高等代数上题库

1、高等代数（上）题库第一章 多项式填空题(1.7)1、设用x-1除f(x)余数为5，用x+1除f(x)余数为7，则用x2-1除f(x)余数是 。(1.5)2、当p(x)是 多项式时，由p(x)| f(x)g(x)可推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x)。(1.4)3、当f(x)与g(x) 时，由f(x)|g(x)h(x)可推出f(x)|h(x)。(1.5)4、设f(x)=x3+3x2+ax+b 用x+1除余数为3，用x-1除余数为5，那么a= b 。(1.7)5、设f(x)=x4+3x2-kx+2用x-1除余数为3，则k= 。(1.7)6、如果(x2-1)2|x4-3x3+6x2+ax+b，

2、则a= b= 。(1.7)7、如果f(x)=x3-3x+k有重根，那么k= 。(1.8)8、以l为二重根，2，1+i为单根的次数最低的实系数多项式为f(x)= 。(1.8)9、已知1-i是f(x)=x4-4x3+5x2-2x-2的一个根，则f(x)的全部根是 。(1.4)10、如果（f(x),g(x)）=1，（h(x),g(x)）=1 则 。(1.5)11、设p(x)是不可约多项式，p(x)|f(x)g(x),则 。(1.3)12、如果f(x)|g(x),g(x)|h(x)，则 。(1.5)13、设p(x)是不可约多项式，f(x)是任一多项式，则 。(1.3)14、若f(x)|g(x)+h(x

3、),f(x)|g(x)，则 。(1.3)15、若f(x)|g(x),f(x)| h(x)，则 。(1.4)16、若g(x)|f(x),h(x)|f(x)，且(g(x),h(x)=1，则 。(1.5)17、若p(x) |g(x)h(x),且 则p(x)|g(x)或p(x)|h(x)。(1.4)18、若f(x)|g(x)+h(x)且f(x)|g(x)-h(x),则 。(1.7)19、是f(x)的根的充分必要条件是 。(1.7)20、f(x)没有重根的充分必要条件是 。答案1、-x+6 2、不可约 3、互素 4、a=0,b=1 5、k=3 6、a=3,b=-7 7、k=±28、x5-6x4

4、+15x3-20x2+14x-4 9、1-i,1+i 1+,1- 10、(f(x)h(x),g(x)=1 11、p(x)|f(x)或p(x)|g(x) 12、f(x)|h(x) 13、p(x)|f(x)或(p(x),f(x)=1 14、f(x)|h(x) 15、f(x)|g(x)+h(x) 16、g(x)h(x)|f(x) 17、p(x)是不可约多项式 18、f(x)|g(x)且f(x)|h(x) 19、x-|f(x) 20、(f(x),f(x)=1判断并说明理由(1.1)1、数集是数域（ ）(1.1)2、数集是数域 （ ）(1.3)3、若f(x)|g(x)h(x),f(x)|g(x),则f(

5、x)|h(x) ( )(1.3)4、若f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x),则f(x)|h(x) （ ）(1.4)5、若g(x)|f(x),h(x)|f(x)，则g(x)h(x)|f(x) （ ）(1.4)6、若（f(x)g(x),h(x)）=1,则（f(x),h(x)）=1 (g(x),h(x)=1 ( )7、若f(x)|g(x)h(x),且f(x)|g(x),则(f(x),h(x)=1 ( )(1.6)8、设p(x)是数域p上不可约多项式，那么如果p(x)是f(x)的k重因式，则p(x)是f(x)的k-1重因式。 （ ）(1.9)9、如果f(x)在有理数域上是可约的，则f(x)

6、必有有理根。（ ）(1.9)10、f(x)=x4-2x3+8x-10在有理数域上不可约。（ ）(1.1)11、数集是数域 （ ）(1.1)12、数集是数域 （ ）(1.3)13、若f(x)|g(x)h(x)，则f(x)|g(x)或f(x)|h(x) ( )(1.3)14、若f(x)|g(x),f(x)|h(x)，则f(x)|g(x)h(x) ( )(1.3)15、若f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x)-h(x)，则f(x)|g(x)且f(x)|h(x) ( )(1.4)16、若有d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x),则d(x)是f(x),g(x)的最大公因式 （ ）(1.6

