大连理工大学信号17_小波分析ppt课件

1、2021-10-29大连理工大学1第第17章章小波分析基础小波分析基础信号处理与数据分析信号处理与数据分析电子信息与电气工程学部电子信息与电气工程学部邱天爽邱天爽2013年年12月月2021-10-29大连理工大学217.1 预备知识预备知识32021-10-29大连理工大学3几个量的说明几个量的说明 表示实数全体；表示实数全体； 表示复数全体；表示复数全体； 表示自然数全体；表示自然数全体； 表示整表示整数全体；数全体； 表示实数或复数域。表示实数或复数域。空间的概念空间的概念 把具有某种性质的元素的集合或具有某种性质的元素组成的一个类把具有某种性质的元素的集合或具有某种性质的元素组成的一个

2、类称为空间。称为空间。RCNZK42021-10-29大连理工大学4距离空间距离空间 设设 是一个非空集，称是一个非空集，称 为距离或空间，是指在为距离或空间，是指在 上定义一个双变量实上定义一个双变量实值函数值函数 ，并满足以下条件：，并满足以下条件： 且且 ，当且仅当，当且仅当 【欧氏空间欧氏空间 】XX( , )x yX( , )0,( , )( , ),( , )( , )( , ), ,x yx yy xx yx zz yx y zX( , )0 x yxy1/221( , )(),nniiixyx yx yn52021-10-29大连理工大学5【酉空间酉空间 】【连续函数空间连续函

3、数空间 】 是区间是区间 上的连续函数的全体。上的连续函数的全体。1/221( , )|,nniiidxyx yx yn , C a b , C a b , a b( , )max | ( )( )|a t btt x yxy62021-10-29大连理工大学6线性赋范空间线性赋范空间 设设 为数域为数域 上的非空集合，若在上的非空集合，若在 中规定了线性运算，并满足结合中规定了线性运算，并满足结合律和分配律，则律和分配律，则 为为 域上的线性空间。域上的线性空间。 满足以下条件：满足以下条件： 称称 为为 的范数。按范数构成线性赋范空间。的范数。按范数构成线性赋范空间。XXKK| 0,| |

4、,| |aaxxxxyxy|xxX72021-10-29大连理工大学7内积空间内积空间 设设 为数域为数域 上的线性空间，若对所有上的线性空间，若对所有 ，则存在，则存在 中唯一确中唯一确定的数与之对应，记为定的数与之对应，记为 ，满足：，满足： 则称则称 是是 与与 的内积。引入了内积的线性空间，称为内积空间。的内积。引入了内积的线性空间，称为内积空间。XKK*,0,abab x yxyx zy zx yy xyx,Xx y,x y,x y82021-10-29大连理工大学8Hilbert空间空间 一个完备的内积空间称为一个完备的内积空间称为Hilbert空间。空间。 Hilbert空间的一

5、个典型例子是平方可积空间空间的一个典型例子是平方可积空间 。 另一个另一个Hilbert空间是平方可和空间空间是平方可和空间 。 是有限维是有限维Hilbert空间。空间。Banach空间空间 Banach空间是完备的赋范线性空间，是空间是完备的赋范线性空间，是Hilbert空间的推广，其范数不一定空间的推广，其范数不一定是由内积来唯一决定的。是由内积来唯一决定的。2()L2( )ln92021-10-29大连理工大学917.2 小波分析原理小波分析原理102021-10-29大连理工大学10引言引言 人类思维的发展：从平静中找变化；从变化中找规律；由规律预测人类思维的发展：从平静中找变化；从

6、变化中找规律；由规律预测未来。未来。 人类思维是非线性的，不是对表面现象的简单反映，而是透过现象人类思维是非线性的，不是对表面现象的简单反映，而是透过现象看本质，从杂乱无章中找出规律。看本质，从杂乱无章中找出规律。 小波（小波（wavelet）分析：）分析： 是宏观定量描述思维过程的工具；是宏观定量描述思维过程的工具； 是求解非线性系统的有力工具；是求解非线性系统的有力工具； 是一种局部时频分析方法。是一种局部时频分析方法。112021-10-29大连理工大学11小波分析的由来小波分析的由来 小波分析是在傅里叶分析和加窗傅里叶分析的基础上发展起来的。小波分析是在傅里叶分析和加窗傅里叶分析的基础

