数列通项公式的求法论文

1、浅谈求数列通项公式的几种方法数列的通项公式是数列的核心内容之一，它如同函数中的解析式一样,有了解析式便可研究起性质等；而有了数列的通项公式便可求出任一项以及前n项和等。因此，求数列的通项公式往往是解题的突破口、关键点。作为一线教师，本人根据多年教学经验结合近年来的数列考查动向，将求数列通项公式的方法做一总结,希望能对广大考生的复习有所帮助。下面我就谈谈求数列通项公式的几种方法：一、观察法 即归纳推理，一般用于解决选择、填空题。过程：观察概括、推广猜出一般性结论。例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，（2）（3）（4）（5），。解：（1）变形为：1011

2、，1021，1031，1041， 通项公式为：（2） （3） （4）. （5）点评：关键是找出各项与项数n的关系。 针对性训练： 3 33 333 333 3333 （） （）二、 定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目例2 ：等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，求数列的通项公式. 解：设数列公差为d(d>0)成等比数列，点评：当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。针对性训练： 已知等比数列的首项，公比，设数列的通项为，求数列的通项公式。解析：由题意，又是等比数列，公比为，

3、故数列是等比数列， 三、公式法，即已知数列前n项和，求通项。例3：已知下列两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式。（1）。 （2）解： （1）=1=3此时，。=3为所求数列的通项公式。（2），当时 由于不适合于此等式 。 点评：要先分n=1和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。针对性训练：已知数列前n项和满足：，求此数列的通项公式。 已知数列中, 且,求数列的通项公式.解：当时，当时，所以：解:由已知得,化简有,由类型(1)有,又得,所以,又,则此题也可以用数学归纳法来求解.四、累加法递推公式为 ，其中的和比较易求 ，通常解法是把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。例4. 若

4、在数列中，求通项。解析：由得，所以，将以上各式相加得：，又所以 =针对性训练：已知数列中，求的通向公式解： 由已知得， 令，代入个等式累加，即 五、累乘法推公式为。解法：把原递推公式转化为，利用累乘法求解。例5 已知数列满足，求的通向公式。 解：由条件知，分别令n=1，2，3，(n-1)，代入上式得(n-1)个等式累乘之，即 针对性训练：设是首项为1的正项数列，且（=1，2， 3，），则它的通项公式是=_.解：已知等式可化为：()(n+1), 即时，=.评注：本题是关于和的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到与的更为明显的关系式，从而求出.六、辅助数列法6.1形如型（1）若

5、，即（其中p，q均为常数，）。解法：一般采用待定系数法将原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解例6 已知数列中，求。解： 令与已知比较，得，所以，数列是以为首项，2为公比的等比数列所以 即 (2)若(其中k,b是常数，且)求通项方法有以下两种方向：.相减法例7.在数列中，求通项.解：， 时，两式相减得 .令,则利用类型5的方法知即 再由累加法可得.亦可联立 解出.待定系数法例8. 在数列中，,求通项.解：原递推式可化为比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为所以是一个等比数列，首项,公比为. 即：故.(3)若(其中q是常数，且n0,1)若p=1时，即：，累加即可.若时，即：，

6、求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以.即： ,令，则,然后类型1，累加求通项.ii.两边同除以 . 即： ,令,则可化为.然后转化为类型5来解，iii.待定系数法：设.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项.例9.（2003天津理）设为常数，且证明对任意1，； 证法1：两边同除以（-2）,得令,则=.证法2：由得 .设，则b. 即：,所以是以为首项，为公比的等比数列.则=,即：,故 .评注：本题的关键是两边同除以3，进而转化为的类型，构造出新的等比数列，从而将求一般数列的通项问题转化为求等比数列的通项问题.证法3：用待定系数法设, 即:,比较系数得：,所以 所以,所以数列是公比为2，首

7、项为的等比数列. 即 .方法4：本题也可用数学归纳法证.（i）当n=1时，由已知a1=12a0，等式成立； ( ii)假设当n=k（k1）等式成立，则 那么 也就是说，当n=k+1时，等式也成立. 根据（i）和（ii），可知等式对任何nn，成立. 规律： 类型共同的规律为：两边同除以，累加求和，只是求和的方法不同.6.2形如型（1）即 取倒数法.例10. 已知数列中，求通项公式。 解：取倒数： 6.3形如型方法：不动点法:我们设,由方程求得二根x,y,由有同理,两式相除有,从而得,再解出即可.例11. 设数列an满足,求an的通项公式.分析：此类问题常用参数法化等比数列求解.解：对等式两端同时

8、加参数t,得：,令, 解之得t=1,-2 代入得,相除得,即是首项为，公比为的等比数列, =, 解得. 6.4形如(其中p,r为常数)型（1）p>0， 用对数法.例12. 设正项数列满足，（n2）.求数列的通项公式.解：两边取对数得：，设，则 是以2为公比的等比数列， ，练习 数列中，（n2），求数列的通项公式. 答案：（2）p<0时 用迭代法.例13.（2005江西卷）已知数列，（1）证明 （2）求数列的通项公式an.解：（1）略（2）所以 又bn=1，所以.方法2：本题用归纳-猜想-证明，也很简捷，请试一试.解法3：设c，则c,转化为上面类型（1）来解.总之，求数列通向公式的方法并不满足以上所述，对于同一问题的求解也不仅是一种方法，只有在平时学习与探究过程中不断地体会与总结，将知识与方法学活，才可以做到游刃有余。参考文献1高慧明.数列通项的求法在2008年高考中的展示.j试题与研究,2008,20.2龙志明.数列通项公式的九种求法.j求学,2005,11.3陈云烽.递推数列