7、)17、若p(x)是f(x)内的k重因式，则p(x)是f(x)的k+1重因式（ ）(1.7)18、如果f(x)没有有理根，则它在有理数域上不可约。（ ）(1.8)19、奇次数的实系数多项式必有实根。（ ）(1.9)20、 f(x)=x6+x3+1在有理数域上可约。（ ）答案：1、 2、× 3、× 4、 5、× 6、 7、× 8、 9、× 10、11、 12、× 除法不封闭 13、× 当f(x)是不可约时才成立 14、× 如f(x)=x2，g(x)=h(x)=x时 不成立 15、 16、× 17、×

8、;如f(x)=xk+1+1 18×、19、虚根成对 20、× 变形后用判别法知 不可约选择题(1.1)1、以下数集不是数域的是（ ）a、，i2= -1b、 ，i2= -1 c、d、(1.3)2、关于多项式的整除，以下命题正确的是 （ ） a、若f(x)|g(x)h(x),且f(x)|g(x)则f(x)|h(x)b、若g(x)|f(x),h(x)|f(x),则g(x)h(x)|f(x)c、若f(x)|g(x)+h(x)，且f(x)|g(x)，则/ f(x)|h(x)d、若f(x)|g(x)，f(x)|h(x)，则f(x)|g(x)h(x)(1.4)3、关于多项式的最大公因式，

9、以下结论正确的是 （ ）a、若f(x)|g(x)h(x) 且f(x)|g(x) ,则（f(x),h(x)）=1b、若存在u(x)，v(x)，使得f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x)，则d(x)是f(x)和g(x)的最大公因式c、若d(x)|f(x),且有f(x)u(x)+g(x)v(x) =d(x)，则d(x)是f(x)和g(x)的最大公因式d、若(f(x)g(x),h(x)=1，则(f(x),h(x)=1且(g(x),h(x)=1（ ）(1.7)4、关于多项式的根，以下结论正确的是 （ ）a、如果f(x)在有理数域上可约，则它必有理根。b、如果f(x)在实数域上可约，则它必有实根。c

10、、如果f(x)没有有理根，则f(x)在有理数域上不可约。d、一个三次实系数多项式必有实根。(1.6)5、关于多项式的重因式，以下结论正确的是（ ）a、若f(x)是f(x)的k重因式，则p(x) 是f(x)的k+1重因式b、若p(x)是f(x)的k重因式，则p(x) 是f(x)，f(x)的公因式c、若p(x)是f(x)的因式，则p(x)是f(x)的重因式d、若p(x)是f(x)的重因式，则p(x)是的单因式(1.7)6、关于多项式的根，以下结论不正确的是 （ ）a、是f(x)的根的充分必要条件是x-|f(x)b、若f(x)没有有理根，则f(x)在有理数域上不可约c、每个次数1的复数系数多项式，在

11、复数域中有根d、一个三次的实系数多项式必有实根(1.7)7、设f(x)=x3-3x+k有重根，那么k=（ ） a、1 b、-1 c、±2 d、0(1.9)8、设f(x)=x3-3x2+tx-1是整系数多项式，当t=( )时，f(x)在有理数域上可约。a、1 b、0 c、-1 d、3或-5(1.9)9、设f(x)=x3-tx2+5x+1是整系数多项式，当t=（ ）时，f(x)在有理数域上可约。 a、t=7或3 b、1 c、-1 d、0(1.9)10、设f(x)=x3+tx2+3x-1是整系数多项式，当t=( )时，f(x)在有理数域上可约。a、1 b、-1 c、0 d、5或-3(1.5

12、)11、关于不可约多项式p(x),以下结论不正确的是（ ）a、若p(x)|f(x)g(x)，则p(x)|f(x)或p(x)|g(x)b、若q(x)也是不可约多项式，则（p(x),q(x)）=1或p(x)=cq(x) c0c、p(x)是任何数域上的不可约多项式d、p(x)是有理数域上的不可约多项式(1.9)12、设f(x)=x5+5x+1，以下结论不正确的是（ ）a、f(x)在有理数域上 不可约b、f(x)在有理数域上 可约c、f(x)有一实根d、f(x)没有有理根(1.9)13、设f(x)=xp+px+1,p为奇素数，以下结论正确的是 （ ）a、f(x)在有理数域上 不可约b、f(x)在有理数

