不等式选讲(选修4-5)课件

1、专题一 函数与导数专题九 选考部分不等式选讲主要包括绝对值不等式、平均值不等式、柯西不等式及证明不等式的基本方法主要考查绝对值不等式的解法，不等式证明及其应用，要求学生了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法；会用这些方法证明一些简单的不等式，考查推理论证能力和分析问题的能力，对恒等变形不作过高要求绝对值不等式、平均值不等式、柯西不等式的应用只要求会用它们证明一些简单问题和求一些特定函数的极值，应注意控制难度2易错易漏 (1)解绝对值不等式分类讨论时，容易遗漏端点情形 (2)用柯西不等式时，容易遗漏等号成立的条件，一些恒等变形容易出错 (3)解不等式与证不等

2、式学生容易混淆3归纳总结对去绝对值的几种方法要熟练，利用柯西不等式证明求值时，能拼凑出与柯西不等式相似的结构 从2010年高考来看，选这一道题人数最少，得分率也为三题中最低136()A3,7 B(2,62C (37) D (01)214)1.xx 不等式的解集是 山，东模拟【解析】当x3时，原不等式化为(x+1)+(x-3)6，所以x4.故选D.22220112(2) (3)()A 24 2 B 2712 2 C 39 D 27 (2011)12 22.xyxyxyyxR设 ，且，则的最小值为 湖南模拟222222222222411212(2)(3)246312272B722712 26.2x

3、yx yyxx yx yx yxy【解析，当且仅当，即，时等成立故选号】 52 6() A. 3 B. 5 C. D. 3.yxx函数的最大值是 35221-526-1222(-5)( 6- ). 5yxxxx 【解析】根据柯西不等式知：5. 如果关于x的不等式|x-3|+|x-4|a的解集不是空集，则实数a的取值范围是_【解析】 因为|x-3|+|x-4|(x-3)-(x-4)|=1，所以(|x-3|+|x-4|)min=1，当a1时，|x-3|+|x-4|1.1. 理解基本不等式，并要准备定位基本不等式中的数a，b.如：“已知2x+y=1，x，yR+，求xy的最大值”中的两个数不是“x”与

4、“y”而是已知条件中的“2x”与“y”，因为“2x+y=1”是定值，而“x+y”不是2. 三个正数或三个以上正数的均值定理的应用条件应做到：“一正”、“二定”、“三相等”要注意不等式a2+b22ab与不等式a3+b3+c33abc的运行条件不同，前者是a，bR，后者是a，b，cR+.3. 绝对值三角不等式|a|-|b|ab|a|+|b|是一个基本的结论，结合向量形式的三角不等式，得到绝对值三角不等式几何解释的理解，和差的绝对值与绝对值的和差的关系是由ab0，ab0，ab=0三种情况决定的，其本身就是一个分类讨论问题，利用绝对值三角不等式可以解决形如y=|x-a|+|x-b|的函数的极值问题，通

5、过形如|ax+b|c或|ax+b|c以及形如|x-a|+|x-b|c或|x-a|+|x-b|c的不等式的解法领会解含有绝对值的不等式的一般思想和方法4. 学习证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法，提高数学式的变形能力和分析问题能力5. 认识柯西不等式在应用柯西不等式证明或求值等问题时，往往需要对数学式子的形式进行变化，拼凑出与柯西不等式相似的结构；我们要学会用这种思想和方法来处理问题题型一 绝对值不等式的解法【分析】绝对值不等式常使用定义法处理【例1】解下列关于的不等式(1)|x-8|-|x-4|2；(2)1|2x+1|3 4-( -8)( -4)2488-

6、( -8)-( -4)2( -8)-( -4)2445.|51xxxxxxxxxxxxx x【解析】 原不等式等价于或或，即或 或所以原不等式的解集为(2)原不等式可化为：12x+13或-32x+1-1，即0 x1或-2x-1，原不等式的解集为x|0 x1或-2x-1【点评】求解绝对值不等式，关键是去掉绝对值符号，主要途径有：(1)利用|x|a或|x|a的结论；(2)利用绝对值的定义找零点，分区间的方法；(3)利用两边都是非负数(式)时平方去掉绝对值符号题型二 放缩法证明不等式 223331111112(2)212222.nnnnabab 求证：若，求证：【例2】【分析】用放缩法证明不等式，适

7、当的放缩是关键 222222222111(1)( -1)11111-2,31-1111111111-1-23223432311111-1-111111-13111112(2)21221-12nnk kkk kknkkkkknnnnnnnnnn 【解析】 因为，即，分别令， ， ，得， ， ，将这些不等式相加得，所以 22222233222233222222222213()0.240022112.1122222412.abaabbabbabaabbababaabbaabbabaabbabababababababaabbabab 假设，而等号成立的条件是，显然不可能所以，则，而，故，所以从而，所以

8、，所以，所以这与证法 ：假设矛盾2.ab，故3333223333333222222222222812610.238.2362.20223abababbbbbbabababab ababab abab abababaabbab ababaabbaabbaabbba假设，则，故，即，即，显然假设不成立，从而假设，则由，得，故因为，所以，所以，证即法 ：证法 ：，显然2.ab假设不成立，从而【点评】(1)本题数列不易求和，通过放缩转化到易求和的数列，问题从而得到解决；(2)本题三种方法均为反证法，有的推至与假设矛盾，有的推至与已事实矛盾反证法适宜证明“存在性问题，唯一性问题”，带有“至少有一个”或“至多有一个”，或者说“正难则反：常使用反证法题型三 不等式综合问题 222222(2011)1237.212xyzxyzxyztxyzt】南平已知 ， ， 为实数【例，且求的最小值；设，求实数 的3质检取值范围【分析】(1)可以用柯西不等式解决；(2)解绝对值不等式即可 2222222222