不等式的性质与不等式的证明经典实用

1、不等式的性质与不等式的证明一. 教学内容： 不等式的性质与不等式的证明二. 教学重点、难点： 1. 理解不等式的性质及其应用。 2. 掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用。 3. 掌握比较法、分析法、综合法证明简单不等式。三. 知识串讲：（一）不等式的意义和性质 1. 不等式的意义：对于任意实数a，b 不等式的意义是不等式的基础，是比较两个实数的大小及作差法证明不等式的（基础）依据。 2. 不等式的性质 （二）不等式的证明 证明不等式的常用方法：比较法、综合法、分析法、反证法、换元法、放缩法及利用函数单调性等方法。而比较法、综合法和分析法是证明不等式的最基本方法，也是

2、高考命题的重要思想方法。 1. 比较法 比较法是证明不等式的一种最重要、最基本的方法，可分为作差法和作商法。 结论”。其中变形是作差法的关键，常用的变形手段是因式分解或配方。差式若为分式，一般要先通分，再将分子、分母因式分解。 变形与1比较大小结论”，多用在证明幂、指数形式的不等式的时候。 当“差”或“商”式中含有参数或符号不能一概而论时，要进行讨论。 2. 综合法 由题设条件以及已知的定义、公理、定理不断推导出所证命题成立的必要条件（由因导果）直至推导出命题的结论，这种证明方法叫综合法。 在证明过程中，常用的结论： 平均值不等式： 它们的变形也要熟知： 在使用平均值不等式时，一定要注意它们的

3、成立条件。 3. 分析法 从待证的不等式出发，寻求该不等式成立的充分条件的方法叫分析法。即为“执果索因”。 在证明不等式时，经常用分析法探求证明思路，再用综合法表述证明过程，有些不等式的证明需要一边分析，一边综合，在使用分析法证明时，要注意分析过程的步步可逆及书写格式。【典型例题】 例1. 解法1：取差法 解法2：比商法 例2. 解析： 选b 例3. a、b、c、d的大小。 解： 将、进行比较： 、比较： 本题也可以用图象法来解： 图象。 例4. 证明： 例5. 分析： 证明： 左端右端 原不等式成立 例6. 分析：本题若采用比较法和综合法难度大，故采用分析法探求证法。 证明： 例7. 在两个

4、正数x，y之间插入一个正数a，使x，a，y成等比数列；若另外插入两个正数b，c使x，b，c，y成等差数列。 证明： 例8. （1）解： （2）解： 点评：对于（1）题，如下解法是否正确？ 此种解法是错误的。因为在二次运用平均值不等式中，取“”的条件是矛盾的，因此“”不成立。 对于（2）题，基本思路是借助条件式，化二元函数为一元函数再去运算。 例9. 证明：充分性： 必要性： 综上可知，所证结论成立。 例10. 解： 【模拟试题】一. 选择题。 1. 下列命题中： 其中正确的命题个数是（ ） a. 1个b. 2个c. 3个d. 4个 2. 若，则下列各式中正确的是（ ） a. b. c. d.

5、3. 已知，则（ ） a. b. c. d. 4. 设恒成立的a的最小值是（ ） a. b. c. 2d. 二. 填空题。 5. 若由小到大的排列顺序是_。 6. 若，则p、q关系为p_q（填“”，“”，“”）。 7. 若，则的最大值是_。 8. 已知，那么（填“”或“”）。 9. 已知，且，则的最小值是_。 10. 函数的图象的最低点的坐标是_。三. 解答题。 11已知，求证： 12. 已知，且，求证： （1） （2） 13. 求证： 14. 设，且。 求证：【试题答案】一. 选择题。 1. b2. c3. d4. b二. 填空题。 5. 6. 7. 1 8. 9. 16 10. （0，2）三. 解答题。 11. 略 12. （1）原式左边 （每个因式中利用平均值定理） （2）取差法。注意到。 13. 一边用均值定理，另一边用分析法