2幂的乘方与积的乘方

1、2 幂的乘方与积的乘方1.1.经历探索幂的乘方与积的乘方的运算性质的过程，进一经历探索幂的乘方与积的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，提高推理能力和有条理的表达能力步体会幂的意义，提高推理能力和有条理的表达能力. .2.2.了解幂的乘方与积的乘方的运算性质，并能解决一些问了解幂的乘方与积的乘方的运算性质，并能解决一些问题题. . am an(aa a)n个个a=(aa a)m个个a= aa a(m+n)个个a= am+n幂的意义幂的意义: :aa an个个aan=同底数幂乘法的运算性质：同底数幂乘法的运算性质：am an=am+n（m,n都是正整数）都是正整数）乙正方体的棱长是乙正方体

2、的棱长是 2 cm, 2 cm, 则乙正方体的体积则乙正方体的体积 v v乙乙= = cm cm3 3 v v甲甲是是v v乙乙 的的 倍倍8 8125125即即5 53 3 倍倍 棱长比的棱长比的立方立方. .甲正方体的棱长是乙正方体的甲正方体的棱长是乙正方体的 5 5 倍，则甲正方体的体积倍，则甲正方体的体积v v甲甲= = cm cm3 31 0001 000正方体的体积之比正方体的体积之比= =334rv球乙球的半径为乙球的半径为 3 cm, 3 cm, 则则乙球的体积乙球的体积v v乙乙= = cm cm3 3. .v v甲甲 是是 v v乙乙 的的 倍倍即即103 倍倍 球的体积比

3、与半径比的关系球的体积比与半径比的关系甲球的半径是乙球的甲球的半径是乙球的1010倍，则倍，则甲球的体积甲球的体积v v甲甲= = cmcm3 3 . .1 0001 0003636 36 00036 000 半径比的半径比的立方立方.如果甲球的半径是乙球的如果甲球的半径是乙球的n n倍，那么甲球体积是乙球倍，那么甲球体积是乙球体积的体积的 倍倍. .n n3 3 球的体积之比球的体积之比=地球、木星、太阳可以近做是地看做是球体地球、木星、太阳可以近做是地看做是球体. .木星、太阳的木星、太阳的半径分别约是地球的半径分别约是地球的1010倍和倍和10102 2倍，它们的体积分别约是地倍，它们的

4、体积分别约是地球的球的 倍和倍和 倍倍. .木星木星地球地球太阳太阳体积扩大的倍数比半径扩大体积扩大的倍数比半径扩大的倍数大得多的倍数大得多. 10 103 310106 6(10(102 2) )3 3=10=106 6，为什么？，为什么？(10(102 2) )3 3=10=102 210102 210102 2=10=102+2+22+2+2=10=102 23 3=10=106 6( (根据根据 _)._).( (根据根据_)._).同底数幂的乘法性质同底数幂的乘法性质幂的意义幂的意义(10(102 2) )3 3=10=106 6，为什么？为什么？计算下列各式，并说明理由计算下列各式

5、，并说明理由 . .(1) (6(1) (62 2) )4 4 ; ; (2) (a (2) (a2 2) )3 3 ; ; (3) (a (3) (am m) )2 2 ; (4) ( ; (4) (a am m) )n n . .【解析解析】(1) (1) (2) (a (2) (a2 2) )3 3(3) (a(3) (am m) )2 2= 6= 62 26 62 26 62 26 62 2=6=62+2+2+22+2+2+2=6=68 8= a= a2 2a a2 2a a2 2=a=a2+2+22+2+2=a=a6 6= =a am ma am m= =a am+mm+m(4) (

6、4) (a am m) )n n= = a am ma am m a am m 个个a am m= =a am+mm+m+ + +m +m= =a amnmn（幂的意义）幂的意义）（同底数幂的乘法性质）同底数幂的乘法性质）=6=62 24 4 ; ;(6(62 2) )4 4n n 个个m mn n=a=a2 23 3 ; ;=a=am m2 2 ; ;( (a am m) )n n= =a amnmn ( (m,nm,n都是正整数都是正整数) )底数底数_ ,_ ,幂的乘方，幂的乘方，幂幂 的的 乘乘 方方 法法 则则不变不变相乘相乘指数指数_【例例1 1】计算：计算：(1)(10(1)(1