13、域上 可约c、f(x)在实数域上 不可约d、f(x)在复数域上 不可约答案：1、b 2、c 3、d 4、d 5、d 6、b 7、c 8、d 9、a 10、d 11、c 12、b 13、a 计算题(1.3)1、求m，p的值使 x2+3x+2|x4-mx2-px+2解：用带余除法 求得r(x)=-(3m+p+15)x-(2m+12)令r(x)=0即求得m= -6 p=3(1.6)2、判断f(x)=x4-6x2+8x-3有无重因式，如果有，求其重数解：f(x)=4x3-12x+8 (f(x),f(x)=(x-1)2x-1是f(x)的三重因式 (1.7)3、设f(x)=x4-3x3+6x2-10x+1

14、6, c=3，求f(c)解：用综合除法求得f(c)=40(1.7)4、决是t的值，使f(x)=x3-3x2+tx-1 有重根解j：由辗转除法使（f(x),f(x)）求得t=3 或t=当t=3时 f(x)有三重根1 当t=时，f(x)有二重根-(1.9)5、设f(x)=x5+x4-2x3-x2-x+2，求f(x)的有理根，并写出f(x)在实数域和复数域上的标准分解式。解：有理根是1（二重），2 实数域上分解式为f(x)=(x-1)2(x+2)(x2+x+1)复数域上分解式为f(x)=(x-1)2(x+2)(x+-i)(x+(1.9)6、求f(x)=4x4-7x2-5x+1的有理根，并写出f(x)

15、在有理数域上的标准分解式。解：有理根为（二重）分解式为f(x)=4(x+)2(x2-x-1)(1.9)7、求f(x)=x5+x4-6x3-14x2-11x-3的有理根，并写出f(x)在复数域上的标准分解式解：有理根为1（四重）3，分解式f(x)=(x+1)4(x-3)(1.8)8、已知i, z-i 是f(x)=2x5-7x4+8x3-2x2+6x+5的两个根，求f(x)的全部根解：全部根为 i,-i,2-i,2+i, (1.8)9、求以1-i, i为根的次数最低的复系数多项式f(x)解：f(x)=x2-x+(1+i)(1.8)10、求以1为二重根，1=i为单根的次数最低近的实系数多项式f(x)

16、.解：f(x)=x4-4x3-x2-6x+2(1.8)11、已知1-i是f(x)=x4-4x3-5x2-2x-2的根，求f(x)的全部根。解：全部根为1+i,1-i,1+,1-证明题(1.3)1、试证用x2-1除f(x)所得余式为证明：设余式为ax+b，则有f(x)=(x2-1)q(x)+ax+b f(1)=a+b ,f(-1)=-a+b求得a=(1.3)2、证明，h(x)(f(x),g(x)=(f(x)h(x),g(x)h(x)，其中h(x)是首项系数为1的多项式。证明：设（f(x),g(x)）=d(x) ，则h(x)d(x)|h(x)f(x) h(x)d(x)|h(x)g(x)，又存在u(

17、x),v(x)，使得f(x)u(x)+g(x)v(x)=d有h(x)f(x)u(x)+h(x)g(x)v(x)=h(x)g(x)于是h（x）d(x)=(h(x)f(x),h(x)g(x)(1.4)3、证明，如果f(x)|g(x)h(x),且(f(x),g(x)=1，则f(x)|h(x) 证明：由(f(x),g(x)=1,存在u(x),v(x)使得f(x)u(x)+g(x)v(x)=1,从而f(x)u(x)h(x)+g(x)v(x)h(x)=h(x),f(x)|g(x)h(x),f(x)h(x) 所以f(x)|h(x)(1.4)4、证明，（f(x)+g(x),f(x)-g(x)）=(f(x),g

18、(x) 证明：(f(x)+g(x)=d(x) 则d(x)|f(x)+g(x)d(x)|f(x)-g(x) 设d1(x) 是f(x)+g(x),f(x)-g(x)r的任一公因式 则d1(x)|f(x)+g(x)+f(x)-g(x)=zf(x) d1(x)|f(x)+g(x)-f(x)+g(x)=zg(x) 故d1(x)|f(x),d1(x)|g(x),从而d1(x)|d(x) 得证(1.5)5、证明，g(x)|f(x)的充分必要条件是g2(x)|f2(x) 证明：设f(x)=g(x)h(x), 则f2(x)=g2(x)h2(x)即g2(x)|f(x) 反之，设g2(x)|f2(x),将f(x),

