概率统计4.2方差的计算

1、Ch4-48引例引例 甲、乙两射手各打了6 发子弹,每发子弹击中的环数分别为：甲 10, 7, 9, 8, 10, 6, 乙 8, 7, 10, 9, 8, 8, 问哪一个射手的技术较好？解解 首先比较平均环数首先比较平均环数甲 = 8.3,乙 = 8.34.2 方差方差 有五个不同数有四个不同数Ch4-49再比较稳定程度再比较稳定程度34.13) 3 . 86 () 3 . 87 () 3 . 88 () 3 . 89 () 3 . 810(222222甲：乙：34. 5) 3 . 87 () 3 . 88 (3) 3 . 89 () 3 . 810(2222乙比甲技术稳定，故乙技术较好.C

2、h4-50进一步比较平均偏离平均值的程度进一步比较平均偏离平均值的程度甲) 3 . 86() 3 . 87() 3 . 88() 3 . 89() 3 . 810(26122222乙)3 . 87()3 . 88(3)3 . 89()3 . 810(61222222.26/34.1389. 06/34. 5512)(kkkpXEx412)(kkkpXEx E X - E(X)2Ch4-51若E X - E(X)2 存在, 则称其为随机称)(XD为 X 的均方差均方差或标准差标准差. 方差概念方差概念定义定义 即 D (X ) = E X - E(X)2 变量 X 的方差方差, 记为D (X )

3、 或 Var (X ) 两者量纲相同两者量纲相同 D(X ) 描述 r.v. X 的取值偏离平均值 的平均偏离程度 数Ch4-52, 2 , 1,)(kpxXPkk若 X 为离散型 r.v.，分布律为12)()(kkkpXExXD若 X 为连续型r.v. ，概率密度为 f (x)dxxfXExXD)()()(2计算方差的常用公式：计算方差的常用公式：)()()(22XEXEXDCh4-53q D (C) = 0q D (aX ) = a2D(X)D(aX+b ) = a2D(X)q )()(2)()()(YEYXEXEYDXDYXD特别地，若X ,Y 相互独立，则)()()(YDXDYXD 方

4、差的性质Ch4-54若nXX,1相互独立，baaan,21为常数则niiiniiiXDabXaD121)(若X ,Y 相互独立)()()(YDXDYXD)()()(YEXEXYEq 对任意常数C, D (X ) E(X C)2 , 当且仅当C = E(X )时等号成立q D (X ) = 0 P (X = E(X)=1 称为X 依概率 1 等于常数 E(X)Ch4-55性质 1 的证明：0)()(2CECECD性质 2 的证明：2)()()(baXEbaXEbaXD2)()(bEbXEXaE22)(XEXaE)(2XDaCh4-562)()()(YXEYXEYXD)()(2)()(22YEYX

5、EXEYEYEXEXE)()(2)()(YEYXEXEYDXD性质 3 的证明：当 X ,Y 相互独立时，)()()()()(YEXEXYEYEYXEXE注意到，)()()(YDXDYXD Ch4-5722)()(XECXEXECXE性质 4 的证明：22)()(XECXEXE当C = E(X )时，显然等号成立；当C E(X )时，0)(2XEC)(2XDCXE2)()(XECXDCh4-58例例1 1 设X P (), 求D ( X ).解解0!)(kkkekXE11)!1(kkke)()1()(2XEXXEXE!) 1()1(0kekkXXEkk2222)!2(kkke 方差的计算方差的

6、计算22)(XE)()()(22XEXEXDCh4-59例例2 2 设X B( n , p)，求D(X ).解一解一 仿照上例求D (X ).解二解二 引入随机变量nXXX,21发生次试验事件第发生次试验事件第AiAiXi, 0, 1nXXX,21相互独立，ni, 2 , 1)1 ()(ppXDiniiXX1故)1 ()()(1pnpXDXDniiCh4-60例例3 3 设 X N ( , 2), 求 D( X )解dxexXDx222)(221)()(dtetttx222221令2Ch4-61常见随机变量的方差(P.159 )分布方差概率分布参数为p 的 0-1分布pXPpXP1)0() 1