7、上发展起来的。 傅里叶分析：傅里叶分析：1822年，傅里叶的巨著年，傅里叶的巨著“The Analysis Theory of Heat”出版，解决了困扰科学家出版，解决了困扰科学家150年的牛顿微分方程，使得傅里叶分析成年的牛顿微分方程，使得傅里叶分析成为几乎每个研究领域乐于使用的工具。为几乎每个研究领域乐于使用的工具。 傅里叶分析的主要任务：傅里叶分析的主要任务： 用数学语言提出：任何一个周期函数都能表示成一组正弦和余弦用数学语言提出：任何一个周期函数都能表示成一组正弦和余弦函数之和，称为傅里叶级数。其实质是将函数投影在正弦余弦的函数之和，称为傅里叶级数。其实质是将函数投影在正弦余弦的正交

8、基上。正交基上。 解释了这一理论的有用性，对周期解释了这一理论的有用性，对周期/非周期性信号均可。非周期性信号均可。122021-10-29大连理工大学12傅里叶分析的解释傅里叶分析的解释 在信号分析中，傅里叶变换将时间信号变换为频谱；在信号分析中，傅里叶变换将时间信号变换为频谱； 在光学技术中，傅里叶变换将混合光信号分解为光谱。在光学技术中，傅里叶变换将混合光信号分解为光谱。132021-10-29大连理工大学13傅里叶变换的缺点和局限性傅里叶变换的缺点和局限性 是一种全局变换，无法表示信号的时频局部特性是一种全局变换，无法表示信号的时频局部特性 没有反映随时间变化的频率；没有反映随时间变化

9、的频率； 在平方可积以外的空间，变换系数不能刻画信号所在的空间；在平方可积以外的空间，变换系数不能刻画信号所在的空间； 为了从信号函数中提取信息频谱，需要无限的时间长度；为了从信号函数中提取信息频谱，需要无限的时间长度； 对于高频信息，时窗要窄，对于低频信息，时窗要宽。即需要一个对于高频信息，时窗要窄，对于低频信息，时窗要宽。即需要一个灵活可变的时间灵活可变的时间频率窗；频率窗； 对非线性非平稳问题力不从心。对非线性非平稳问题力不从心。142021-10-29大连理工大学14加窗傅里叶变换加窗傅里叶变换（短时傅里叶变换和（短时傅里叶变换和GaborGabor变换）变换） 以固定宽度的滑动窗对信

10、号进行分析，假定非平稳信号在窗函数范以固定宽度的滑动窗对信号进行分析，假定非平稳信号在窗函数范围内是近似平稳的，计算出不同时段的功率谱。围内是近似平稳的，计算出不同时段的功率谱。 表征出信号的局部频谱特性。表征出信号的局部频谱特性。 对于改善傅里叶变换的性质起到一定的作用；对于改善傅里叶变换的性质起到一定的作用； 但其窗属于固定窗，没有很好解决但其窗属于固定窗，没有很好解决T-F局部化问题。局部化问题。152021-10-29大连理工大学15小波分析的概念与意义小波分析的概念与意义 小波分析提供了一种自适应的时域与小波分析提供了一种自适应的时域与频域同时局部化的分析方法。频域同时局部化的分析方

11、法。 无论分析低频还是高频局部信号，它无论分析低频还是高频局部信号，它都能自动调节时频窗，以适应实际分都能自动调节时频窗，以适应实际分析的需求。析的需求。 它可以聚焦到信号时段和频段的任意它可以聚焦到信号时段和频段的任意细节。很适合探测正常信号中夹带的细节。很适合探测正常信号中夹带的瞬态反常现象，并展示其成分。瞬态反常现象，并展示其成分。 称为时频分析显微镜。称为时频分析显微镜。162021-10-29大连理工大学16小波分析的发展小波分析的发展 1910年，年，Haar提出了最早的小波规范正交基，但未体现提出了最早的小波规范正交基，但未体现“小波小波”这这个术语；个术语； 1981年，年，M