19、g(x)分解f(x)= ap1l1(x)psls(x),g(x)=bp1r1(x)psrs(x) 其中，li ri为非负整数，pi(x)为互不相同的可约多项式那么f2(x)=a2p12l1(x)ps2ls(x),g2(x)=b2p12r1(x)ps2rs(x) 由g2(x)|f2(x),必有2ri2li,即rili于是g(x)|f(x)。(1.7)6、设f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0有n个非零根，12n，证明g（x）=a0xn+a1xn-1+an-1x+an的n个根。证明：设为f(x)的任非零根，则f()=ann+an-1n-1+a1+ao=0g()=a0()n+a1()n

20、-1+an-1()+an=()n(ann+an-1n-1+a1+ao)=0所以(1.5)7、设p(x)是次数大于零的多项式，如果对任意多项式f(x)，g(x)，由p(x|f(x)g(x)，可推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x)，那么p(x)是不可约多项式证明：假设p(x)是可约的，设p(x)=p1(x)p2(x)其中 (p1 (x) < (p(x), (p2(x)< (p(x)显然p(x)|p1(x)p2(x) 但p(x)|p1(x), p(x)|p2(x)这与题设矛盾，即p(x)是不可约的。(1.5) 8、设p(x)是数域p上不可约多项式，f(x)是p上任一多项式，那么p(

21、x)|f(x)或(p(x),f(x)=1证明：设（p(x),f(x)）=d(x) 则d(x)|p(x)由p(x)不可约，知d(x)=cp(x)， c0，或d(x)=1当d(x)=cp(x)时，就有p(x)|f(x)(1.5)9、设p(x),q(x)是数域p上两个不可约多项式，证明（p(x)q(x)=1或p(x)=(q(x) c证明：因p(x),q(x)皆不可约，故有(p(x),q(x)=1 或p(x)|q(x)且q(x)|p(x)即p(x)=cq(x)(1.7)10、证明，如果x2+x+1|f1(x3)+xf2(x3)那么x-1|f1(x), x-1|f2(x)证明：x3-1=(x-1)(x2

22、+x+1) 设1,2是x2+x+1的根，则有31=1，32=1，且1,2为f1(x3)+xf2(x3)的根，那么有 f1(1)+1f2(1)=0 f1(1)+2f2(1)=0因12 解得f1(1)=0 f2(1)=0即 x-1|f1(x), x-1|f2(x)(1.9)11、设f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0是整系数多项式证明，如果a0，an均为奇数，f(1)，f(-1)中至少有一个为奇数，那么f(x)无有理根证明：若f(x)有有理根，（u,v互素），则v|an u|a0,知u,v均为奇数，由u-v|f(1)，u+v|f(-1)知f(1),f(-1)均为偶数，这与题设矛盾，所

23、以f(x)无有理根。第二章 行列式填空题(2.2)1、n级排列u(n-1)2 1的逆序数是 。(2.2)2、如果排列i1i2in的逆序数是k,则排列inn-1l2l1的逆序数是 。(2.4)3、(2.3)4、(2.3)5、(2.3)6、(2.3)7、(2.4)8、若行列式中每一行元素之和都等于零，则行列式的值为 。(2.4)9、(2.4)10、(2.2)11、在全部n级排列中，偶排列的个数为 (2.2)12、若排列1 2 7 4 i 5 6 k 9 是偶排列，则i= k= (2.6)13、(2.6)14、(4.2)15、设a为5级方阵，且|a|=1,则|-2a|= 。(4.2)16、设a为5级

24、方阵，且|a|=2,则|-2a|= 。(2.3)17、6级行列式中项a32 a43 a14 a51 a66 a25的符号为 。(2.3)18、6级行列式中，项a43 a32 a51 a14 a26 a56的符号为 。(2.4)19、(2.4)20、(2.5)21、= 则= 。（2.5）22、= 则= 。答案：1、 2、-k 3、5 4、 a1a2a3a4 5、a1a2a3a4 6、-5 7、-1 8、0，9，a4+a3+a2+a1+1 10、a1+a2+a3+a4 11、 12、i=8,k=3 13、-4 14、-6 15、-32 16、-64 17、正 18、负 19、(b-a)(c-a)(

25、c-b) 20、(b-a)(c-a)(c-b) 21、0 22、-3判断题(2.4)1、若行列式中有两行对应元素互为相反数，则行列式的值为0 （ ）(2.3)2、6级行列式中，项a32 a45 a51 a66 a25带负号 （ ）(2.4)3、设d=则=d（ ）(2.4)4、设d= 则（ ）(2.3)5、 ( )(2.3)6、 （ ）(2.3)7、 （ ）(2.4)8、 （ ）(2.4)9、 （ ）(2.3)10、若n级行列试d中等于零的元素的个数大于n2-n，则d=0 （ ）(4.2)11、设a为n级方阵：|a|=2 ，则|-3a|= -6 ( )(4.2)12、设a为n级方阵：|a|=2，

