初三数学培优材料第一期阅读理解型问题

1、初三数学培优材料第一期阅读与理解主备人：刘炳辉班级 学号 姓名 成绩 阅读理解型问题不同以往的单纯“条件”to“结果”式的题目，往往是先给一个材料，或介绍一个超纲的知识，或给出针对某一种题目的解法，然后再给条件出题。一、基础演练：1（2010广州）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知有一种密码，将英文26个小写字母a，b，c，z依次对应0，1，2，25这26个自然数（见表格），当明文中的字母对应的序号为时，将+10除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文s对应密文c字母abcdefghijklm序号01234567891011

2、12字母nopqrstuvwxyz序号13141516171819202122232425按上述规定，将明文“maths”译成密文后是（ ）awkdrc bwkhtc ceqdjc deqhjc【答案】a2. （2010荆州）若把函数y=x的图象用e（x，x）记，函数y=2x+1的图象用e（x，2x+1）记，则e（x，）可以由e（x，）怎样平移得到？ a向上平移个单位 b向下平移个单位c向左平移个单位 d向右平移个单位【答案】d 3. （2010 珠海）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将(101)2,(1011)2换算成十进制数

3、应为：按此方式，将二进制(1001)2换算成十进制数的结果是_. 【答案】94（2010广东湛江）因为cos30°=，cos210°= ，所以cos210°=cos（180°+30°）cos30° ，因为cos45°= ，cos225° ，所以cos225°cos（180°+45°） ，猜想：一般地，当为锐角时，有cos（180°+）cos，由此可知cos240°的值等于 .【答案】： 【答案】2 5（2010湖北黄石）若自然数n使得作竖式加法n(n1)(n2)均不

4、产生进位现象，则称n为“可连数”，例如32是“可连数”，因为323334不产生进位现象；23不是“可连数”，因为232425产生了进位现象，那么小于200的“可连数”的个数为 .【答案】24二、例题精讲：例题1.(09年河北省中考试题)（12分）如图131至图134，均作无滑动滚动，、均表示与线段ab、bc或弧ab相切于端点时刻的位置，的周长为，请阅读下列材料：如图131，从的位置出发，沿ab滚动到的位置，当ab时，恰好自转1周。如图132，abc相邻的补角是n°, 在abc外部沿abc滚动，在点b处，必须由的位置转到的位置，绕点b旋转的角= n°, 在点b处自转周。解答以

5、下问题：在阅读材料的中，若ab2，则自转 周；若ab，则自转 周。在阅读材料的中，若abc120°，则在点b处自转 周；若abc60°，则在点b处自转 周。如图133，abc的周长为，从与ab相切于点d的位置出发，在abc外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与ab相切于点d的位置，自转多少周？ 如图134，半径为2的从半径为18，圆心角为120°的弧的一个端点a（切点）开始先在外侧滚动到另一个端点b（切点），再旋转到内侧继续滚动，最后转回到初始位置，自转多少周？【答案】（1） （2）共自转了()周 （3）一共自转了7圈例题2.（2010江苏常州）小明在研究苏教版

6、有趣的坐标系后，得到启发，针对正六边形oabcde，自己设计了一个坐标系如图，该坐标系以o为原点，直线oa为轴，直线oe为轴，以正六边形oabcde的边长为一个单位长。坐标系中的任意一点p用一有序实数对（）来表示，我们称这个有序实数对（）为点p的坐标。坐标系中点的坐标的确定方法如下：（）轴上点m的坐标为（），其中为m点在轴上表示的实数；（）轴上点n的坐标为（），其中为n点在）轴上表示的实数；（）不在、轴上的点q的坐标为（），其中为过点q且与轴平行的直线与轴的交点在轴上表示的实数，为过点q且与轴平行的直线与轴的交点在轴上表示的实数。则：（1）分别写出点a、b、c的坐标（2）标出点m（2，3）的位

7、置；（3）若点为射线od上任一点，求与所满足的关系式。【答案】例题3.我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中,任意两点p(x1，y1)、q(x2，y2)的对称中心的坐标为（，）.观察应用：（1）如图，在平面直角坐标系中，若点p1(0，1)、p2(2，3)的对称中心是点a，则点a的坐标为；（2）另取两点b(1.6，2.1)、c(1，0).有一电子青蛙从点p1处开始依次关于点a、b、c作循环对称跳动，即第一次跳到点p1关于点a的对称点p2处，接着跳到点p2关于点b的对称点p3处，第三次再跳到点p3关于点c的对称点p4处，第四次再跳到点p4关于点a的对称点p5处，则p