7、(p(1-p)B(n,p)nkppCkXPknkkn, 2 , 1 , 0)1 ()(np(1-p)P(), 2 , 1 , 0!)(kkekXPkCh4-62分布方差概率密度区间(a,b)上的均匀分布其它, 0,1)(bxaabxf12)(2abE()其它, 0, 0,)(xexfx21N(, 2)222)(21)(xexf2Ch4-63例例4 4 已知X ,Y 相互独立, 且都服从 N (0,0.5), 求 E( | X Y | ).解解) 5 . 0 , 0(),5 . 0 , 0(NYNX1)(, 0)(YXDYXE故) 1 , 0( NYX dzezYXEz2221|)(|22220

8、2dzezzCh4-64例例5 5 设X 表示独立射击直到击中目标 n 次为止所需射击的次数 , 已知每次射击中靶的概率为 p , 求E(X ), D(X ).解解 令 X i 表示击中目标 i - 1 次后到第 i 次击中目标所需射击的次数，i = 1,2, n 1, 2 , 1,)(1qpkpqkXPki1111)(kkkkikqpkpqXEpqp1)1 (12nXXX,21相互独立，且niiXX1Ch4-6511112) 1()(kkkkikpqpqkkXEpqkkpqkk1) 1(22pxdxdpqqxkk1022pxpqqx1)1 (2322pp222112)(pppppXDiCh4

9、-66pnXEXEnii1)()(故21)1 ()()(ppnXDXDnii 本例给出了几何分布与巴斯卡分布的期望与方差Ch4-67例例6 6 将 编号分别为 1 n 的 n 个球随机地放入编号分别为 1 n 的n 只盒子中,每盒一 球. 若球的号码与盒子的号码一致，则称为一个配对. 求配对个数 X 的期望与方差.解解niiiXi, 2 , 1, 0, 1其它号盒号球放入则niiXX1nXXX,21不相互独立，但Ch4-6811)()(1nnXEXEnii212)(niiXEXEiXP 1 0n1n11ni, 2 , 1nnjijiniiXXXE1122nnjijiniiXXEXE112)(2

10、)(Ch4-692iXP 1 0n1n11ni, 2 , 1nji, 2 , 1,jiXXP 1 0) 1(1nn) 1(11nnnXEi1)(2) 1(1)(nnXXEjiCh4-70nnjijiniiXXEXEXE1122)(2)()(nnjininnn11) 1(121) 1(1212nnCnnn21)()()(22XEXEXDCh4-71标准化随机变量标准化随机变量设随机变量 X 的期望E(X )、方差D(X )都存在, 且D(X ) 0, 则称)()(XDXEXX为 X 的标准化随机变量. 显然，1)(,0)(XDXECh4-72仅知仅知 r.v.r.v.的期望与方差的期望与方差 并

11、不能确定其分布并不能确定其分布XP -1 0 1 0.1 0.8 0.1YP -2 0 20.025 0.95 0.025与2 . 0)(, 0)(XDXE2 . 0)(, 0)(YDYE有相同的期望方差但是分布却不相同例如例如Ch4-73例例7 7 已知 X 服从正态分布, E(X ) = 1.7, D(X ) = 3, Y =1 2 X , 求Y 的密度函数.解解 1234)(, 4 . 27 . 121)(YDYEyeyfyY,621)(24)4 . 2(2 在已知某些分布类型时在已知某些分布类型时, ,若知道若知道其期望和方差其期望和方差, ,便常能确定分布便常能确定分布. .Ch4-

12、74作业 P.170 习题三 9 11 16 17 19 21Ch4-75附例附例 在 0, 1 中随机地取两个数 X , Y , 求 D (min X ,Y )解解其它, 010 , 10, 1),(yxyxf1101010,minyxdxdyyx. 3/1dydxydxdyxyx 101101),(min YXECh4-76dydxydxdyxYXEyx 101210122),(min.6/1,min,min),(min22YXEYXEYXD.18/1Ch4-77例例8 8 已知 X 的 d.f.为其它, 0, 10,)(2xBxAxxf其中 A ,B 是常数，且 E (X ) = 0.5. 求 A ,B. 设 Y