26、则|-a|=(-1)n2 （ ）(2.8)13、 （ ）(2.8)14、 （ ）(2.4)15、 （ ）(2.4)16、 （ ）(2.3)17、设d=则a3 b2 c1 d3是d的一项。（ ）(2.3)18、设d=，则项a3 b4 d1 c2带正号。（ ）(2.3)19、如果行列式d的元素都是整数，则d的值也是整数。（ ）(2.3)20、如果行列d的元素都是自然数，则d的值也是自然数。（ ）(2.3)21、 （ ）(2.3)22、=n！ （ ）答案：1、 2、× 3、× 4、× 5、 6、× 7、 8、× 9、 10、 11、× 12

27、、 13、 14、 15、 16、 17、× 18、× 19、 20、× 21、× 22、×单项选择题(2.2)1、排列n(n-1)2 1 的逆序数为 （ ） a、n-1 b、 c、n d、(2.2)2、如果排列i1i2in的逆序数是k,则排列inin-1l2l1的逆序数是 （ ）a、k b、n-k c、 d、(2.2)3、关于n级排列i1i2in,以下结论不正确的是（ ）a、逆序数是一个非负整数 b、一个对换改变其奇偶性 c、逆序数最大为n d、可经若干次对换变为12n(2.2)4、关于排列n(n-1)2 1的奇偶性，以下结论正确的是 （ ）

28、a、当n为偶数时是偶排列b、当n为奇数时是奇排列c、当n=4m或n=4m+2时是偶排列d、当n=4m或n=4m+1时是偶排列，当n=4m+2或n=4m+3时奇排列(2.3)5、以下乘积是5级行列式的项，且符号为正的是（ ）a、a31 a45 a12 a24 a53 b、a45 a54 a42 a12 a23 c、a53 a21 a45 a34 a12 d、a13 a34 a22 a45 a51(2.3)6、以下乘积是（ ）a、a3 b2 c1 d3 b、a3 b4 d1 c2 c、c2 b1 d3 c4 d、a1 b2 c3 d4(2.4)7、设d=则= （ ）a、d b、-d c、(-1)n

29、d d、(-1)n-1d(2.4)8、设d如上，则= （ ）a、(-1)nd b、(-1)n-1d c、d d、-d(2.4)9、设d如上则 a、d b、-d c、 d、(-1)n-1d(2.6)10、中，5的代数余子式是 （ ） a、5 b、-5 c、-6 d、6(2.6)11、中，-2的代数余子式是 （ ） a、 2 b、-2 c、4 d、-4(2.4)12、= ( ) a、-3 b、0 c、3 d、1(2.4)13、=（ ） a、1 b、0 c、-1 d、(2.3)14、=（ ） a、n! b、 c、 d、(-1)n n!(4.2)15、设a为n级方阵，且|a|=2，则|-3a|=（ ）

30、 a、-6 b、6 c、2 (-3)n d、2n（-3）n(4.2)16、设a为n级方程，且|a|=3，则|-2a|=（ ） a、-6 b、6 c、(-2)3n d、(-2)n3(4.2)17、设a为n级方阵，|a|=2,则|-a|= （ ）a、-2 b、(-1)n2 c、2 d、-2(4.4)18、设a为n级方阵，a*是a的伴随矩阵，则当|a|= -2时|a*|=（ ） a、2 b、-2 c、（-2）n d、（-2）n-1(2.4)19、设=0，则x=（ ） a、1 b、0 c、1或0 d、-1(2.4)20、设=0，则 x= （ ）a、1或0 b、1 c、0 d、-1(2.3)21、f(x

31、)=中，x3的系数是 （ ） a、4 b、2 c、-1 d、1(2.5)22、dn=( ) a、an-1 b、an+1 c、an-2-1 d、an-an-2(2.4)23、设d1=， =则d1与d2的关系为 （ ）a、d1= d2 b、d2=（abc）d1 c、 d、(2.6)24、=（ ）a、a4(a4-b2) b、a4(a4+b2) c、a4(a2-b2) d、a2(a2-b2)(2.6)25、=（ ）a、abcdef b、-abdf c、abdf d、edf答案：1、b 2、c 3、c 4、d 5、a 6、b 7、d 8、b 9、c 10、c 11、d 12、a 13、b 14、c 15