12、orlet在在Gabor变换的基础上，首次提出变换的基础上，首次提出“小波分析小波分析”的概的概念，建立了念，建立了Morlet小波；小波； 后来，后来，Morlet（工程师），（工程师），Balian（物理学家），（物理学家），Grossmann（理论（理论物理学家），物理学家），Meyer（数学家）等人联合研究；（数学家）等人联合研究； 最后，最后，Mallat，Daubechies，Chui等人进一步研究发展，奠定了小波等人进一步研究发展，奠定了小波分析的基础。分析的基础。172021-10-29大连理工大学17波与小波波与小波 Bookbooklet；Wavewavelet 所谓所谓“

13、小波小波”就是就是“一段小的波一段小的波”。说它。说它“小小”，是因为它是有限，是因为它是有限时宽的时宽的。说它是说它是“波波”，因为它是振荡的，并且衰减很快。，因为它是振荡的，并且衰减很快。 182021-10-29大连理工大学18小波分析的基本思想小波分析的基本思想 小波变换的理论是近年来兴起的新的数学分支，它是傅立叶变换之后小波变换的理论是近年来兴起的新的数学分支，它是傅立叶变换之后又一里程碑式的发展，解决了很多傅立叶变换不能解决的难题。又一里程碑式的发展，解决了很多傅立叶变换不能解决的难题。 傅立叶变换不能较好地解决突变信号与非平稳信号的问题。傅立叶变换不能较好地解决突变信号与非平稳信

14、号的问题。 小波变换是空间（时间）和频率的局部变换。小波变换是空间（时间）和频率的局部变换。 与傅立叶变换一样，小波变换的基本思想是将信号展开成一族基函数与傅立叶变换一样，小波变换的基本思想是将信号展开成一族基函数的加权和，即用一族函数来表示或逼近信号或函数。这一族函数是通的加权和，即用一族函数来表示或逼近信号或函数。这一族函数是通过基本函数的平移和伸缩构成的。过基本函数的平移和伸缩构成的。 192021-10-29大连理工大学19连续小波变换（连续小波变换（CWT）的定义）的定义基本小波（母小波）基本小波（母小波） 设设 为平方可积函数，若其傅里叶变换为平方可积函数，若其傅里叶变换 满足：满

15、足： 则称则称 为一个基本小波，又称为小波基函数，或小波核函数，或母为一个基本小波，又称为小波基函数，或小波核函数，或母小波。小波。 上式称为小波函数的允许条件，上式称为小波函数的允许条件， 还需满足约束条件：还需满足约束条件： 表明表明 需为振荡波形，且应选择快速衰减的短波形。需为振荡波形，且应选择快速衰减的短波形。( ) t( ) 2|( )|d|RC ( ) t( ) t|( )|d,( )d0tttt ( ) t202021-10-29大连理工大学20连续小波变换（连续小波变换（CWT）的定义）的定义 将基本小波伸缩、平移后，得到一个小波序列：将基本小波伸缩、平移后，得到一个小波序列：

16、 对于任意平方可积信号对于任意平方可积信号 ，其连续小波变换定义为：，其连续小波变换定义为： 其中：其中： 分别称为尺度参数和平移参数。小波分别称为尺度参数和平移参数。小波 是母小波是母小波 经过经过时间平移时间平移b和尺度伸缩和尺度伸缩a变换而来的。母小波又称为基本小波，或小波变换而来的。母小波又称为基本小波，或小波基函数。基函数。 a1使基函数展宽，即窗口的时宽增大；使基函数展宽，即窗口的时宽增大；a1使基函数压缩，即窗口的使基函数压缩，即窗口的时宽减小。时宽减小。 a a 的大小改变，小波变换的时间分辨率和频率分辨率都改的大小改变，小波变换的时间分辨率和频率分辨率都改变了。变了。 )(t

17、x*,1WT ( , )( )d( ),( ),0 xa bttba bx ttx ttaaa, a b,( )a bt( ) t,1( )a btbtaa212021-10-29大连理工大学21加窗傅里叶变换与小波变换的比较加窗傅里叶变换与小波变换的比较00.51-101(a) 时间(秒)幅度05010000.51(b) 频率(Hz)幅度00.51-101(c) 时间(秒)幅度05010000.51(d) 频率(Hz)幅度00.51-101(e) 时间(秒)幅度05010000.51(f) 频率(Hz)幅度00.51-101(a) 时间(秒)幅度05010000.51(b) 频率(Hz)幅度

