三角形证明部分模型总结基础资料

1、三角形部分模型总结斜边中线模型构成：rtabc,acb=,d为ab边的中点目的：找等量关系，或2倍（1/2）的关系。结果：ad=cd=bd例 1 已知：abc中，a=，ceab,bdac 求证：de=bc 证明：取bc中点m，连结em,dm 先证em=dmem=bc=dm再证：2=-1-3 =-（-2abc）-（-2acb）=则edm为等边三角形，所以有de=dm=bc“rt中斜边上的中线等于斜边的一半”+“等腰对等底”+“等量代换”例2已知：abc中，ceab,bdac，m,n分别为bc,de的中点 求证：mned证明：连结em,dm 先证 em=dmem=bc=dm 后证 mned n为中

2、点，em=dm“rt中斜边上的中线等于斜边的一半”+“三线合一定理”思考：若abc为钝角，又该如何呢？在rt中，又是怎样？例3已知：在abc中，ab=ac,bd为abc的角平分线，ambc,debc, fdbd 求证：me=bf 证明：取bd、bf中点g、n，连结 dn， ef， gm 先证 dn=bf 再证：dn=dcdnc=c=abc dnab3=1 ab=ac 再证 gm=dc 后证 gm=memeg=mge gem=2 gmb=c=22 所以有me=dc=bf“rt中斜边上的中线等于斜边的一半(2次)”+“平行线性质1”+“等腰对等底”+“三角形中位线定理”例4 如图，在abc中，b=

3、2c，adbc与d,m为bc边的中点，ab=10cm,则md长为多少？ 解：取 ab中点n,连结dn,nm,则dn=ab, ndb= b, 且nmd= c ndb= nmd+ dnm b= c+ dnm=2cdnm=c=ndm 则dm=dn=ab“rt斜边上的中线等于斜边的一半”+“三角形中位线定理” +“外角性质”+“等底对等腰”例5 如图 ，rtabc中，c=，cd平分c，e为ab中点，peab,交cd延长线于p,那么pac+pbc的大小是多少？解：连结 ce ,则eac=ecadce=eca-dca=dac-又dac=180-adc-=-pdedce=(-pde)- =dpe 则pe =

4、ec=ae则可证pac+pbc=pab+bac+pba+abc=180“斜边中线性质”+“对顶角相等”+“等量代换”+“三角形内角和定理”“三线合一”模型“角平分线”+垂线等腰三角形”构成：oc为a0b的角平分线，bcoc于c点目的：构造等腰三角形结果： 边：bc=ac,oa=ob oc为oab的中线角：3=4，aco= oc为abo的高线全等：acobco例 1 已知：ad是abc的a的平分线，cdad于d,bead于ad的延长线于e,m是bc边上的中点。 求证：me=md 证明：延长 cd交ab于f点，be与延长线交于点 为fc中点，为中点。 ，3 ， 则3则“三线合一定理的逆定理”“平行

5、线的性质”“等底对等腰”例已知：abc为等腰直角三角形，a=,2,cebe 求证：bd=2ce 证明：延长 ce、ba交于f 点 先证 cf=2ce 再证 rtabdrtcaf “3=f”+”ab=ac”+”bad=caf” 则有bd=cf=2ce “三线合一定理的逆定理”+“asa全等”例3 已知：abc中，ce平分acb，且aece,aed+cae=180(3+4=180)求证：debc证明：延长ae交bc边于f点，则有3且35 3+4=180 4+5=180 56 则debc“三线合一定理的逆定理”“平行线的判定”例4 已知：在abc中，ac>ab,am为a的平分线，adbc于d

6、求证 ：mad=(b-c) 证明：作beam,交ac于e点，交am于k点 先证3=42 5aeb am为角平分线 beam 后证：b-c=4+5-c=4+aeb -c=24 则3=4= （b-c）即mad=(b-c)“三线合一逆定理”+“平行四边形的判定”例 5 已知：在abc的两边ab 、ac上分别取bd=ce，f、g分别为de、bc的中点，a的平分线at交bc于t 求证：fgat 证明：作enat于n点，交ab于l点，作ckat于k点，连结fn、gk 先证：nf且=ld,kg且=mb 再证：ld=mblm=db=ec 最后证明四边形fnkg为平行四边形。“三线合一定理的逆定理”“平行四边形

7、判定”三角形中位线模型构成：abc中，d 为ab边中点目的：找中位线，构造：2倍关系相似三角形结果：debc,de=bc adeabc例1 已知：在abc中，ab=ac,adbc于d,deac于e,f为de中点 求证：afbe 证明：取be中点h，连dh 先证：rtedhrtaed 则 rtedhrtaef 则 bed= 1 eaf+aeg= 则afbe “aaa”+“中位线定理”+“（两直线）定义”例2 已知 bd、ce为abc的角平分线，afce 于f,agce于f,agbd于g 求证：fgbc fg=(ab+ac-bc) 证明：延长af、ag 分别交bc于m、n 两点证g为an中点bda