32、、c 16、d 17、b 18、d 19、c 20、a 21、d 22、a 23、 24、d 25、b计算题(2.5)1、d=解各列（行）加到第一列（行）后，各行（列）减去第一行（列） d=160(2.5)2、d=解按第一列（行）拆成两个行列式之和 d=x2y2(2.6)3、dn=解：按一行列（行）展开 dn=an-2(a2-1)或由接拉普拉斯定理，按第1，n行（列）展开(2.5)4、求x的值使+=0左式=5x2(x-1) 故x=0 或x=1(2.5)5、解：各列各到第一列，（-1）n-1 (2.5)6、dn=解：各行（列）都加到第一行（列）后，各列（行）减去第一列（行）dn=x+(n-1)a

33、(x-a)n-1(2.6)7、dn=解：按第一列展开 dn=an+(-1)n+1bn(2.6)8、dn+1=解：从第2，3，n+1列分别提出a1,a2，an后，第一列减去各列dn+1=a1 a2an(a0-)(2.6)9、dn=解：各行（列）减去第3行 dn=6(n-3)!(2.5)10、解关于x的方程d(x)= =0, 其中aiaj ij a10解：d（x）=a1(a1-x) （an-1-x） 所以x=a1,a2，an-1或者：因为d（ai）=0 i=1，, n-1 所以，x=a1,a2, ,an-1(2.5)11、dn=解从第二行起，各行减去上一行，得一范得蒙行列式dn=(ai-

34、aj)(2.6)12、dn=解：按第一行展开dn=3dn-1-2dn-2 dn-dn-1=2(dn-1-dn-2) 继续下去，dn-dn-1=2n-2(d2-d1) d2-d1=22 dn-dn-1=2n又按第一列展开dn=3dn-1-2dn-2 dn-2dn-1=dn-1-2dn-2=d2-2d1=1 解得 dn=2n+1-1或用归纳法 d1=3=22-1 dn=3dn-1-2dn-2=3(2n-1)-2(2n-1-1)=2n+1-1(2.8)13、d2n=解：由拉普拉期定理，按第n，n+1列展开得证明题(2.4)1、证明证明：将第i行乘以(2.5)2、证明证明：按第一列拆成两个行列式的和，

35、再用逆堆法dn=a1dn-1+a2an=a1dn-1+a1dn-1=a1a2dn-2+ a1a2an-2d2=a1a2 an-1d1+ 各式相加得证。(2.5)3、设b，a0，a1，an是n+2个互不相同的数，且a00f(x)=证明（x-b，f(x)）=1证明：f(x)= =a0(x-ai) 因为b,a0, a1, ，an互不相同，且a00 (x-b,x-ai)=1 所以(x-b，f(x)=1(2.6)4、证明dn+1=a0xn+a1xn-1+an-1x+an证明：按第一行展开dn+1=aoxn+dn继续下去即得(2.6)5、d（x）=其中aia，ij，证明，d(x)是一个关于x的n

36、-1次多项式，并求d(x)的根。证明：因为展开式中每一项含且仅含第一行的一个元素，所以d（x）是一个关于x的n-1次多项式。d(x)是一个范得蒙行列式 d(x)= (x-ai)(ai-aj) d(an)=0 i=1,2,n所以d(x)的根为a1，a2，an(2.7)6、设a1，a2，an是数域p中互不相同的数，b1，b2，bn是数域p中任一组数，证明，存在p上的唯一的多项式f(x)=cn-1xn-1+cn-2xn-2+c1x+c0使得f(ai)=bi i=1,2，n证明由f(ai)=bi,得一线性方组，其系数行列式是一范得蒙行列式，且为不0，从而有唯一解c0,c1,cn-1(2.7)7、设a1

37、，a2，an，是数域p中互不相同的数，f(x)=cn-1xn-1+cn-2xn-2+c1x+c是p上一个n-1次多项式，说明，如果f(ai)=0,i=1，2，n，则f(x)必为零多项式。证明：由f(ai)=0，得一齐次线性方程组，其系数行列式为一范得蒙行列式，且不为0方程组只有零解，即c0，c1，cn-1全为0，即f(x)为零多项式。(2.7)8、证明dn=证明：按第一列展得dn=(a+b)dn-1-abdn-2写成dn-adn-1=b(dn-1-adn-2)可推出dn-adn-1=bn-2(d2-ad1)=bn 同理有dn-bdn-1=an，解得dn=(2.6)9、证明dn=证明dn=(a+