18、00.51-101(c) 时间(秒)幅度05010000.51(d) 频率(Hz)幅度00.51-101(e) 时间(秒)幅度05010000.51(f) 频率(Hz)幅度加窗傅里叶变换的基函数加窗傅里叶变换的基函数小波变换的基函数小波变换的基函数222021-10-29大连理工大学22加窗傅里叶变换与小波变换的比较加窗傅里叶变换与小波变换的比较加窗傅里叶变换的时频平面加窗傅里叶变换的时频平面小波变换的时频平面小波变换的时频平面232021-10-29大连理工大学23说明：说明： 三个小波函数的频带范围分别为三个小波函数的频带范围分别为10 20、20 40、40 80，带宽分别是，带宽分别是

19、10Hz、20Hz、40Hz。 它们在时频平面的网格如上页图所示，可见小波变换在时频平面的不它们在时频平面的网格如上页图所示，可见小波变换在时频平面的不同位置具有不同的时频分辨率，即多分辨率分析能力。同位置具有不同的时频分辨率，即多分辨率分析能力。 从时频平面的网格划分看，较大的尺度参数从时频平面的网格划分看，较大的尺度参数a对应于低频端，频率分辨对应于低频端，频率分辨率较高，时间分辨率较低；较小的尺度参数率较高，时间分辨率较低；较小的尺度参数a对应于高频端，频率分辨对应于高频端，频率分辨率较低，而时间分辨率较高。率较低，而时间分辨率较高。 可见由基小波可见由基小波 生成的小波生成的小波 在小

20、波变换中起着对被分析信号加在小波变换中起着对被分析信号加窗的作用。该窗在时频平面上随位置不同，时宽和频宽相应改变。窗的作用。该窗在时频平面上随位置不同，时宽和频宽相应改变。( ) t,( )a bt242021-10-29大连理工大学24小波基函数满足三个基本要求：小波基函数满足三个基本要求： （1）能够完成对一般函数（信号）进行小波级数展开。）能够完成对一般函数（信号）进行小波级数展开。 （2）具有良好的时频聚集性，即小波的大部分能量聚集在一个有限区）具有良好的时频聚集性，即小波的大部分能量聚集在一个有限区间内。理想情况下，小波基函数在该区间外的能量为零。间内。理想情况下，小波基函数在该区间

21、外的能量为零。 （3）为了便于计算机实现，由该小波作为基函数的小波变换，应该有）为了便于计算机实现，由该小波作为基函数的小波变换，应该有快速算法。快速算法。 252021-10-29大连理工大学25如何选择和构造小波基函数：如何选择和构造小波基函数： 怎样构造和选择小波基函数呢？这是小波分析的重要内容之一，而且怎样构造和选择小波基函数呢？这是小波分析的重要内容之一，而且跟被分析信号有关。跟被分析信号有关。 构造适合特定应用的小波基函数不仅需要较深的理论基础还需要较多构造适合特定应用的小波基函数不仅需要较深的理论基础还需要较多的研究经验。的研究经验。 对于一般的应用者或初学者来说，采用经典小波基

22、函数就可以了。对于一般的应用者或初学者来说，采用经典小波基函数就可以了。 常见的经典小波基有：常见的经典小波基有：Haar小波，高斯小波，墨西哥草帽小波，小波，高斯小波，墨西哥草帽小波，Gabor小波等。它们的表达式和波形分别如下。小波等。它们的表达式和波形分别如下。262021-10-29大连理工大学26常用的小波基函数：常用的小波基函数：-1012-1-0.500.51(a) 时间(秒)幅度-50500.51(b) 时间(秒)幅度-505-1-0.500.51(c) 时间(秒)幅度-505-1-0.500.51(d) 时间(秒)幅度Haar小波小波高斯小波高斯小波墨西哥草帽小墨西哥草帽小波

