2020-2021学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4抛物线2.4.2抛物线的简单几何性质优化练习新人教A版选修2经典实用

1、2.4.2 抛物线的简单几何性质课时作业a组基础巩固1已知抛物线的对称轴为x轴，顶点在原点，焦点在直线2x4y110上，则此抛物线的方程是()ay211x by211xcy222x dy222x解析：在方程2x4y110中，令y0得x，抛物线的焦点为f，即，p11，抛物线的方程是y222x，故选c.答案：c2已知直线ykxk及抛物线y22px(p>0)，则()a直线与抛物线有一个公共点b直线与抛物线有两个公共点c直线与抛物线有一个或两个公共点d直线与抛物线可能没有公共点解析：直线ykxkk(x1)，直线过点(1,0)又点(1,0)在抛物线y22px的内部当k0时，直线与抛物线有一个公共点

2、；当k0时，直线与抛物线有两个公共点答案：c3过抛物线y22px(p>0)的焦点作一直线交抛物线于a(x1，y1)，b(x2，y2)两点，则koa·kob的值为()a4 b4 cp2 dp2解析：koa·kob·，根据焦点弦的性质x1x2，y1y2p2，故koa·kob4.答案：b4已知直线l：yk(x2)(k>0)与抛物线c：y28x交于a，b两点，f为抛物线c的焦点，若|af|2|bf|，则k的值是()a. b. c2 d.解析：根据题意画图，如图所示，直线m为抛物线的准线，过点a作aa1m，过点b作bb1m，垂足分别为a1，b1，过点b

3、作bdaa1于点d，设|af|2|bf|2r，则|aa1|2|bb1|2|a1d|2r，所以|ab|3r，|ad|r，则|bd|2r.所以ktan bad2.选c.答案：c5已知f为抛物线y2x的焦点，点a，b在该抛物线上且位于x轴的两侧，·2(其中o为坐标原点)，则abo与afo面积之和的最小值是()a2 b3c. d.解析：设直线ab的方程为xnym(如图)，a(x1，y1)，b(x2，y2)，·2，x1x2y1y22.又yx1，yx2，y1y22.联立得y2nym0，y1y2m2，m2，即点m(2,0)又sabosamosbmo|om|y1|om|y2|y1y2，sa

4、fo|of|·|y1|y1，sabosafoy1y2y1y123，当且仅当y1时，等号成立答案：b6直线yx1被抛物线y24x截得的线段的中点坐标是_解析：将yx1代入y24x，整理，得x26x10.由根与系数的关系，得x1x26，3，2.所求点的坐标为(3,2)答案：(3,2)7过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于点a(x1，y1)，b(x2，y2)，若|ab|7，则ab的中点m到抛物线准线的距离为_解析：抛物线的焦点为f(1,0)，准线方程为x1.由抛物线的定义知|ab|af|bf|x1x2x1x2p，即x1x227，得x1x25，于是弦ab的中点m的横坐标为.因此，点m到抛物

5、线准线的距离为1.答案：8已知点a(2,3)在抛物线c：y22px的准线上，过点a的直线与c在第一象限相切于点b，记c的焦点为f，则直线bf的斜率为_解析：抛物线y22px的准线为直线x，而点a(2,3)在准线上，所以2，即p4，从而c：y28x，焦点为f(2,0)设切线方程为y3k(x2)，代入y28x得y2y2k30(k0)，由于14×(2k3)0，所以k2或k.因为切点在第一象限，所以k.将k代入中，得y8，再代入y28x中得x8，所以点b的坐标为(8,8)，所以直线bf的斜率为.答案：9已知抛物线y26x，过点p(4,1)引一弦，使它恰在点p被平分，求这条弦所在的直线方程解析

6、：设弦的两个端点为p1(x1，y1)，p2(x2，y2)p1，p2在抛物线上，y6x1，y6x2.两式相减得(y1y2)(y1y2)6(x1x2)y1y22，代入得k3.直线的方程为y13(x4)，即3xy110.10已知抛物线y24x截直线y2xm所得弦长ab3，(1)求m的值；(2)设p是x轴上的一点，且abp的面积为9，求p点的坐标解析：(1)由4x24(m1)xm20，由根与系数的关系得x1x21m，x1·x2，|ab|··.由|ab|3，即3m4.(2)设p(a,0)，p到直线ab的距离为d，则d，又sabp|ab|·d，则d，|a2|3a5或

7、a1，故点p的坐标为(5,0)或(1,0)b组能力提升1若抛物线y2x上一点p到准线的距离等于它到顶点的距离，则点p的坐标为()a. b.c. d.解析：设抛物线的焦点为f，因为点p到准线的距离等于它到顶点的距离，所以点p为线段of的垂直平分线与抛物线的交点，易求点p的坐标为.答案：b2设抛物线c：y22px(p>0)的焦点为f，点m在c上，|mf|5.若以mf为直径的圆过点(0,2)，则c的方程为()ay24x或y28x by22x或y28xcy24x或y216x dy22x或y216x解析：由已知得抛物线的焦点f，设点a(0,2)，抛物线上点m(x0，y0)，则，.由已知得，

8、3;0，即y8y0160，因而y04，m.由|mf|5得，5，又p>0，解得p2或p8，故选c.答案：c3已知抛物线y24x，过点p(4,0)的直线与抛物线相交于a(x1，y1)，b(x2，y2)两点，则yy的最小值是_解析：设ab的方程为xmy4，代入y24x得y24my160，则y1y24m，y1y216，yy(y1y2)22y1y216m232当m0时，yy最小值为32.答案：324如图，抛物线c1：y22px和圆c2：(x)2y2，其中p0，直线l经过c1的焦点，依次交c1，c2于a，b，c，d四点，则·的值为_解析：易知·|ab|·|cd|，圆c2

9、的圆心即为抛物线c1的焦点f.当直线l的斜率不存在时，l的方程为x，所以a(，p)，b(，)，c(，)，d(，p)，|，所以··；当直线l的斜率存在时，设a(x1，y1)，d(x2，y2)，则|ab|fa|fb|x1x1，同理|cd|x2，设l的方程为yk(x)，由，可得k2x2(pk22p)x0，则·|ab|·|cd|x1·x2.综上，·.答案：5.如图，过抛物线y2x上一点a(4,2)作倾斜角互补的两条直线ab，ac交抛物线于b，c两点，求证：直线bc的斜率是定值证明：设kabk(k0)，直线ab，ac的倾斜角互补，kack(k0

10、)，ab的方程是yk(x4)2.联立方程组消去y后，整理得k2x2(8k24k1)x16k216k40.a(4,2)，b(xb，yb)是上述方程组的解4·xb，即xb，以k代换xb中的k，得xc，kbc.直线bc的斜率为定值6(2020·高考全国卷)在直角坐标系xoy中，直线l：yt(t0)交y轴于点m，交抛物线c：y22px(p0)于点p，m关于点p的对称点为n，连接on并延长交c于点h.(1)求；(2)除h以外，直线mh与c是否有其他公共点？说明理由解析：(1)如图，由已知得m(0，t)，p.又n为m关于点p的对称点，故n，故直线on的方程为yx，将其代入y22px整理得px22t2x0，解得x10，x2.