17第十七章函数与面积

1、第十七章 函数与面积破解策略解决函数与面积问题的常用方法有：1割补法当所求图形的面积没有办法直接求出时，我们采取分割或补全图形再分割的方法来表示所求图形的面积，如图：一般步骤为：(1)设出要求的点的坐标；(2)通过割补将要求的图形转化成通过条件可以表示的图形面积相加减；(3)列出关于所设参数的方程求解；(4)检验是否每个坐标都符合题意2等积变换法利用平行线间的距离处处相等，根据同底等高，将所求图形的面积转移到另一个图形中，如图所示：例如，在平面直角坐标系中经常作已知三角形一边的平行线去进行等积变换一般步骤为：(1)设出直线表达式，两条平行直线值相等(2)通过已知点的坐标，求出直线表达式；(3)

2、求出题意中要求点的坐标；(4)检验是否每个坐标都符合题意 3铅垂法三角形的铅垂高指无论三角形怎么放，上方顶点到最下方顶点的纵向距离（不是两点间距离而是指两点间上下距离，左右横向不用考虑）在平面直角坐标系中经常向z轴或y轴作垂线'然后利用铅锤法，如图：一般步骤为： (1)设出点的坐标； (2)作x，y轴垂线对图形进行分割，利用铅垂法表示图形面积； (3)根据题意列出方程，求解； (4)检验是否符合题意 4等比转化法若已知条件中的图形是相似的，可以将面积比转化为图形的线段比；若已知条件中的图形是同底或等底的，可以将面积比转化为图形的对应高的比；若已知条件中的图形是同高或等高的，可以将面积比

3、转化为图形的对应底的比，一般步骤为： (1)设出点的坐标； (2)将图形的面积比转化为能表示的线段的比； (3)列方程，求出参数； (4)检验是否符合题意例题讲解例 l 如图，直线与双曲线（k>0）交于a,b两点，且点a的横坐标为4.(1)求k的值; (2)若双曲线（k>0）上一点c的纵坐标为8，求aoc的面积；(3)过原点o的另一条直线交双曲线（k>0）于p,q两点（p点在一象限）,若由a ,b,p,q为顶点组成的四边形面积为24，求点p的坐标.解: (1)因为点a的横坐标为4所以点a的坐标为(4,2).因为点a是直线与双曲线（k>o）的交点，所以k=8；（2）过c作

4、cdx轴，作aex轴，将y=8代入反比例解析式得：x=1，即c（1，8），od=1，cd=8，a（4，2），oe=4，ae=2，saoc=scod+s梯形aedcsaoe=×1×8+×（2+8）×3×4×2=15；（3）设p（x，），即om=x，pm=，若p在a的左侧，如图2所示，作pmx轴，anx轴，由点a、b、p、q为顶点的四边形面积为24，op=oq，oa=ob，即四边形apbq为平行四边形，saop=spom+s梯形anmpsaon=×24=6，即x +×（4x）×（2+）4=6，解得：x=2，即

5、p（2，4）；若交点p在第三象限，q在第一象限，此时p（2，4）；若p在a的右侧，同理可得4+×（x4）×（2+）4=6，解得：x=8，此时p坐标为（8，1）；若交点p在第三象限，q在第一象限，此时p坐标为（8，1），综上，p坐标为（2，4）或（2，4）或（8，1）或（8，1）例2已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2，且与x轴交于a、b两点，与y轴交于点c，其中a（1，0），c（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）若点p在抛物线上运动（点p不与点a重合）如图，当pbc面积与abc面积相等时求点p的坐标；【解答】解：（1）由题意，得，解得抛物线的解析式为y=x

6、2+4x3；（2）令x2+4x3=0，解得x1=1，x2=3，b（3，0），当点p在x轴上方时，如图，过点a作直线bc的平行线交抛物线于点p，易求直线bc的解析式为y=x3，设直线ap的解析式为y=x+n，直线ap过点a（1，0），代入求得n=1直线ap的解析式为y=x1解方程组，得，点p1（2，1）当点p在x轴下方时，如图：图1设直线ap1交y轴于点e（0，1），把直线bc向下平移2个单位，交抛物线于点p2，p3，得直线p2p3的解析式为y=x5，解方程组，得，p2，p3 综上所述，点p的坐标为：p1（2，1），p2，p3 .例3如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx3（a0）与x