23、波一个一个Gabor小小波的实部波的实部272021-10-29大连理工大学27常用小波基函数的数学描述：常用小波基函数的数学描述： Harr小波小波 高斯小波高斯小波 墨西哥草帽小波墨西哥草帽小波 Gabor小波小波1,01/2( )1,1/210,ttt 其他2/2( )tte22/2( )(1)tttej( )( )ttg t e282021-10-29大连理工大学28小波变换的时频分析窗：小波变换的时频分析窗： 小波变换的时频分析窗：小波变换的时频分析窗： 窗口中心为：窗口中心为： 时窗和频窗宽分别为：时窗和频窗宽分别为： 和和 其中，其中， 是母小波函数是母小波函数 的半时宽，的半时

24、宽， 是是 的半频宽。的半频宽。 仅影响窗口的水平位置，仅影响窗口的水平位置， 影响频率轴位置和形状。影响频率轴位置和形状。00() (), ,babaaa 0( ,)baaa( ) t( ) ba292021-10-29大连理工大学29时频分析窗特点：时频分析窗特点： 小波变换对不同频率在时域上的取样是调节性的。小波变换对不同频率在时域上的取样是调节性的。 在低频时，小波变换的时间分辨率较差，频率分辨率较高；在低频时，小波变换的时间分辨率较差，频率分辨率较高； 在高频时，小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低。在高频时，小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低。 这正符合低频信号变化缓

25、慢而高频信号变化迅速的特点。这正符合低频信号变化缓慢而高频信号变化迅速的特点。 这就是小波变换优于经典傅里叶变换的地方。即具有更好的时频分析这就是小波变换优于经典傅里叶变换的地方。即具有更好的时频分析窗。窗。302021-10-29大连理工大学30小波的容许条件小波的容许条件 积分为积分为0： 能量为能量为1：( )d0tt2|( )| d0tt312021-10-29大连理工大学31连续小波变换的性质连续小波变换的性质 叠加性：一个多分量信号的小波变换等于各个分量小波变换之和。叠加性：一个多分量信号的小波变换等于各个分量小波变换之和。 时移不变性：若时移不变性：若 的小波变换为的小波变换为

26、，则，则 的小波变换的小波变换为为 。 伸缩共变性：若伸缩共变性：若 的小波变换为的小波变换为 ，则，则 的小波变换的小波变换为为 ，其中，其中 。 自相似性：对应不同的尺度参数自相似性：对应不同的尺度参数 ，和不同的平移参数，和不同的平移参数 的连续小的连续小波变换之间是自相似的。波变换之间是自相似的。 冗余性：连续小波变换中存在信息表述的冗余性。冗余性：连续小波变换中存在信息表述的冗余性。( )x tWT ( , )xa b()x tWT ( ,)xa b( )x tWT ( , )xa b()x ct0c WT (,)xca cbab322021-10-29大连理工大学32离散小波变换离

27、散小波变换 小波变换的离散化主要指对尺度参数和平移参数的离散化。小波变换的离散化主要指对尺度参数和平移参数的离散化。 考虑连续小波函数考虑连续小波函数 将其中的将其中的 参数离散化为：参数离散化为： 所对应的离散小波变换定义为：所对应的离散小波变换定义为： 离散化小波系数写为：离散化小波系数写为： 重构公式：重构公式：, a b1/2,1( )|a btbtbtaaaa000,jjaabka bj/2/200,00000( )()jjjjj kjtka btaaa tkba/2/200,00000( )()jjjjj kjtka btaaa tkba*,( )( )d( ),j kj kj k

28、Cx tttc t 332021-10-29大连理工大学33二进小波变换二进小波变换 二进小波：二进小波： 利用二进小波对信号进行小波变换，得到利用二进小波对信号进行小波变换，得到 二进小波只对尺度参数进行了离散化，平移参量未变，不影响时域上二进小波只对尺度参数进行了离散化，平移参量未变，不影响时域上的平移不变性。的平移不变性。 二进小波对信号的分析有变焦距的作用。假定有以放大倍数为二进小波对信号的分析有变焦距的作用。假定有以放大倍数为 ，为了看到进一步的细节，需要增加放大倍数，减小为了看到进一步的细节，需要增加放大倍数，减小 值；反之，若想值；反之，若想了解更粗的内容，则需加大了解更粗的内容