8、3、p8的坐标分别为，;拓展延伸： （3）求出点p2012的坐标，并直接写出在x轴上与点p2012、点c构成等腰三角形的点的坐标.xyocp2bp1【答案】解：设a、p3、p4、pn点的坐标依次为(x，y)、(x3，y3)、(x4，y4)、(xn，yn)(n3，且为正整数).（1）p1(0，1)、p2(2，3)，x1，y1，a（1，1）.2分（2）点p3与p2关于点b成中心对称，且b(1.6，2.1),1.6，2.1，解得x35.2，y31.2，p3(5.2，1.2). 4分点p4与p3关于点c成中心对称，且c(1，0),1，0，解得x43.2，y41.2，p4(3.2，1.2) .同理可得p

9、5(1.2，3.2)p6(2，1)p7(0，1)p8 (2, 3).6分（3）p1(0，1)p2(2，3)p3(5.2，1.2).p4(3.2，1.2)p5(1.2，3.2)p6(2，1)p7(0，1)p8 (2, 3) p7的坐标和p1的坐标相同，p8的坐标和p2的坐标相同，即坐标以6为周期循环， 2012÷63352，p2012的坐标与p2的坐标相同，为p2012 (2，3);8分在x轴上与点p2012、点c构成等腰三角形的点的坐标为（31,0），（2,0），（31,0），（5,0）.12分例题4.（2010江苏 镇江）深化理解（本小题满分9分） 对非负实数x“四舍五入”到个位的

10、值记为即：当n为非负整数时，如果如：<0>=<0.48>=0，<0.64>=<1.493>=1，<2>=2，<3.5>=<4.12>=4，试解决下列问题： （1）填空：= （为圆周率）； 如果的取值范围为 ； （2）当；举例说明不恒成立； （3）求满足的值； （4）设n为常数，且为正整数，函数范围内取值时，函数值y为整数的个数记为的个数记为b. 求证：【答案】（1）3；（1分）； （2分） （2）证明： 法一设为非负整数； （3分）为非负整数， （4分）法二设为其小数部分.举反例：不一定成立.（5分） （3）法

11、一作的图象，如图28 （6分） （注：只要求画出草图，如果没有把有关点画成空心点，不扣分） （7分）法二 （4）为整数，当的增大而增大， （8分）则 比较，得： （9分）例题6请阅读下列材料：问题：如图1，在等边三角形abc内有一点p，且pa=2， pb=， pc=1求bpc度数的大小和等边三角形abc的边长李明同学的思路是：将bpc绕点b顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）连接pp，可得ppb是等边三角形，而ppa又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）所以apc=150°，而bpc=apc=150°进而求出等边abc的边长为问题得到解决请你参考李明同学

12、的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形abcd内有一点p，且pa=，bp=，pc=1求bpc度数的大小和正方形abcd的边长图2图3图1【思路分析】首先仔细阅读材料，问题中小明的做法总结起来就是通过旋转固定的角度将已知条件放在同一个（组）图形中进行研究。旋转60度以后bp就成了bp,pc成了pa,借助等量关系bp=pp,于是app就可以计算了.至于说为什么是60°,则完全是因为大图形是等边三角形,需要用60度去构造另一个等边三角形。看完这个，再看所求的问题，几乎是一个一模一样的问题，只不过大图形由三角形变成了正方形。那么根据题中所给的思路，很自然就会想到将bpc旋转90度看看行

13、不行。旋转90度之后，成功将pc挪了出来，于是很自然做ap延长线，构造出一个直角三角形来，于是问题得解。说实话如果完全不看材料，在正方形内做辅助线，当成一道普通的线段角计算问题也是可以算的。但是借助材料中已经给出的旋转方法做这道题会非常简单快捷。大家可以从本题中体会一下领会材料分析方法的重要性所在。【解析】（1）如图，将bpc绕点b逆时针旋转90°，得bpa，则bpcbpaap=pc=1，bp=bp=连结p p，在rtbpp中， bp=bp=，pbp=90°， p p=2，bpp=45° 在app中， ap=1，p p=2，ap=， ，即ap 2 + pp 2 =

14、 ap2 app是直角三角形，即a p p=90° apb=135° bpc=apb=135° （2）过点b作beap 交ap 的延长线于点e ep b=45°. ep=be=1. ae=2. 在rtabe中，由勾股定理，得ab= bpc=135°，正方形边长为例题7若是关于的一元二次方程的两个根，则方程的两个根和系数有如下关系：. 我们把它们称为根与系数关系定理. 如果设二次函数的图象与x轴的两个交点为.利用根与系数关系定理我们又可以得到a、b两个交点间的距离为：请你参考以上定理和结论，解答下列问题:设二次函数的图象与x轴的两个交点为，抛物线

