2011年高考数学最后压轴大题系列--函数与导数

1、做好题，得高分，精选习题，真给力！2011年高考数学最后压轴大题系列-函数与导数1.已知函数，的最小值恰好是方程的三个根，其中（1）求证：；（2）设，是函数的两个极值点若，求函数的解析式.解：（1）三个函数的最小值依次为，2分由，得 ，故方程的两根是，故，5分，即 7分（2）依题意是方程的根，故有，且，得由10分 ；得，由（1）知，故， ， 14分2.设函数. （）求函数f（x）的单调区间和极值； （）若对任意的不等式| f（x）|a恒成立，求a的取值范围.解：（）（1分）令得的单调递增区间为（a,3a）令得的单调递减区间为（，a）和（3a，+）（4分）当x=a时，极小值=当x=3a时，极小值

2、=b. （6分） （）由|a，得ax2+4ax3a2a.（7分）0<a<1，a+1>2a.上是减函数. （9分）于是，对任意，不等式恒成立，等价于又（12分）3.已知函数与的图象都过点p(2，0)，且在点p处有公共切线(1)求f(x)和g(x)的表达式及在点p处的公切线方程；(2)设，其中，求f(x)的单调区间解：(1)过点a=-8, 2分切线的斜率3分 的图像过点4b+2c=0, ,解得：b=8,c=-164分 5分切线方程为即16x-y-32=06分(2) 8分 当m<0时，m<0 9分 又x>1 当时 当时 f(x)的单调减区间是 f(x)的单调增区间

3、是(1，)11分 即m<0时，f(x)的单调递增区间是(1，)，单调减区间是(，) l2分4已知函数 （）若，求的极大值； （）若在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k的取值范围.解：（）定义域为 2分令 由由 4分即上单调递增，在上单调递减时，f(x)取得极大值 6分 （）的定义域为(0+) 由g (x)在定义域内单调递减知：在(0+)内恒成立 8分令，则 由当时为增函数当时 为减函数 10分当x = e时，h(x)取最大值故只需恒成立，又当时，只有一点x = e使得不影响其单调性 12分5.已知函数 （i）求f(x)在0，1上的极值； （ii）若对任意成立，求实数a的取值范围； （

4、iii）若关于x的方程在0，1上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围.解：（i），令（舍去）单调递增；当单调递减. 上的极大值 （ii）由得设，依题意知上恒成立， 上单增，要使不等式成立，当且仅当 （iii）由令，当上递增；上递减而，恰有两个不同实根等价于 12分6. 已知函数f(x)=-x3+x2+b|x-1|+c ()若函数f(x)是r上减函数，试确定实数b的取值范围； ()设f (x)在x=2时取极值，过点(0,2)作与f (x)相切的直线，问是否至少存在两条与f (x)相切的直线，若存在，试求出c的取值范围，若不存在，说明理由。解：()当x1时，f(x)=-x3+x2+b(x-1)+

5、c，f(x)=-3x2+x+b0恒成立，则b3x2-x恒成立，由于3x2-x=3(x-)2-(x1)，因此当x=1时，3x2-x有最小值2, b， 又f(x)在x=1处连续 b的取值范围是b2()f(x)在x=2时取极值，而当x1时，f(x)=-3x2+x+bf(x)=-x3+x2+10·|x-1|+c=若存在直线过点(0,2)与f(x)相切，设切点为(x，y)由于f(x)在r上连续，但在x=1处不可导，易知在x=1处切线不存在当x>1时，f(x)=-3x2+x+10，则-3x+x+10=，即(-3x+x+10)·x=-x+x+10(x-1)+c-2，得-2x+x+1

6、2=c(*)构造函数g(x)=-2x3+x2+12，g(x)=-6x2+x=-6(x-)2+，(x>1)g(x)<0，g(x)=-2x3+x2+12在x>1时单调递减，因此g(x)<g(1)=，c<，此时方程(*)有唯一解当x<1时，f (x)=-3x2+x-10，则-3x+x-10=，即(-3x+x+10)·x=-x+x+10(x-1)+c-2，得-2x+x+12=c(*)构造函数h(x)=-2x3+x2-8，h(x)=-6x2+x=-6(x-)2+,(x<1)若x<0，则h(x)<0，此时h(x)单调递减若x(0，)，则h(x

7、)>0，此时h(x)单调递减若x(，1)，则h(x)<0，此时h(x)单调递减经计算h(0)=-8，h(1)=-，h()=-8+当x<1时，h(x)>-若c(-,-8)，方程(*)有一解； 若c=-8，方程(*)有两解； 若c(-8，)，方程(*)有三解； 若c=-，方程(*)有两解；若c(-,+)，方程(*)有一解；c>-,方程(*)至少有一解；7.设函数 （i）若存在使不等式能成立，求实数m的最小值； （ii）关于的方程上恰有两个相实根，求实数a的取值范围.解：（i）依题意得6分 （ii）依题意得，上恰有两个相异实根，令故在0，1上是减函数，在上是增函数，12