29、，则需加大 值。在这个意义上，小波变换被称为数值。在这个意义上，小波变换被称为数学显微镜。学显微镜。/22 ,( )22(),jjjbttbj b/2*22 ,1WT( )2( ),( )( )2()d2jjjjjbx bx ttx ttbt 2jjj342021-10-29大连理工大学34正交小波正交小波 若离散小波族若离散小波族 满足正交条件，即满足正交条件，即 则称则称 为正交小波。为正交小波。,() (), ,j km ljmklj k m l,( ):,j ktj k( ) t352021-10-29大连理工大学35多分辨分析多分辨分析 基本思想：非平稳信号的统计特征是随时间变化的，

30、这种变化可分为基本思想：非平稳信号的统计特征是随时间变化的，这种变化可分为慢变部分慢变部分 （称为信号的粗节）和快变部分（称为信号的粗节）和快变部分 （称为信号的细节）。（称为信号的细节）。 粗节对应信号的低频部分，代表其主体轮廓；细节对应于信号的高频粗节对应信号的低频部分，代表其主体轮廓；细节对应于信号的高频部分。部分。 对信号的粗节，可以再进一步分为粗节对信号的粗节，可以再进一步分为粗节 和细节和细节 。如此重复，如。如此重复，如下图所示。下图所示。 沿着相反的方向，可逐步重构出原信号，原信号表示沿着相反的方向，可逐步重构出原信号，原信号表示为为 。这就是。这就是Mallat提出的塔式分解

31、与塔式综合算法。提出的塔式分解与塔式综合算法。 1a1d2a2d3321addd362021-10-29大连理工大学36多分辨分析的图示多分辨分析的图示372021-10-29大连理工大学37信号的分解方法信号的分解方法 怎样才能把信号分解成粗节和细节呢？怎样才能把信号分解成粗节和细节呢？ 由两个滤波器来完成，一个进行粗节分解，归一化频带为由两个滤波器来完成，一个进行粗节分解，归一化频带为0 0.5，另一，另一个进行细节分解，归一化频带为个进行细节分解，归一化频带为0.5 1。 这两个滤波器称为滤波器组。于是小波分解和重构的问题变成，如何这两个滤波器称为滤波器组。于是小波分解和重构的问题变成，

32、如何设计合适的滤波器组。设计合适的滤波器组。 382021-10-29大连理工大学38多分辨逼近多分辨逼近 假设被分析信号假设被分析信号 是严格平方可积的，即是严格平方可积的，即 。 从上面的定性分析发现，从上面的定性分析发现，“用分辨率对信号进行分析用分辨率对信号进行分析”也可等价地叙也可等价地叙述为述为“用可变分辨率去逼近用可变分辨率去逼近”。 因此，多分辨率分析等价于多分辨率逼近。从空间的角度看，多分辨因此，多分辨率分析等价于多分辨率逼近。从空间的角度看，多分辨率逼近是在空间内构造一个子空间链率逼近是在空间内构造一个子空间链 。)()(2RLtx)(tx:jVj392021-10-29大

33、连理工大学39子空间链的性质子空间链的性质 单调性：对任意单调性：对任意 ，有，有 。 说明原信号中较低分辨率的部分对应于信号的粗节，从而对应更说明原信号中较低分辨率的部分对应于信号的粗节，从而对应更大的子空间，即低一级的空间包含于高一级的空间。大的子空间，即低一级的空间包含于高一级的空间。 逼近性：逼近性： 和和 说明所有分辨率的子空间的并集代表整个平方可积空间。说明所有分辨率的子空间的并集代表整个平方可积空间。 伸缩性：伸缩性： 时间尺度的增大意味着信号被展宽，时间分辨率降低；反之，时时间尺度的增大意味着信号被展宽，时间分辨率降低；反之，时间尺度减小意味着信号被压缩，时间分辨率增大。子空间

