0.7071 311 = 220 V，初相初相 u = 30 ，所以它的相量为，所以它的相量为U= U/ u = 220/30 V( (2) ) 正弦电流正弦电流 I 的有效

14、值为的有效值为 I = 0.7071 4.24 = 3 A，初相，初相 i = 45 ，所以它的相量为，所以它的相量为= I/ i = 3/ 45 AI解解: u = sin( ( t 37 ) ) V，i = 5 sin( ( t + 60 ) ) A。 21202【例【例9-5】 把下列正弦相量用三角函数的瞬时值表达示，把下列正弦相量用三角函数的瞬时值表达示，设角频率均为设角频率均为 ： ( (1) ) =120/ 37 V ； ( (2) ) = 5/60 A 。UI解：解：首先用复数相量表示正弦量首先用复数相量表示正弦量 i1、i2，即，即I1= 3/30 A = 3( (cos30

15、+ jsin30 ) ) = 2.598 j1.5 AI2 = 4/ 60 A = 4( (cos60 jsin60 ) ) = 2 j3.464 A然后作复数加法：然后作复数加法： I1 + I2 = 4.598 j1.964 = 5/ 23.1 A25最后将结果还原成正弦量：最后将结果还原成正弦量：i1 i2 =sin( ( t 23.1 ) ) A【例【例9-6】已知】已知 i1 = sin( ( t 30 ) ) A，i2 = 4 sin( ( t 60 ) ) A。 试求：试求：i1 i2。232第四节复数形式的欧姆定律第四节复数形式的欧姆定律一、复数形式的欧姆定律一、复数形式的欧姆

16、定律二、电阻、电感和电容的复阻抗二、电阻、电感和电容的复阻抗一、复数形式的欧姆定律一、复数形式的欧姆定律 定义定义复阻抗复阻抗为为|Z|/ 其中其中 为阻抗大小，为阻抗大小， = u i 为为阻抗角阻抗角，即，即电压电压 u与电流与电流 i 的相位差的相位差。则复数形式的欧姆定律为。则复数形式的欧姆定律为 IUZIUZ IZUZUI 或或图图 9-2复数形式的欧姆定律复数形式的欧姆定律图图 9-2 所示为复数形式的欧姆定所示为复数形式的欧姆定律的示意图。律的示意图。 二、电阻、电感和电容的复阻抗二、电阻、电感和电容的复阻抗1电阻电阻 R 的复阻抗的复阻抗ZR = R = R/ 0 RRIRU

17、2电感电感 L 的复阻抗的复阻抗LLLLLLILIXIZU jj ZL = XL/ 90 = jXL = j L3电容电容 C 的复阻抗的复阻抗C 1j ZC = XC/ 90 = j XC = CCCCCCICIXIZU 1jj 第五节复阻抗的连接第五节复阻抗的连接一、阻抗的串联一、阻抗的串联二、阻抗的并联二、阻抗的并联一、阻抗的串联一、阻抗的串联 图图 9-3 阻抗串联电路阻抗串联电路 如图如图 9-3 所示阻抗串联电路。所示阻抗串联电路。n 个复阻抗串联可以等效成一个复阻抗个复阻抗串联可以等效成一个复阻抗Z = Z1 + Z2 + + Zn例如例如 RLC 串联电路可以等效一只阻抗串联电

18、路可以等效一只阻抗 Z ，根据，根据 ZR = R，ZL = jXL，ZC = jXC，则，则 jej)1j()j(ZXRCLRXXRZZZZCLCLR 即即Z =|Z|/ 其中电抗其中电抗 X = XL XC，阻抗大小为，阻抗大小为2222)(CLXXRXRZ 为阻抗角，代表路端电压为阻抗角，代表路端电压 u 与电流与电流 i 的相位差，即的相位差，即RXiuarctan 【例【例9-7】 在在 RL 串联电路中，已知：串联电路中，已知：R = 3 ，L = 12.7 mH，设外加工频电压，设外加工频电压 sin( (314 t 30 ) ) V。试求：电阻和电感上的电压瞬时值试求：电阻和电