15、的顶点为，显然为等腰三角形.（1）当为等腰直角三角形时，求（2）当为等边三角形时， .（3）设抛物线与轴的两个交点为、，顶点为，且,试问如何平移此抛物线，才能使？【思路分析】本题也是较为常见的类型，即先给出一个定理或结论，然后利用它们去解决一些问题。题干中给出抛物线与x轴的两交点之间的距离和表达式系数的关系,那么第一问要求取何值时abc为等腰直角三角形.于是我们可以想到直角三角形的性质就是斜边中线等于斜边长的一半.斜边中线就是顶点的纵坐标,而斜边恰好就是两交点的距离.于是将作为一个整体,列出方程求解.第二问也是一样,把握等边三角形底边与中线的比例关系即可.第三问则可以直接利用第一问求得的值求出

16、k,然后设出平移后的解析式,使其满足第二问的结果即可.注意左右平移是不会改变度数的，只需上下即可。【解析】 解：当为等腰直角三角形时，过作，垂足为，则 抛物线与轴有两个交点，（不要忘记这一步的论证）又， ， （看成一个整体） 当为等边三角形时， ，即， 因为向左或向右平移时，的度数不变，所有只需要将抛物线向上或向下平移使，然后向左或向右平移任意个单位即可设向上或向下平移后的抛物线解析式为：，平移后，抛物线向下平移个单位后，向左或向右平移任意个单位都能使的度数由变为 【例3】2010，房山，一模阅读下列材料：小明遇到一个问题：如图1，正方形中，、分别是、和边上靠近、的等分点，连结、，形成四边形求

17、四边形与正方形的面积比（用含的代数式表示）小明的做法是：先取，如图2，将绕点顺时针旋转至，再将绕点逆时针旋转至，得到个小正方形，所以四边形与正方形的面积比是；然后取，如图3，将绕点顺时针旋转至，再将绕点逆时针旋转至，得到个小正方形，所以四边形与正方形的面积比是，即；请你参考小明的做法，解决下列问题：（1）在图4中探究时四边形与正方形的面积比（在图4上画图并直接写出结果）；（2）图5是矩形纸片剪去一个小矩形后的示意图，请你将它剪成三块后再拼成正方形（在图5中画出并指明拼接后的正方形）都是矩形图11图2图1图3图4图5【思路分析】本题属于典型的那种花10分钟读懂材料画1分钟就可以做出来题的类型。材

18、料给出的方法相当精妙，考生只要认真看过去并且理解透这个思路，那么不光是这道题可以做，以后碰见类似的题目都可以用这种方法。材料中所给方法就是将周边的四个三角形其中的两个旋转90°，将三角形放在矩形当中去讨论面积。事实上无论是几等分点，所构造出来的四个小三角形amd，abn，bpc，cqd都是全等的，并且都是90度，那么他们旋转以后所对应的就是两个矩形，如图三中的bnpc和cmdq。而矩形的面积恰好和中间正方形的面积有联系（想想看，是怎样用n等分点去证明面积比例的）于是顺理成章当n等于4的时候，去构造一个类似的网格，第一问就出来了。至于第二问和裁剪问题沾点边，完全就是这个技巧方法的逆向思

19、考，重点就在于找出这个多边形是由哪几部分构成。于是按下图，连接bc，截外接矩形为两个全等的直角三角形，然后旋转即可。说白了，这种带网格的裁剪题，其实最关键的地方就在于网格全是平行线，利用平行线截线段的比例性质去找寻答案。【解析】 四边形与正方形的拼接后的正方形是正方形面积比是 【例4】2010，海淀，一模阅读：如图1，在和中，, ,、 四点都在直线上，点与点重合.连接、，我们可以借助于和的大小关系证明不等式：（）.证明过程如下: ,.即. .解决下列问题：（1）现将沿直线向右平移，设,且.如图2,当时, .利用此图,仿照上述方法,证明不等式：（）.（2）用四个与全等的直角三角形纸板进行拼接，也

20、能够借助图形证明上述不等式.请你画出一个示意图，并简要说明理由.【思路分析】本题是均值不等式的一种几何证明方法。材料中的思路就是利用两个共底三角形的面积来构建不等式，利用来证明。其中需要把握的几个点就是（b-a）是什么，以及如何通过(b-a)来造出。首先看第一问说要平移def，在平移过程中，de的长度始终不变，ef垂直于m的关系也始终不变。那么此时（b-a）代表什么？自然就是bd和ed之和了。于是看出k值。接下来就是找那两个可以共底的三角形，由于材料所给提示，我们自然想到用bd来做这个底，而高自然就是ab和ef。于是连接ad，abd和bdf的面积就可以引出结果了。第二问答案不唯一，总之就是先调

