20202021高中数学第二章平面向量4平面向量的坐标学案北师大版必修4经典实用

1、§4平面向量的坐标内容要求1.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算，并能将向量的几何运算和代数运算灵活地结合起来解决一些平面向量的计算(重点).2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件，并能正确地进行有关计算(难点)知识点1平面向量的坐标表示(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，a为坐标平面内的任意向量，以坐标原点o为起点作a.由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得xiyj，因此axiyj.我们把实数对(x，y)叫作向量的坐标，记作a(

2、x，y)(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若a(x，y)，则(x，y)，若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)【预习评价】1(正确的打“”，错误的打“×”)(1)相等向量的坐标相同；()(2)平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；()(3)一个坐标对应于唯一的一个向量；(×)(4)平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应()2相等向量的坐标相同吗？相等向量的起点、终点的坐标一定相同吗？提示由向量坐标的定义知：相等向量的坐标一定相同，但是相等向量的起点、终点的坐标可以不同知识点2平面向量的坐标运算(1)若a(x1，y1)，b(x2，

3、y2)，则ab(x1x2，y1y2)，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和(2)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差(3)若a(x，y)，r，则a(x，y)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标(4)已知向量的起点a(x1，y1)，终点b(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)【预习评价】(1)若a(2，1)，b(1,3)，则的坐标是()a(1,2)b(1，2)c(3,4)d(3，4)(2)若向量a(2,3)，b(1,2)，则ab的坐标为()a(1,5)b(1,1)c(3,1)d(3,5)答

4、案(1)c(2)c知识点3向量平行的坐标表示设a，b是非零向量，且a(x1，y1)，b(x2，y2)(1)当ab时，有x1y2x2y10.(2)当ab且b不平行于坐标轴，即x20，y20时，有.即若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标成比例；若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行【预习评价】1平面向量a(1，2)，b(2，x)，若ab，则x_.答案42已知向量a(2，6)，b(1，)，若ab，则_解析ab，260，解得3，当3时，b(1，3)，a2b，ab成立答案3题型一平面向量的坐标表示【例1】已知边长为2的正三角形abc，顶点a在坐标原点，ab边在x轴上，c在第一象限，d为a

5、c的中点，分别求向量，的坐标解如图，正三角形abc的边长为2，则顶点a(0,0)，b(2,0)，c(2cos 60°，2sin 60°)，c(1，)，d(，)，(2,0)，(1，)，(12，0)(1，)，(2，0)(，)规律方法(1)向量的坐标等于终点的坐标减去起点的相应坐标，只有当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标(2)求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算【训练1】若已知a(1,2)，b(0，1)，c(3，k)(1)求；(2)若已知(m，2)，试求k、m.解(1)a(1,2)，b(0，1)，(1，3)(

6、2)(1，3)(3，k1).由已知(m，2)，m，k.题型二平面向量坐标的线性运算【例2】已知三点a(2,3)，b(5,4)，c(7,10)，点p满足(r)(1)为何值时，点p在函数yx的图像上？(2)设点p在第三象限，求的取值范围解设p(x，y)，则(x2，y3)(52,43)(72,103)(3,1)(5,7)(35，17)，点p的坐标是(55，47)(1)令5547，可得，当时，点p在函数yx的图像上(2)点p在第三象限，解得1.的取值范围是|1规律方法1.向量的坐标表示法，可以使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题的解决就可以转化为我们熟知的数量运算2如果两个向

7、量是相等向量，那么它们的坐标一定对应相等【训练2】已知点o(0,0)，a(1,2)，b(4,5)及t，试问：(1)当t为何值时，p在x轴上、p在y轴上、p在第三象限？(2)四边形oabp是否能成为平行四边形？若能，则求出t的值；若不能，说明理由解(1)由t(13t,23t)，则p(13t,23t)若p在x轴上，则23t0，所以t；若p在y轴上，则13t0，所以t；若p在第三象限，则所以t.(2)因为(1,2)，(33t,33t)，若oabp是平行四边形，则，所以此方程组无解故四边形oabp不可能是平行四边形方向1向量共线的判定【例31】已知a(2,1)，b(0,4)，c(1,3)，d(5，3)

8、判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？解(0,4)(2,1)(2,3)(5，3)(1,3)(4，6)方法一(2)×(6)3×40，且(2)×4<0，与共线且方向相反方法二2，与共线且方向相反方向2利用向量共线求参数【例32】已知a(1,2)，b(3,2)，当k为何值时，kab与a3b平行？平行时它们是同向还是反向？解方法一kabk(1,2)(3,2)(k3,2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10，4)当kab与a3b平行时，存在唯一的实数，使kab(a3b)，即(k3,2k2)(10，4)，解得k.当k时，kab与a3b平行，这时kab(a

9、3b)ab.<0，kab与a3b反向方法二由方法一知kab(k3,2k2)，a3b(10，4)kab与a3b平行，(k3)×(4)10(2k2)0，解得k.此时kab(a3b)当k时，kab与a3b平行，并且反向方向3向量共线的综合应用【例33】如图，已知点a(4,0)，b(4,4)，c(2,6)，o(0,0)，求ac与ob的交点p的坐标解方法一由题意知p，b，o三点共线，可设(4，4)，则(44,4)，(2,6)，由与共线，得(44)×64×(2)0，解得，(3,3)，p(3,3)即为所求方法二设p(x，y)，则(x，y)，且(4,4)，又与共线，xy.又