8、分8设是函数的两个极值点，且 （）求a的取值范围； （）求证：.解证：（i）易得1分的两个极值点的两个实根，又a03分7分（）设则由上单调递增10分12分9已知a、b、c是直线l上的三点，向量，满足：y2f /(1)ln(x1)0.（1）求函数yf(x)的表达式；（2）若x0，证明：f(x)；（3）若不等式x2f(x2)m22bm3时，x1，1及b1，1都恒成立，求实数m的取值范围解：(1)y2f /(1)ln(x1)0，y2f /(1)ln(x1)由于a、b、c三点共线即y2f /(1)ln(x1)12分yf(x)ln(x1)12f /(1)f /(x)，得f /(1)，故f(x)ln(x1

9、)4分（2）令g(x)f(x)，由g/(x) x0，g/(x)0，g(x)在(0，)上是增函数6分故g(x)g(0)0 即f(x)8分（3）原不等式等价于x2f(x2)m22bm3令h(x)x2f(x2)x2ln(1x2)，由h/(x)x10分 当x1，1时，h(x)max0，m22bm30令q(b)m22bm3，则得m3或m312分.10已知函数(1)求函数的单调递减区间；(2)若，求证：x(1)解：函数f (x)的定义域为(1，+)2分由 得：，x0f (x)的单调递减区间为(0，+)4分(2)证明：由(1)得x(1，0)时，当x(0，+)时，且x1时，f (x)f (0)，0，x8分 令

10、，则10分1x0时，x0时，且x1时，g (x)g (0)，即012分，x1时，x13分11已知其中是自然常数，（1）讨论时, 的单调性、极值;（2）求证：在（1）的条件下，（3）是否存在实数，使的最小值是3，如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由。解（1） 当时，此时为单调递减当时，此时为单调递增的极小值为 （4分）（2）的极小值，即在的最小值为1 令又 当时在上单调递减 （8分）当时，（3）假设存在实数，使有最小值3，当时，由于，则函数是上的增函数解得（舍去） （10分）当时，则当时，此时是减函数当时，此时是增函数解得 （13分）由、知，存在实数，使得当时有最小值3（14分）12设 f

11、(x) = px2 ln x，且 f (e) = qe2（e为自然对数的底数）(i)求 p 与 q 的关系；(ii)若 f (x) 在其定义域内为单调函数，求 p 的取值范围；(iii)设 g(x) = ，若在 1,e 上至少存在一点x0，使得 f (x0) > g(x0) 成立, 求实数 p 的取值范围.解：(i) 由题意得 f (e) = pe2ln e = qe2 1分 Þ (pq) (e + ) = 0 2分而 e + 0p = q 3分(ii)由 (i) 知 f (x) = px2ln x f(x) = p + = 4分令 h(x) = px 22x + p，要使 f

12、 (x) 在其定义域 (0,+¥) 内为单调函数，只需 h(x) 在 (0,+¥) 内满足：h(x)0 或 h(x)0 恒成立. 5分 当 p = 0时， h(x) = 2x， x > 0， h(x) < 0， f(x) = < 0，f (x) 在 (0,+¥) 内为单调递减，故 p = 0适合题意. 6分 当 p > 0时，h(x) = px 22x + p，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为 x = (0,+¥)，h(x)min = p只需 p1，即 p1 时 h(x)0，f(x)0f (x) 在 (0,+¥) 内为

13、单调递增，故 p1适合题意. 7分 当 p < 0时，h(x) = px 22x + p，其图象为开口向下的抛物线，对称轴为 x = Ï (0,+¥)只需 h(0)0，即 p0时 h(x)0在 (0,+¥) 恒成立.故 p < 0适合题意. 8分综上可得，p1或 p0 9分另解：(ii)由 (i) 知 f (x) = px2ln x f(x) = p + = p (1 + ) 4分要使 f (x) 在其定义域 (0,+¥) 内为单调函数，只需 f(x) 在 (0,+¥) 内满足：f(x)0 或 f(x)0 恒成立. 5分由 f(x)

14、0 Û p (1 + )0 Û p Û p()max，x > 0 = 1，且 x = 1 时等号成立，故 ()max = 1p1 7分由 f(x)0 Û p (1 + )0 Û p Û p()min，x > 0而 > 0 且 x 0 时， 0，故 p0 8分综上可得，p1或 p0 9分(iii)g(x) = 在 1,e 上是减函数x = e 时，g(x)min = 2，x = 1 时，g(x)max = 2e即g(x) Î 2,2e 10分 p0 时，由 (ii) 知 f (x) 在 1,e 递减 Þ f (x)max = f (1) = 0 < 2，不合题意。 11分 0 < p < 1 时，由x Î 1,e Þ x0f (x) = p (x)2ln xx2ln x右边为 f (x) 当 p = 1 时的表达式，故在 1,e 递增 f (x)x2ln xe2ln e = e2 &l