8、n 1=2 f为am中点3=4 ceam 则gf为anm中位线 gfbc, gf=mn mn=bn+cm-bc=ab+ac-bc“等腰三线合一”+“中位线定理”+“等量代换”思考：bd、ce为外角平分线时或一内一外角平分线时，又该如何证明？例3 已知 ，如图在abcd中，p为cd中点，ap延长线交bc延长线于e,pqce 交de于q 求证：pq=bc证明：先证adppce 可得 ce=ad=bc 再证 pq为中位线 ，pq=ce“aas”+“平行四边形性质”+“中位线定理”例4 已知：梯形abcd中，ab=dc,acbd,e、f为腰上中点，dlbc,m为dl与ef的交点 求证：ef=dl 证明

9、：取ad、ef的中点 h、k,连结 eh、fh、hk 易证ehhf 则hk=ef rtdlc中可得m为dl中点，则dm=dl 由题意得 hk=dm 则ef=dl“三角形中位线定理（3次）”+“平行线性质”+“斜边上中线为斜边一半”例 5 已知：锐角abc中，以ab、ac为斜边向外作等腰直角adb，aec,m为 bc中点，连结dm、me 求证：dm=em ,dmem 证明：取ab、ac的中点f、g,连结df 、fm、 me 先证dfmmge df=gmdfm=mge1=2=3 fm=ge则dm=me , 4=5再证dme=7+1+5=，则 dmem思考：bac为钝角时，又该如何证明？“补长截短”

10、模型（1） 截长法： 构成：线段a,b,c目的：确定一线段，找令一线段的等量关系结果： a-=ca=b+c， b=（2）补短法： 构成：线段a,b,c目的：构造一等长线段，再找等量关系结果：c=，b+=aa=b+c例1 已知：abc中，ad平分bac 求：（1）若b=2c,则ab+bd=ac (2) 若ab+bd=ac,则b=2c解：（1）在ac上取ae=ab,连结de,则aedabd bd=ed3=b,ab=ae且3=2c=4+c 则ec=ed ac=ae+ec=ab+bd(2) (1)的反推过程“sas全等”+“的一外角等于与它不相邻的两内角和”+“等底等腰”例2已知：等腰abc中，ab=

11、ac, a=,bd平分abc 求证：bc=ab+dc证明： 在bc边上取be=ba,连结 de,则abdebdab=be 再证：3=4 4=，3=5-c=dc=ec 则bc=be+ec=ab+dc“sas 全等”+“两外角等于不相邻两内角和”+“等底对等腰”例 3 已知：在abc的边bc上取be=cf，过e作ehab交ac于h,过f作fgab交ac于g 求证：eh+fg=ab证明：在ab上取bd=fg,连结de 先证dbegfc 再推3=c 再证四边形adeh为平行四边形则 fg+eh=ad+db=ab “sas 全等”+“平行线的判定”+“平行四边形的判定”思考： 若在ac上截取ad=eh，

12、连df，如何证明？若用以下方法添加辅助线，又该如何证明？ a. 在ca上截取cd=gf,连dfb. 延长he至d,使ed=gf,连adc. 延长eh至d,使ed=ac,连cd例 4 已知：在正方形abcd中，m是cd的中点，e是cd上一点，且bae=2dam 求证：ae=bc+ce 证明：取bc的中点g，连结ag 延长ab至f 使af=ae,连结fg ,ge 先证3=5 则3=4=5 后证rtafgrtaeg 则fg=ge 再证rtfbgrtecg 则bf=ec所以有ae=af=ab+bf=bc+ce“sas 全等”+“三线合一定理”+“等量代换”思考：若用以下方法添加辅助线，该如何证明？ a

13、. 在ae上截取af=ab,取bc中点g,连结ag,gf,ge b. 延长dc至h,使ch=ab，连ah交bc于g例 5 已知：在正方形abcd中，e 为bc上任一点，ead的平分线交dc于f 求证：be+df=ae 证明：延长cd 至g,使dg=be,连结 ag,则rtabertadg, 得3=4再证5=1+4 ag=fg 所以有ae=ag=af =df+dg=df+be “平行线性质2”+“等底对等腰”+“hlrt全等” “等腰等边”模型 角平分线+平行线等腰 构成：aob ,od为aob的角平分线 目的：构造等腰，找等角，等边 结果： oec为等腰oc=oe 3=c, 1=3例 1 已知