21、整出（b-a）可以用什么来表达，然后去找b和a分别和这个（b-a）的关系，然后用面积来表达出的式子就可以了，大家可以继这个思路多想想。【解析】（1） 证明：连接、.可得. ，. ， ，即 . . . （2） 延长ba、fe交于点i. ， ，即 . . . 四个直角三角形的面积和，大正方形的面积. ， . . 【例5】2010，昌平，一模。阅读下列材料:将图1的平行四边形用一定方法可分割成面积相等的八个四边形，如图2，再将图2中的八个四边形适当组合拼成两个面积相等且不全等的平行四边形.（要求：无缝隙且不重叠）请你参考以上做法解决以下问题：（1）将图4的平行四边形分割成面积相等的八个三角形；（2）

22、将图5的平行四边形用不同于（1）的分割方案，分割成面积相等的八个三角形，再将这八个三角形适当组合拼成两个面积相等且不全等的平行四边形，类比图2，图3，用数字1至8标明. 【思路分析】这种拼接裁剪题目往往都是结合在阅读理解题中考察，结合网格，对考生的发散思维要求较强。本题材料中将平行四边形裁减成8份然后重新组成两个平行四边形。要保证平行就需要这些小四边形的边长都是平行且相等的。第一问是面积相等，那么直接利用中点这一个重要条件去做。第二问是分割为能重新组成平行四边形的三角形，那么就要想如何利用三角形去构建平行和相等的关系呢？于是可以想到平行四边形的对角线所分的三角形恰好也就满足这种条件。于是从平行

23、四边形的对角线出发，去拆分出8个小三角形来。具体答案有很多种，在此也不再累述。【总结】这种阅读理解题是近年来中考题的新趋势，如果没有材料直接去做的话，往往得不到思路。但是如果仔细理解材料中所给的内容，那么就会变得非常简单。这种题的重点不在于考察解题能力，而在于考察分析，理解和应用能力。专门去找大量的类似题目去做倒也不必，而培养审题，分析的能力才是最重要的。考生拿到这种题，第一就是要静下心来慢慢看，切记不可图方便而草草看完材料就去做题，如果这样往往冥思苦想半天还要回来看，浪费了大量时间。裁剪问题和拼接问题也是经常出现在此类问题当中的，面对这种题要把握好构成那些等量关系的要素，如中点，n等分点等特

24、殊的元素。综合来说只要仔细理解材料中的意图，那么这一部分的分数十分好拿，考生不用太过担心。第二部分 发散思考【思考1】几何模型：条件：如下左图，、是直线同旁的两个定点问题：在直线上确定一点，使的值最小方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小（不必证明）模型应用：（1） 如图1，正方形的边长为2，为的中点，是上一动点连结，由正方形对称性可知，与关于直线对称连结交于，则的最小值是_；（2） 如图2，的半径为，点在上，是 上一动点，则的最小值是_；（3）如图3，是内一点，分别是上abploabprq图3oabc图2abecpd图1p的动点，则周长的最小值是_【思路分析】利用对称性解题的例题

25、。前两个图形比较简单，利用正方形和圆的对称性就可以了。第三个虽然是求周长，但是只要将这个题看成是从p点到q，然后到r再折回来的距离最小，当成是那种“将军饮马”题目去做就可以了。【思考2】直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形，方法如下:请你用上面图示的方法，解答下列问题：(1)对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形；(2)对任意四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形.(1)【思路分析】材料的方法中，如果延长中位线，并且由底边顶点做中位线的垂线。那么如下图，箭头所指的两个三角形就是全等的，另外一边也是一

26、样，所以这种裁减方法就是利用全等来走。第一问纯属送分，按材料中所给的三角形拆法就可以了。第二问说裁剪梯形，实质上梯形就是由两个三角形组成的，所以随便找一条对角线将梯形拆开，然后按照第一问的思路去做就可以了。【思考3】将图，将一张直角三角形纸片abc折叠，使点a与点c重合，这时de为折痕，cbe为等腰三角形；再继续将纸片沿cbe的对称轴ef折叠，这时得到了两个完全重合的矩形（其中一个是原直角三角形的内接矩形，另一个是拼合成的无缝隙、无重叠的矩形），我们称这样两个矩形为“叠加矩形”.图 图 图（1）如图，正方形网格中的abc能折叠成“叠加矩形”吗？如果能，请在图中画出折痕；（2）如图，在正方形网格中，以给定的bc为一边，画出一个斜三角形abc，使其顶点a在格点上，且abc折成的“叠加矩形”为正方形；（3）如果一个三角形所折成的“叠加矩形”为正方形，那么它必须满足的条件是 ；（4）如果一个四边形一定能折成“叠加矩形”，那么它必须满足的条件是 . 【思路分析】本题虽然给出了一个“叠加矩形”的定义，但是和其他题目相比来说依然是换汤不换药。其实就是先要找出一个矩形，然后再去把三角形或者四边形的锐角部分都轴对称进来即可。但是注意，能叠成这样一个叠加矩形的图形，很重要