38、b)dn-1-abdn-2写成dn-adn-1=b(dn-1-adn-2)即dn-adn-1=bn同理dn-bdn-1=an 由ab，消去dn-1得dn=(2.6)10、证明dn=证明：将第一列的-x倍加到其他各列，再从第2,3，n列提出x后都加到第一列便得。(2.7)11、证明dn=证明：dn=5dn-1-3·2dn-2 写成dn-3dn-1=3(dn-1-3dn-2)=2n 同理 dn-2dn-1=3n 解得dn=3n+1-2n+1(2.7)12、证明dn=证明：dn=2dn-1-dn-2写成dn-dn-1=dn-1-dn-2可得dn-dn-1=d2-d1=1相加得dn=n+1第

39、三章 线性方程组填空(3.3)1、一个向量线性无关的充要条件是这个向量为 。(3.3)2、两个非零n维向量线性相关的充要条件是它的 。(3.3)3、秩为r的向量组中任意r+1个向量都线性 。(3.3)4、线性无关的向量组中任意一部分向量都线性 。(3.4)5、在秩为r的矩阵中，任意r+1级子式等于 。(3.5)6、线性方程组ax=b有解的充要条件是 。(3.4)7、当= 时，齐次线性方程组有非零解。(3.6)8、设线性方程组ax=b有解，并且ax=0的基础解系为x1、x2,特解为x0，则ax=b的任一解可表为 。(3.6)9、若n元齐次线性方程组ax=0满足r(a)= r，则ax=0的基础解系

40、中有 个解向量。(3.6)10、在线性方程组ax=b有解的条件下，解释唯一的充分必要条件是ax=0 (3.4)11、矩阵a的秩为0的充要条件是a= 。(3.4)12、设矩阵a中有一个r阶子式不为0则r(a) ， 设矩阵a中所有的r+1阶子式全为0则r(a) 答案1、非零向量 2、分量成比例 3、相关 4、无关 5、0 6、r(a)=r(ab) 7、2 8、x0+k1x1+k2x2( k1k2为任意数) 9、n-r 10、只有零解 11、0 12、r r+1判断题。(3.3)1、若向量组的秩为r，则其中任意r个向量都线性无关。（ ）(3.3)2、若向量组的秩为r，则其中任意r+1个向量都线性相关

41、。（ ）(3.3)3、若两个向量组等价，则它们含有相同个数的向量。（ ）(3.3)4、当a1=a2=ar=0时，有a11+a22+arr=0, 那么1,2,r线性无关。（ ）(3.3)5、若向量组1,2,m中每一个向量都不是其余向量的线性组合，那么1,2,m线性无关（ ）(3.3)6、 若向量组1,r线性无关，且r+1不能由1,r线性表出，那么1,r,r+1也线性无关（ ）(3.3)7、若向量组1，r线性相关，则它的任意一部分向量也线性相关。（ ）(3.3)8、若向量组1，r线性无关，则它的任意一部分向量也线性无关。（ ）(3.4)9、在秩为r的矩阵中，一定存在不为0的r-1级子式。（ ）(3

42、.4)10、在秩为r的矩阵中，任意r+1级子式均为0。（ ）(3.5)11、若线性方程组ax=b中，方程的个数小于未知量的个数，则ax=b一定有无穷多解。（ ）(3.5)12、若线性方程组ax=b中方程的个数等于未知量的个数，则ax=b有唯一解。（ ）(3.5)13、若线性方程组ax=b的方程的个数大于未知量的个数，则ax=b一定无解。 （ ）(3.6)14、若线性方程组ax=b的导出组ax=0有穷多解，则ax=b有无穷多解。（ ）(3.6)15、若线性方程组ax=b的导出组ax=0只有零解，则ax=b有唯一解。（ ）(3.6)16、若矩阵a的行向量组线性无关，则方程组ax=0只有零解。（ ）