14、：abc中，ab=4,ac=7,m是bc中点，ad平分bac,过m点作mfad, 交ac于f 求：fc 的长度? 解：延长fm至n，使mf=mn,延长mf、ba交于e点 先证:bmncmf bn=cf , n=mfc 再证：e=bad=cad=cfm=afe=nae=af,bn=be 则有：ab+ac=ab+af+fc=ab+ae+fc=be+fc=nb+fc=2fc 所以有：fc= (ab+ac)=5.5 “sas 全等”+“平行线性质”+“对顶角相等”+“等底对等腰”例 2 已知：锐角abc中，abc=2c, abc的平分线与ad垂直，垂足为d 求证：ac=2bd 证明：过a作bc平行线，

15、延长be交平行线于f 先证：abf为等腰bf=2bd 再证：ae+ec=ef+be ae=ef 3=4 be=ec 2=c 即 ac=bf=2bd“等底等腰” +“等腰三线合一”+“平行线性质2”例 3 已知：在abc中，a=100,ab=ac,be是b 的平分线求证：ae+be=bc证明：过e作edbc交ab于d,延长ca至a使ef=bc 连结fd先证：de=db=ec再证：defecbfd=be后证：fd=fa4=5=90所以有：ae+be=ae+fd=ae+fa=ef=bc“平行线性质”+“等底等腰”+“sas全等”例 4 已知：abc中，ab=ac,ad为abc的角平分线，p为bc上一

16、点，过p 作ad的平行线交ba的延长线于e，交ac于f 求证：2ad=pe+pf 证明：延长ad，fp,过c作ab平行线，交于g、h 点 先证：ad=dg,ph=fp 1=2=3=4=5 后证：ag=eh四边形aehg为平行四边形 则有：2ad=ag=eh=ep+ph=ep+fp“等底等腰”+“平行线性质1”+“平行四边形判定及性质”倍长中线模型 构成（条件）：abc中，ad为中线目的：（1）构造全等三角形 找等量关系（边）（2）构造平行线 找等角关系结果：（1）bdeadc be=ac （2）ae=2ad 1=2，3=4acbe例1： 已知：ad为abc 中线，e为ac上一点，且ae=fe

17、求证：ac=bf证明：（倍长中线）bdgcda g=eaf，bg=ac 再g=3bf=bg“sas 全等”+“等底 等腰”+“等量代换”例2 ：已知：ce、cb分别是abc、acd的中线，且ab=ac，求证：cd=2ce证明：倍长ce，连结bmmebcea（sas）me=ec+meb=aec+be=aembcdbc（sas）mb=bd+mbc=dbc+ bc=bc dc=mc=2ec“等腰对等底”+“外角=两内角和”+“sas 全等” 例3：已知rtbac中，a=90，d为bc边中点，e、f分别为边ab、ac上一动点，且edfd。求证：ef=be+cf。证明：倍长fd至g， 连结bg、eg先证

18、cfdbgdcf=bg，c=gbd（acbg）rtebg中，eg2=bg2+be2=fc2+be2egf为等腰 ，则ef2=be2+cf2“sas全等”+“勾股定理”+“等腰三线合一”例4：已知：abc中，ad为中线，ab边长为x ，ac边长为y，求中线ad 的取值范围。解：倍长ad 连结be abe中， |x-y|2adx+y “sas 全等”+“等量代换”+“三边关系”例5：已知m是abc的边bc上的中点，过bc上一点d 引直线平行于am交ab于e，交ca的延长线于f 求证：ed+df=2am证明：倍长am ，连结bh 延长ed交bh于k先证四边形fahk为平行四边形ah=fk再证ed=

19、dked/am=dk/hm，am=mh ed+fd=fk=ah=2am“sas 全等”+“平行四边形定义及性质”+“比例性质”+“等量代换”练习 已知：abc 中，ad是角平分线，m是bc中点，mfda，mf交ab、ca的延长线于e、f。求证：be=cf证明：倍长fm 连结bg先证bmgcmfbg=cf，g=f fcbg再证1=f=gbe=bg=cf“sas 全等”+“两直线平行，同位角相等”+“等底对等腰”+“等量代换”面积法 （1） 构成：adbc，abc，bcd 。 目的：找等积 . 结果：sabc =sbcd.（2）构成：efbc，abc，aef 。 目的：找比例线段。结果：saef

20、：sabc=af2：ac2=ae2：ab2=ef2：bc2（3）构成：l1l2l3，线段ac、bd，ad、bc相交于点o。 目的：找比例线段。结果： ae ：ec=ao：od=bo：co=bf：fd例1：在abc的边ab、ac上分别取点d、e，使debc ，在ab上取点f， 使sade=sbfc。求证：ad2=ab*bf。证明：“sade ：sabc=ad2：ab2”+“ sade ：sabc= sbfc ：sabc=fb：ab” ad2：ab2=fb：ab ad2 =fb*ab“相似面积比”+“同高面积比”+“比例的基本性质”例2：已知：abc中，acb=900，ce平分acb 交ab于e，efac 于f。 求证：。证明：过e作edbc 于 dsabc = sbec +saecbc*