7、02 2) )3 3 ; (2)(b ; (2)(b5 5) )5 5; (3)(a; (3)(an n) )3 3; ; (4)-(x(4)-(x2 2) )m m ; (5)(y; (5)(y2 2) )3 3 y y ; (6)2(a ; (6)2(a2 2) )6 6-(a-(a3 3) )4 4 . . (6)(6) 2(a2(a2 2) )6 6-(a-(a3 3) )4 4=10=102 23 3=10=106 6 ; ;(1)(10(1)(102 2) )3 3【解析解析】(2) (b(2) (b5 5) )5 5= b= b5 55 5= b= b2525 ; ;(3) (a

8、(3) (an n) )3 3= a= an n3 3=a=a3n3n ; ;(4) -(x(4) -(x2 2) )m m= -x= -x2 2m m= -x= -x2m 2m ; ;(5) (y(5) (y2 2) )3 3 y y= y= y2 23 3 y y= y= y6 6 y y=2a=2a2 26 6-a-a3 34 4=2a=2a1212-a-a1212=a=a1212. .= y= y7 7; ;1.1.计算：计算：(1) (10(1) (103 3) )3 3 ; (2)-(a ; (2)-(a2 2) )5 5 ; (3)(x ; (3)(x3 3) )4 4x x2

9、2 ; ;(4) (4) (-x)(-x)2 2 3 3 ; (5)(-a) ; (5)(-a)2 2(a(a2 2) )2 2; (6)x; (6)xx x4 4xx2 2x x3 3 . .2.2.下面的计算是否正确？如有错误请改正：下面的计算是否正确？如有错误请改正：(1)(x(1)(x3 3) )3 3 = x= x6 6 ; (2)a ; (2)a6 6a a4 4 =a=a2424 . .答案：答案：（1 1）10109 9 （2)-a2)-a1010 (3)x (3)x1414 (4)x (4)x6 6 （5)a5)a6 6 (6)0 (6)0答案：答案：(1)(1)错，错，(x

10、(x3 3) )3 3 = x = x9 9 ; (2) ; (2)错，错，a a6 6 a a4 4 = a = a1010 . .(1) (1) 根据乘方定义根据乘方定义( (幂的意义幂的意义) )，(ab)(ab)3 3表示什么表示什么? ?(ab)(ab)3 3= =abababababab(2)(2)为了计算为了计算( (化简化简) )算式算式abababababab，可以应用乘法的交，可以应用乘法的交换律和结合律换律和结合律. .还可以把它写成什么形式还可以把它写成什么形式? ?=aaa bbb=aaa bbb=a=a3 3bb3 3(3)(3)由特殊的由特殊的(ab)(ab)3

11、3=a=a3 3b b3 3 出发出发, ,你能想到一般的公式吗你能想到一般的公式吗? ? 猜想猜想(ab)n= =a an nb bn n. .在下面的推导中，说明每一步在下面的推导中，说明每一步( (变形变形) )的依据：的依据：(ab)n = = ababab ( ) =(aaa) (bbb) ( ) =anbn ( ) 幂的意义幂的意义乘法交换律、结合律乘法交换律、结合律 幂的意义幂的意义n n个个ababn n个个a an n个个b b(ab)(ab)n n = =a an nbbn n上式显示上式显示: :积的乘方积的乘方= .(ab)n = = anbn积的乘方积的乘方乘方的积乘

12、方的积（m,n都是正整数）都是正整数）每个因式分别乘方后的积每个因式分别乘方后的积 积的乘方法则积的乘方法则(a+b)(a+b)n n，可以用积的乘方法则计算吗，可以用积的乘方法则计算吗? ? 即即“(a+b)(a+b)n n= a= an nbbn n ”成立吗？成立吗？又又“(a+b)(a+b)n n= a= an n+b+bn n ”成立吗？成立吗？不能不能不成立不成立不成立不成立【例例2 2】计算：计算： (1)(3x)(1)(3x)2 2 ; (2)(-2b) ; (2)(-2b)5 5 ; ; (3)(-2xy) (3)(-2xy)4 4 ; (4)(3a; (4)(3a2 2)