10、(x4，y)，(2,6)，与共线，则得(x4)×6y×(2)0，解得xy3，即p点坐标为(3,3)规律方法1.由向量共线求参数的值的方法：2ab的充要条件有两种表达方式：(1)ab(b0)ab(r)；(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10.两种充要条件的表达形式不同第(1)种是用线性关系的形式表示的，而且有前提条件b0，而第(2)种无b0限制.课堂达标1已知平面向量a(1,1)，b(1，1)，则向量ab等于()a(2，1)b(2,1)c(1,0)d(1,2)解析ab(1,1)(1，1)(1,2)答案d2已知向量a(1,1)，b(x2，x2)，若

11、a，b共线，则实数x的值为()a1b2c1或2d1或2解析由题意知，1·(x2)x2·10，即x2x20，解得x1或x2.答案d3已知向量a(2，3)，b(1,2)，p(9,4)，若pmanb，则mn_.解析由解得答案74已知向量(k,12)，(4,5)，(10，k)，如果a、b、c三点共线，则实数k_.解析(k,12)，(4,5)，(10，k)，(4k，7)，(6，k5)，a、b、c三点共线，(4k)(k5)(7)×60，解得k2或k11.答案2或115已知点a(1，3)，b(1,1)，直线ab与直线xy50交于点c，求点c的坐标解设点c(x，y)a、b、c三点

12、共线，(2,4)(2，4)(x1，y3)(2，4)，c(21,43)把点c(21,43)代入xy50得(21)(43)50，解得.c(2,3)课堂小结1在平面直角坐标系中，向量的坐标与点的坐标形式相同，但意义不同它们之间的对应关系：有序实数对(x，y)向量点a(x，y)2通过平面向量的坐标表示和运算，应着重体会用向量处理问题的两种方法：向量法和坐标法体会数形结合思想的指导作用，体会向量在解决问题中的工具性作用3两个向量共线条件的表示方法已知a(x1，y1)，b(x2，y2)(1)当b0时，ab.(2)x1y2x2y10.(3)当x2y20时，即两向量的相应坐标成比例.基础过关1已知ab(1,2

13、)，ab(4，10)，则a等于()a(2，2)b(2,2)c(2,2)d(2，2)答案d2若a(2cos ，1)，b(sin ，1)，且ab，则tan 等于()a2b.c2d解析ab，2cos ×1sin .tan 2.故选a.答案a3已知向量a(1,2)，b(2,3)，c(3,4)，且c1a2b，则1，2的值分别为()a2,1b1，2c2，1d1,2解析由解得答案d4已知点a(1,3)，b(4，1)，则与向量同方向的单位向量为_解析(4，1)(1,3)(3，4)，与同方向的单位向量为.答案5若三点p(1,1)，a(2，4)，b(x，9)共线，则x的值为_解析(1，5)，(x1，10

14、)，p、a、b三点共线，与共线1×(10)(5)×(x1)0，解得x3.答案36已知a(2,1)，b(1,3)，c(1,2)，求p2a3bc，并用基底a、b表示p.解p2a3bc2(2,1)3(1,3)(1,2)(4,2)(3,9)(1,2)(2,13)设pxayb，则有解得pab.7已知(3,4)，(7,12)，(9,16)，求证：a，b，c三点共线证明(4,8)，(6,12)，即与共线又与有公共点a，a，b，c三点共线能力提升8已知向量集合ma|a(1,2)(3,4)，r，na|a(2，2)(4,5)，r，则mn等于()a(1,1)b(1,1)，(2，2)c(2，2)d

15、解析令(1,2)1(3,4)(2，2)2(4,5)，即(131,241)(242，252)解得故m与n只有一个公共元素(2，2)答案c9已知a、b、c三点在一条直线上，且a(3，6)，b(5,2)，若c点的横坐标为6，则c点的纵坐标为()a13b9c9d13解析设c点坐标(6，y)，则(8,8)，(3，y6)a、b、c三点共线，y9.答案c10在平面直角坐标系xoy中，已知a(1,0)，b(0,1)，点c在第一象限内，aoc，且oc2，若，则的值是_解析由题意，知(1,0)，(0,1)设c(x，y)，则(x，y)因为，所以(x，y)(1,0)(0,1)(，)，所以又因为aoc，oc2，所以x2

16、cos，y2sin1，所以1.答案111对于任意的两个向量m(a，b)，n(c，d)，规定运算“”为mn(acbd，bcad)，运算“”为mn(ac，bd)设m(p，q)，若(1,2)m(5,0)，则(1,2)m等于_解析由(1,2)m(5,0)，可得解得所以(1,2)m(1,2)(1，2)(2,0)答案(2,0)12已知向量(4,3)，(3，1)，点a(1，2)(1)求线段bd的中点m的坐标；(2)若点p(2，y)满足(r)，求y与的值解(1)设点b的坐标为(x1，y1)(4,3)，a(1，2)，(x11，y12)(4,3)b(3,1)同理可得d(4，3)设线段bd的中点m的坐标为(x2，y2)，则x2，y21，m.(2)由已知得(3,1)(2，y)(1,1y)，(4，3)(3,1)(7，4)又，(1,1y)(7，4)，即13(选做题)已知向量u(x，y)和向量v(y,2yx)的对应关系用vf(u)表示(1)若a(1,1)，b(1,0)，试求向量f(a)及f(b)的坐标；(2)求使f(c)(4,5)的向量c的坐标；(3)对任意向量a，b及常数，证明f(ab)f(a)f(b)(1)解由条件可得u(x，y)v(y,2yx)，则f(a)