34、也有类间尺度减小意味着信号被压缩，时间分辨率增大。子空间也有类似的伸缩性似的伸缩性 )(tx1jjVVj)(lim2RLVjj0limjjV1( )(2 )jjx tVxtV402021-10-29大连理工大学40子空间链的性质（续）子空间链的性质（续） 平移不变性：平移不变性： 说明函数说明函数 的平移不改变其形状，时间分辨率也保持不变，因此的平移不改变其形状，时间分辨率也保持不变，因此 和和 属于同一子空间。属于同一子空间。 Riesz基的存在性基的存在性：存在一个函数存在一个函数 及其平移及其平移 构成参考子空间构成参考子空间 的的Riesz基。基。 Riesz基存在性说明由函数基存在性

35、说明由函数 及其平移可逼近原信号及其平移可逼近原信号 。函数。函数 称为多分辨分析的生成元。因多分辨分析又称为多尺度分析，因此称为多分辨分析的生成元。因多分辨分析又称为多尺度分析，因此 也称为尺度函数。也称为尺度函数。 ( )(),jjx tVx tkVk ( )x t( )x t()x tk0)(Vt (),tk k0V)(t)(tx)(t)(t412021-10-29大连理工大学41子空间分解与频带分解子空间分解与频带分解 设信号设信号 所占据的总频带所占据的总频带( )定义的空间定义的空间 。 经第一级分解后，划分为两个子空间：经第一级分解后，划分为两个子空间： 低频的低频的 （频带（频

36、带 ），高频的），高频的 （频带（频带 ）；）； 经第二级分解后，经第二级分解后， 又被分解为低频又被分解为低频 （ ）和高频）和高频 （ ），），等。等。)(tx1V00V0/21W/21V2V2W0/4/4/2422021-10-29大连理工大学42小波分析的小波分析的MATLAB实现实现 小波函数与尺度函数小波函数与尺度函数 phi, psi, Xval=wavefun(wname,iter) 该函数计算小波函数该函数计算小波函数 和相应的尺度函数和相应的尺度函数 的近似值。的近似值。 wname小波函数，以字符串形式给出。例如小波函数，以字符串形式给出。例如db1。 Xval在支撑区间

37、上有在支撑区间上有 个点个点 小波重构函数小波重构函数 X=waverec(C,L,wname) 该函数用指定的小波函数对小波分解结构该函数用指定的小波函数对小波分解结构C,L进行多尺度一维小进行多尺度一维小波重构。波重构。 C，L1-N尺度下所有低频，高频系数组合。矢量。尺度下所有低频，高频系数组合。矢量。( ) t( ) titer2432021-10-29大连理工大学43 提取低频系数提取低频系数 A=appcoef(C,L,wname,N) 该函数是一个一维小波分析函数，用于从小波分解结构该函数是一个一维小波分析函数，用于从小波分解结构C,L中提中提取尺度取尺度N的一位信号低频系数。的

38、一位信号低频系数。 提取高频系数提取高频系数 D=detcoef(C,L,N) 用于从小波分解结构用于从小波分解结构C,L中提取尺度中提取尺度N指定的一位信号高频系数指定的一位信号高频系数 获取消噪中默认阈值的函数获取消噪中默认阈值的函数 THR,SORH,KEEPAPP=DDENCNP(IN1,wv,X) 获取在消噪或压缩过程中的默认阈值。获取在消噪或压缩过程中的默认阈值。442021-10-29大连理工大学44 消除噪声函数消除噪声函数 XC,CXC,LXC=wdencmp(gb1,C,C,wname,N,THR,SORH,KEEPAPP) 该函数是一个一维消噪或压缩函数。它用小波对信号进

39、行消噪或该函数是一个一维消噪或压缩函数。它用小波对信号进行消噪或压缩。压缩。 利用给定阈值进行消噪处理函数利用给定阈值进行消噪处理函数 Y=wthresh(X,SORH,T) 用于对矢量用于对矢量X进行软阈值处理或硬阈值处理。进行软阈值处理或硬阈值处理。 X被处理的信号矢量；被处理的信号矢量； SORH字符串，软阈值字符串，软阈值s，硬阈值，硬阈值h； T阈值大小；阈值大小； Y输出结果。输出结果。452021-10-29大连理工大学45小波包分析简介小波包分析简介 小波分解的缺点：高频段频率分辨率差，低频段时间分辨率差。小波分解的缺点：高频段频率分辨率差，低频段时间分辨率差。 小波包分解对小