13、)n n . . =3=32 2x x2 2 = 9x= 9x2 2 ; ;(1)(3x)(1)(3x)2 2【解析解析】(2)(-2b)(2)(-2b)5 5= (-2)= (-2)5 5b b5 5= -32b= -32b5 5 ; ;(3)(-2xy)(3)(-2xy)4 4 = (-2x)= (-2x)4 4 y y4 4= (-2)= (-2)4 4 x x4 4 y y4 4(4)(3a(4)(3a2 2) )n n = 3= 3n n (a(a2 2) )n n = 3= 3n n a a2n2n. .=16x=16x4 4 y y4 4 ；【例例3 3】地球可以近似地看做是球体

14、，如果用】地球可以近似地看做是球体，如果用v, rv, r分别分别代表球的体积和半径，那么代表球的体积和半径，那么 . . 地球的半径约为地球的半径约为6 610103 3 千米，它的体积大约是多少立方千米千米，它的体积大约是多少立方千米？【解析解析】34v =r334v = r343=(6(610103 3) )3 343= =6 63 310109 99.049.0410101111( (千米千米3 3) )注意注意运算顺序运算顺序 !三个或三个以上的积的乘方，是否也具有上面的性质三个或三个以上的积的乘方，是否也具有上面的性质? ? 怎样用公式表示怎样用公式表示? ?(abc)(abc)n

15、 n=a=an nbbn nccn n试用第一种方法证明试用第一种方法证明:(abc)(abc)n n=(ab)=(ab)ccn n=(ab)=(ab)n nc cn n= a= an nb bn nc cn n. .计算：计算：(1)(- 3n)(1)(- 3n)3 3 ; ; (2)(5xy)(2)(5xy)3 3 ; ; (3)a(3)a3 3 +(4a)+(4a)2 2 a a答案答案: :（1 1）-27n-27n3 3(2)125x(2)125x3 3y y3 3(3)15a(3)15a3 3 试用简便方法计算试用简便方法计算: :(ab)(ab)n n = = a an nb b

16、n n （n n是正整数）是正整数）逆用公式逆用公式: :a an nb bn n = = (ab)(ab)n n (1) 2(1) 23 35 53 3(2) 2(2) 28 85 58 8(3) (-5)(3) (-5)1616(-2)(-2)1515(4) 2(4) 24 4 4 44 4 (-0.125)(-0.125)4 4= (2= (25)5)3 3= 10= 103 3. .= (2= (25)5)8 8= 10= 108 8 . .= (-5)= (-5)(-5)(-5)(-2)(-2)1515= -5= -510101515. .= 2= 24 4(-0.125)(-0.1

17、25)4 4= 1= 14 4= 1.= 1.1.1.（济宁（济宁中考）下列等式成立的是（中考）下列等式成立的是（ ）(a)a+a=a(a)a+a=a5 5 (b)a (b)a3 3-a-a2 2=a =a (c)a(c)a2 2aa3 3=a=a6 6 (d)(a (d)(a2 2) )3 3=a=a6 6【解析解析】选选d.ad.a、b b选项不是同类项不能合并，选项不是同类项不能合并，c c选项为选项为a a5 5,d,d选项是正确的选项是正确的. . 2.2.（重庆（重庆中考）中考）(a(a3 3) )2 2计算的结果是（计算的结果是（ ） (a)a (b)a(a)a (b)a5 5

18、(c)a (c)a6 6 (d)a (d)a9 9【解析解析】选选c.c.本题考查幂的乘方，即底数不变，指数相乘本题考查幂的乘方，即底数不变，指数相乘. .即即(a(a3 3) )2 2=a=a3 32 2=a=a6 6. .3.3.（江西（江西中考）中考） 计算计算 - -（-3a)-3a)2 2的结果是的结果是( )( )(a)-6a(a)-6a2 2 (b)- (b)-9a9a2 2 (c)6a (c)6a2 2 (d)9a (d)9a2 2【解析解析】选选b.b.因为因为-(-3a)-(-3a)2 2=-(-3)=-(-3)2 2a a2 2=-9a=-9a2 2. .同底数幂的乘法运算法则同底数幂的乘法运算法则: :a amaan na am m+ +n n= =同底数幂的乘方运算法则：同底数幂的乘