43、(3.6)17、若矩阵a的列向量组线性无关，则方程组ax=0只有零解。（ ）(3.6)18、任意一个齐次线性方程组ax=0都有基础解系。（ ）(3.6)19、任意一个非齐次线性方程组ax=b都不存在基础解系。（ ）(3.6)20、若n元齐次线性方程组ax=0满足r(a)=rn则它有无穷多个基础解系。（ ）答案：1、× 2、 3、× 4、× 5、 6、 7、× 8、 9、 10、 11、× 12、× 13、× 14、× 15、× 16、× 17、 18、× 19、 20、单选(3.3)1

44、、若向量组1,2,r线性相关，则向量组内（ ）可被该向量组内其余向量线性表出。a、至少有一个向量 b、没有一个向量 c、至多一个向量 d、任何一个向量(3.3)2、向量组（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，2，1），（3，0，1）的秩为（ ）。a、3 b、2 c、4 d、5 (3.3)3、设向量组1=,2=,3=,4=，则极大无关组为（ ）。a、1,2 b、1,2,3 c、1,2,4 d、1(3.5)4、设a ，分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解,则（ ）。a、r(a)=r() b、r(a)r() c、r(a)r() d、r(a)r()-1(3.6)

45、5、若线性方程组ax=b的导出组ax=0只有零解，则ax=b（ ）。a、可能无解 b、有唯一解 c、有无穷多解 d、也只有零解(3.5)6、以下结论正确的是（ ）a、 方程的个数小于未知量的个数的线性方程组一定有解b、 方程的个数等于未知量的个数的线性方程组一定有唯一解c、 方程的个数大于未知量的个数的线性方程组一定有无穷多解d、a、b、c均不对(3.3)7、以下结论正确的是（ ）a、 对向量组1,2,r,若k11+k22+krr=0就有k1=k2=kr=0，则称1,2，r线性无关b、 若有一组不全为0的数1，2，r使11+22+，rr0，则向量组1，2，r线性无关c、 若1，, r线性相关，

46、则其中每一个向量都可由其余向量线性表出。d、 若有全为0的数k1=k2=kr=0使k11+k22+ +krr=0，则1, 2，r线性无关。(3.5)8、设线性方程组ax=b的一般解为（x3是自由未知量），则（ ）a、 只有令x3=0才能求出ax=b的特解。 b、令x3=1求得特解为c、令x3=2求得特解为 d、令x3=0求得特解为(3.6)9、设a为n×n矩阵，且齐次线性方程组ax=0只有零解，则对任意n维列向量b，方程组ax=b（ ）a、有无穷多解 b、无解 c、有唯一解 d、只有零解(3.6)10、设齐次线性方程组ax=0有无穷多解，则对任意n维列向量b，方程组ax=b（ ）a、

47、有无穷多解 b、可能无解 c、有唯一解 d、只有零解答案：1、a 2、a 3、b 4、d 5、a 6、d 7、a 8、c 9、c 10、b计算题（解答题）(3.6)1、问向量组1=(1,-2,1,0,0) ,2 =(0,0,-1,1,0) ,3=(4,0,0,-6,2) 是不是齐次线性方程组 的一个基础解系？为什么？解答：是基础解系。可验证的系数矩阵的秩为2，基础解系中含有3个解向量，又易知1,2,3是的3个线性无关的解，故1,2,3可作为的基础解系。(3.6)2、问向量组1=(1,-2,1,0,0) ，2=(0,0,1,-1,0) ，3=(1,-2,3,-2,0)是不是齐次线性方程组 的一个

48、基础解系？为什么？解答：不是基础解系3=1+22 1,2,3线性相关。(3.5)3、为何值时，下列方程组有解？有解时，求出解。解答：由 可得=5时有解，且它的一般解为 x1,x4为自由未知量。(3.6)4、用线性方程组的特解及导出组的基础解系表示出一般解。解答：由可得导出组为， 基础解系为=， 特解为0=， 所以一般解为0+k。（k为任意数）(3.3)5、试判断向量组1=（4，3，-1，1，-1）2=（2，1，-3，2，-5）3=（1，-3，0，1，-2）4=（1，5，2，-2，6）的线性相关性。解答：设有x1,x2,x3,x4,使得 x 11+x22+x3 +x44=0则由，可得1，2，3，4线性相关。证明题(3.3)1、设在向量组1,2,m中10，且每一个i（i=2,m）都不能由1,2,i-1线性表出，证明：此向量组线性无关。证明：设有等式k11 +k22+kmm=0， m不能由1，,m-1线性表出，km=0。上式为k11+km-1m-1=0，同理，m-1不能由1，m-2线性表出，故km-1=0。依此类推最后得k11