19、感上的电压瞬时值 uR、uL。2220 u 解：解：等效复阻抗等效复阻抗 Z = ZR + ZL = R + jXL = R + j L = 3 + j4 = 5/53.1 ，其中，其中 XL = 4 ，正弦交流电压，正弦交流电压 u 的相量为的相量为220/30 V。电路中电流相量为。电路中电流相量为 U/30 53.1 = 44/ 23.1 A5220 ZUI 电阻上的电压相量和瞬时值分别为电阻上的电压相量和瞬时值分别为 IRUR132/ 23.1 VV)1 .23314sin(2132 tuR电感上的电压相量和瞬时值分别为电感上的电压相量和瞬时值分别为 IXIZULLLj176/90 2

20、3.1 = 176/66.9 V V)9 .66314sin(2176 tuL二、阻抗的并联二、阻抗的并联阻抗并联电路如图阻抗并联电路如图 9-4 所示。所示。 图图 9-4阻抗串联电路阻抗串联电路 n 只阻抗只阻抗 Z1、Z2、Zn 并联电路，对电源来说可以并联电路，对电源来说可以等效为一只阻抗，即等效为一只阻抗，即nZZZZ111121 即等效复阻抗即等效复阻抗Z的倒数，等于各个复阻抗的倒数之和。的倒数，等于各个复阻抗的倒数之和。为便于表达阻抗并联电路，定义复阻抗为便于表达阻抗并联电路，定义复阻抗 Z 的倒数叫做的倒数叫做复导纳复导纳，用符号，用符号 Y 表示，即表示，即 ZY1 导纳导纳

21、 Y 的单位为西门子的单位为西门子( (S) )。于是有。于是有Y = Y1 + Y2 + + Yn即几只并联导纳的等效导纳即几只并联导纳的等效导纳 Y 等于所有导纳之和。等于所有导纳之和。欧姆定律的相量形式为欧姆定律的相量形式为UYIIZU 或或【例【例9-8】两个复阻抗分别是】两个复阻抗分别是 Z1 = ( (10 j20) ) ，Z2 = ( (10 j10) ) ，并联后接在，并联后接在 的交流电源上，的交流电源上，试求：电路中的总电流试求：电路中的总电流 I 和它的瞬时值表达式和它的瞬时值表达式 i 。V )sin(2220tu 解：解：由由 Z1= ( (10 + j20) ) 可

22、得可得4 .631020arctan 36.2220101221 ，Z由由 Z2 = ( (10 j10) ) 可得可得451010arctan 14.1410102222 ，Z即即Z1 = 10 + j20 = 22.36/63.4 ， Z2 = 10 j10 = 14.14/ 45 由由21111ZZZ 可得并联后的等效复阻抗为可得并联后的等效复阻抗为 2 . 814.146 .2636.224 .1817.316)10j10()20j10()4514.14()4 .6336.22(2121ZZZZZ于是总电流的相量于是总电流的相量A2 . 86 .15A2 . 814.140220 ZU

23、I即即 I = 15.6 A。总电流瞬时值表达式为。总电流瞬时值表达式为 A)28sin(2615.t.i 本章小结本章小结本章学习了应用复数相量法表示正弦交流电压、电流、本章学习了应用复数相量法表示正弦交流电压、电流、阻抗，并运用相量法分析计算阻抗串联与并联电路。阻抗，并运用相量法分析计算阻抗串联与并联电路。一、复数及其运算法则一、复数及其运算法则二、正弦量的复数表示法二、正弦量的复数表示法 三、欧姆定律与复阻抗三、欧姆定律与复阻抗一、复数及其运算法则一、复数及其运算法则1复数的表达式复数的表达式 ( (1) )直角坐标式直角坐标式( (代数式代数式) )：Z = a + jb( (2) ) 三角函数式：三角函数式：)0( arctan )jsin(cos22 aabbaZZZ