同济五版线性代数习题答案第三章矩阵的初等变换与线性方程组

1、第三章矩阵的初等变换与线性方程组（参考）（） 1把下列矩阵化为行最简形矩阵(1). (2);(3); (4).解(1) (2) (3) (4) 2.设,求一个可逆矩阵，使为行最简形.解 故 ，并且的行最简形为. 3. 设，（1）求一个可逆阵，使为行最简形；（2）求一个可逆阵，使为行最简形.解 （1） 于是 ，且为的行最简形.（2） 于是 ， 并且为的行最简形. 4试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵：(1); (2).解 （1） 故逆矩阵为 .(2)解 故逆矩阵为 5(1)设,求使;(2) 设,求使.解 (1) (2) 设,求使.解 (2) 6.设，, 求.解 试题变形为 ，因此化为行最简

2、形.由此可得 . 7在秩是的矩阵中,有没有等于0的阶子式?有没有等于0的阶子式?解 在秩是的矩阵中,可能存在等于0的阶子式,也可能存在等于0的阶子式.但至少有一个阶和阶子式不为零，否则这个矩阵的秩就不是.例如 同时存在等于0的3阶子式和2阶子式. 8从矩阵中划去一行得到矩阵,问的秩的关系怎样?解 因矩阵是由矩阵划去一行得到的，即矩阵的行数比矩阵少一行，显然有，且的秩最多比的秩减1，即，从而.例如 设矩阵，易知，若在矩阵中划去第二行得矩阵 ,显然，此时有.若在矩阵中划去第三行得矩阵，则，此时有. 9求作一个秩是4的方阵,它的两个行向量是,解设矩阵为矩阵，其行向量分别为.设为五维向量, 现取, 则

3、所求方阵可为 秩为4, 即，则在中存在 一个4阶非零子式，且. 不妨设 取故满足条件的一个方阵为 . 10求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式：(1); (2)； (3).解(1)秩为2二阶子式(2) 秩为2.二阶子式(3) 秩为3三阶子式 11.设都是矩阵，证明的充分必要条件是.证明 “”由§3.2节“矩阵的秩”的定理2：若，则，结论成立.“”假设，则的标准形都为，因此 ，,由等价的传递性和对称性可得：. 12.设，问取何值时，可使（1）；（2）；（3）.解 将矩阵施行初等变换，化为阶梯形矩阵. 因此 （1）当时，.（2）当且时，.（3）当，时，. 13求解下列齐次线性方程组:(

4、1) (2) (3) ； (4)解(1)对系数矩阵实施行变换:即得故方程组的解为(2)解对系数矩阵实施行变换:即得故方程组的解为(3) 解对系数矩阵实施行变换 ，取 为自由未知数，得于是 ，. (3) 解对系数矩阵实施行变换:即得故方程组的解为(4)解对系数矩阵实施行变换:即得 ，故方程组的解为 14求解下列非齐次线性方程组:(1) (2) (3) (4) 解(1)对系数的增广矩阵施行行变换,有而,故方程组无解(2) 解 对系数的增广矩阵施行行变换:即得亦即(3) 解对系数的增广矩阵施行行变换:即得即(4) 解 对系数的增广矩阵施行行变换:即得即 15写出一个以 为通解的齐次线性方程组.解 由

5、解的形式可知，通解所对应的行最简形矩阵为 因此齐次线性方程组为. 16取何值时,非齐次线性方程组(1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解?解非齐次线性方程组的系数行列式(1)由克莱姆法则知，当,即时方程组有唯一解.(2)由得时,方程组无解.(3),由,得时,方程组有无穷多个解. 17非齐次线性方程组当取何值时有解？并求出它的通解解方程组有解，须得当时,方程组解为当时,方程组解为 18设问为何值时,此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解解当,即且时，有唯一解.当且，即时，无解.当且，即时，有无穷多解.此时，增广矩阵为原方程组的解为 () 19证明 的充分必要条件是存在非零列向量及非零行向量,使.证明 由得 （）又也是非零向量，则中至少有一个元素不为零，所以，因此. 由，设为矩阵，则存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵，使 ，因此 ，其中， .方法点击 本题主要运用了矩阵乘积秩的性质及等价标准形理论. 20设为列满秩矩阵，证明线性方程组与同解.证明 若满足，则，即.若满足，即，因为列满秩矩阵，由定理4知，方程，只有零解，故. 综上即知方程与同