40、波分解未分解的高频段进一步分解，并能够根据被分小波包分解对小波分解未分解的高频段进一步分解，并能够根据被分解信号的特征自适应地选择相应的频带，使之与信号频谱匹配，从而解信号的特征自适应地选择相应的频带，使之与信号频谱匹配，从而提高时频分辨率。提高时频分辨率。462021-10-29大连理工大学4617.X 小波分析的应用小波分析的应用472021-10-29大连理工大学47小波分小波分析的主要析的主要内容和主内容和主要应用要应用482021-10-29大连理工大学48基于小波分析的一维信号消噪基于小波分析的一维信号消噪 【例例】利用小波分析方法消除电网电压中的噪声，并分析用电故障。利用小波分析

41、方法消除电网电压中的噪声，并分析用电故障。 【解解】首先选择小波函数首先选择小波函数db4，然后确定小波分解层数，然后确定小波分解层数N=3。 小波消噪的方法基本上有三种：小波消噪的方法基本上有三种： （1）强制消噪处理：）强制消噪处理： 将小波分解结构中的高频系数全部置将小波分解结构中的高频系数全部置0，然后重构信号。，然后重构信号。 方法简单，但容易丢失有用信号。方法简单，但容易丢失有用信号。492021-10-29大连理工大学49 （2）默认阈值消噪处理：）默认阈值消噪处理： 利用利用ddencmp函数产生信号的默认阈值；函数产生信号的默认阈值； 然后利用然后利用wdencmp函数进行消

42、噪处理。函数进行消噪处理。 （3）给定软）给定软/硬阈值消噪处理硬阈值消噪处理 阈值人为通过经验给出；阈值人为通过经验给出； 一般来说比默认阈值更有可信度；一般来说比默认阈值更有可信度； 在阈值量化处理时用在阈值量化处理时用wthresh函数。函数。 程序例：程序例：502021-10-29大连理工大学50 512021-10-29大连理工大学51 522021-10-29大连理工大学52基于小波分析的信号特征提取基于小波分析的信号特征提取 【例例】利用小波分析方法提取信号的突变点。信号由利用小波分析方法提取信号的突变点。信号由3个频率的正弦信个频率的正弦信号组成，如上图。号组成，如上图。 【

43、解解】采用采用Haar小波进行小波进行1层分解，画出层分解，画出 。1d00.511.522.53-1-0.500.51时间(秒)原信号00.511.522.53-0.200.20.4d-1时间(秒)第一层细节532021-10-29大连理工大学53另一例消噪处理另一例消噪处理 【例例】利用小波分析方法消除信号中的噪声。利用小波分析方法消除信号中的噪声。 【解解】小波分解、小波收缩、小波重构。小波分解、小波收缩、小波重构。542021-10-29大连理工大学54检测信号的不连续点检测信号的不连续点 【例例】利用小波分析方法检测信号中的不连续点。利用小波分析方法检测信号中的不连续点。 【解解】d

44、b4小波，小波，2层分解，分别画出层分解，分别画出 和和 。1d2d0100200300400500600700800900100000.51原信号400420440460480500520540560580600-101x 10-6d-1第一层细节400420440460480500520540560580600-505x 10-6d-2第二层细节552021-10-29大连理工大学55小波分析提取小波分析提取EEG信号中的尖波信号中的尖波 【例例】利用小波分析方法提取利用小波分析方法提取EEG信号中的尖波。信号中的尖波。 【解解】利用利用db10小波，进行小波，进行4层分解。可见层分解。可

45、见D1中尖波。中尖波。2021-10-29大连理工大学56The End of This Section572021-10-29大连理工大学57-5-4-3-2-1012345-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.811.2高 斯 小 波 小波举例小波举例1 1 gauss小波小波582021-10-29大连理工大学58小波举例小波举例2 2 Morlet小波小波-5-4-3-2-1012345-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81morlet小 波592021-10-29大连理工大学59小波函数的定义小波函数的定义 定义定义 函数函数 是小波函数，如果它满足是小波函数，如果它满足 或者或者定义对小波函数的要求非常宽松，只要要求具有一定震荡性，即定义对小波函数的要求非常宽松，只要要求具有一