7、轴交于点a（2，0）、b（4，0）两点，与y轴交于点c（1）求抛物线的解析式；（2）点p从a点出发，在线段ab上以每秒3个单位长度的速度向b点运动，同时点q从b点出发，在线段bc上以每秒1个单位长度的速度向c点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当pbq存在时，求运动多少秒使pbq的面积最大，最大面积是多少？（3）当pbq的面积最大时，在bc下方的抛物线上存在点k，使scbk：spbq=5：2，求k点坐标【解答】解：（1）把点a（2，0）、b（4，0）分别代入y=ax2+bx3（a0），得，解得 ，所以该抛物线的解析式为：；（2）图1设运动时间为t秒，则ap=3t，bq=tpb=6

8、3t由题意得，点c的坐标为（0，3）在rtboc中，bc=如图1，过点q作qhab于点hqhco，bhqboc，即，hq=spbq=pbhq= （63t） =当pbq存在时，0t2当t=1时，spbq最大=答：运动1秒使pbq的面积最大，最大面积是；（3）设直线bc的解析式为y=kx+c（k0）把b（4，0），c（0，3）代入，得，解得 ，直线bc的解析式为点k在抛物线上设点k的坐标为如图2，过点k作key轴，交bc于点e则点e的坐标为（m，）ek=（）=当pbq的面积最大时，scbk：spbq=5：2，spbq=scbk=scbk=scek+sbek=ekm+ek（4m）=×4ek

9、=2（）=m2+3m即：m2+3m =解得 m1=1，m2=3k1（1，），k2（3，）图2spbq= 0t2， 当t=1时，pbq的面积最大，最大面积是 (3)【方法一：等比转化法】当pbq的面积最大时，t=1， 此时p是ab的中点，点p的坐标为（1，0），bq=1，如图，pbc与pbq是等高三角形，spbc：spbq =bc：bq=5:1 当scbk：spbq=5:2时，spbc：scbk =2:1 因为pbc与cbk是同底三角形，所以对应高的比是2：1 如图，在x轴上点b的右侧取一点d，使得bd=bp，则点d的坐标为（，0），过点d作bc的平行线交抛物线于k，过点k作kex轴于点e.设点

10、k的坐标为由，得整理得x2-4x+3 =0解得x1 =1，x2=3点k的坐标为（1，）或（3，）【方法二：铅垂法】由scbk：spbq=5：2，spbq=， 得scbk=如图，过点k作x轴的垂线交bc于点f，设点k的坐标为 由于点f在直线bc上，所以点f的坐标为 所以kf=. cbk被kf分割为ckf和bkf，它们以fk为底的高的和为ob =4. 所以scbk=解得x1=1，x2=3 所以点k的坐标为（1，）或（3，）进阶训练1.我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，某个锅的锅口直径为6dm，锅盖高1dm(锅口直径与锅盖直

11、径视为相同)，建立直角坐标系如图，如果把锅纵断面的抛物线记为c1，把锅盖纵断面的抛物线记为c2. (1)求c1和c2的表达式；(2)直线be：，交c1于点e，抛物线c1或c2上是否存在一点q，使得ebq的面积最大？若存在，求出q的坐标和ebq面积的最大值；若不存在，请说明理由【答案】（1） c1：；c2：；（2）存在.点q的坐标为，最大面积是.【提示】（2）【方法一：等积变换法】作平行于直线be的直线l：，分别与抛物线c1，c2方程联立方程组，得到与抛物线c1只有一个交点的直线l1:（如图1），其与c1的交点为q1，与x轴的交点为m1，从而sebq1=sebm1=；同理可得与抛物线c2只有一个

12、交点的直线l2：（如图2），其与c2的交点为q2，与x轴的交点为m2，从而sebq2=sebm2=即得解 【方法二：割补法】当点q在c1上时，可设点q的坐标为，过点q作qmx轴，交be于点m则点m的坐标为，所以mq=.从而当时，mq取最大值所以sebq最大=seqm+sbqm=同理可得q在c2上时，最大面积为即得解 2如图，抛物线与x轴交于a，b两点（点a在点b的左侧），与y轴的负半轴交于点c，p是x轴下方抛物线上的一个动点（点p不与点c重合），连结pb，pc.设pbc的面积为s (1)求s的取值范围；(2)若pbc的面积s为正整数，则这样的pbc共有_个.【答案】(1)0<s<5；(2)11个 【提示】 (1)设点p的坐标为，如图，过点p作y轴的平行线 ，交bc于点f则可得点f的坐标为 当点p在bc下方的抛物线上时，可得fp=，从而s=，此时0<s4； 当点p在bc上方、x轴下方的抛物线上时，s最大=sabc=5，此时0<s<5即得解 (2)点p在x轴下方、bc上方时，面积为1，2，3，4的三角形各1个；点p在bc下方时，面积为1，2，3的三角形各2个，面积为4的三角形为1个共11个满足条件的pbc3 如图，抛物线经过点a（一3，0），c（0，3），d为抛物线的顶点，de为抛物线