热力学基础习题课

1、热 学习题课习题课2014.12.2第一章第一章 统计物理学统计物理学1.理想气体状态方程理想气体状态方程molMpVRTRTMpnkT 要求牢记，明确式中各参数的意义要求牢记，明确式中各参数的意义 除碰撞外，分子力可以略去不计除碰撞外，分子力可以略去不计 分子间及分子和器壁间的碰撞是完全弹性碰撞分子间及分子和器壁间的碰撞是完全弹性碰撞 分子可以看作质点分子可以看作质点 212mv23pn理想气体的分子模型为：理想气体的分子模型为：1. 从分子动理论导出的从分子动理论导出的压强公式来看压强公式来看, 气体作气体作用在器壁上的压强用在器壁上的压强, 决决定于定于_和和_ 单位体积内的分子数单位体

2、积内的分子数 n, 分子的平均平动动能分子的平均平动动能2. 在推导理想气体压在推导理想气体压强公式中，体现统计强公式中，体现统计意义的两条假设是意义的两条假设是_和和_沿空间各方向运动的沿空间各方向运动的分子数目相等分子数目相等222xyzvvv32kTpnkT233molkTRTmMv温度的统计意义：温度的统计意义：气体温度是分子平均平动动能的量度分子的平均能量分子的平均能量2kikT质量为质量为 理想气体的内能理想气体的内能M02molmolMMiEERTMM内能随温度的改变内能随温度的改变 2molMiER TM气体处于平衡态时，分子的任何一个自由度的平均动能都相气体处于平衡态时，分子

3、的任何一个自由度的平均动能都相等，均为等，均为 ，这就是，这就是能量按能量按自由度自由度均分定理均分定理. .kT21试写出下列各式的物理意义：试写出下列各式的物理意义： 分子每一自由度所均分的能量分子每一自由度所均分的能量自由度为自由度为 i 的的分子的平均能量分子的平均能量双原子气体双原子气体分子的平均能量分子的平均能量1/3mol单原子理想气体的内能单原子理想气体的内能1mol单原子理想气体的内能单原子理想气体的内能10 mol自由度为自由度为 i 的理想气体的内能的理想气体的内能kT12ikT2kT5/2RT12RT32iRT54、麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律 Ndd vvv：

4、区区间间内内的的分分子子数数NNddvvv：区区间间内内的的分分子子 数数占占总总分分子子数数的的百百分分比比 NfNdd vv（1）.速率分布函数：速率分布函数： NfNdd vv 表示速率表示速率 v 附近附近单位单位速率区间的分子数占分速率区间的分子数占分子总数的百分比子总数的百分比 .（2）.速率分布曲线速率分布曲线（a a） 曲线曲线 f vvv)(vfovvv dSd Sfdd vv 区间区间内的分子数内的分子数占总分子数占总分子数的百分比的百分比d vvv（b b） 曲线曲线 Nf vvv)(vfo1vS2v Sf21d vvvvNN 表示速率在表示速率在 区间的分子数占总分子数

5、的百区间的分子数占总分子数的百分比分比 . .12vv 归一归一化条件化条件 f0d1 vvv( )Nf vovvv dSd SNfdd vv 区间区间内的分子数内的分子数d vvv（3）.麦氏分布函数麦氏分布函数 23/22242mkTmfekT （4）.三种统计速率三种统计速率最概然速率最概然速率v)(vfopvfmaxpkTRTmM22v平均速率平均速率 f0d vvvvkTRTmM88 v平方平均速率平方平均速率 f220d vvvv方均根速率方均根速率rmskTRTmM233 vv分布函数和分布函数和温度温度的关系的关系分子质量相同，分子质量相同，试比较试比较T T1 1和和T T2

6、 2的的大小大小pkTRTmM22vpp12 vvTT12分布函数和分布函数和分分子质量子质量的关系的关系温度相同，试比较温度相同，试比较MM1 1和和MM 2 2的大小的大小pp12 vvMM12 证明题证明题例例: :说明下列各式的物理意义说明下列各式的物理意义fd)( )dnf 21)(fd21)(Nfd解：解：NNfdd)(利用定义分析利用定义分析表示分子速率在表示分子速率在v值附近单位速率区间内的分子数占总分子值附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比，也可表示任何一个分子速率在数的百分比，也可表示任何一个分子速率在v值附近单位速值附近单位速率区间内出现的概率。率区间内出现的概率

7、。 表示分子速率在表示分子速率在 vv+dv 区间内的分子数占总分子数区间内的分子数占总分子数的百分比或出现的概率的百分比或出现的概率fd)( )vvnfdNVdNNdNV表示单位体积内，分子速率在表示单位体积内，分子速率在 vv+dv 区间内的分子数区间内的分子数表示在速率表示在速率v v1 1vv2 2速率区间内，分子出现的概率。速率区间内，分子出现的概率。21)(fd21)(Nfd表示分子速率在表示分子速率在v1 v 2间隔内的分子数。间隔内的分子数。v1 v2速率区间内分子的平均速率速率区间内分子的平均速率 2121ddvvvvvvvvvff NNNN21d/ vvvNN21d vvv

8、v 分子平动动能的平均值分子平动动能的平均值分子平均碰撞频率：分子平均碰撞频率：22dnz 分子平均自由程：分子平均自由程：22122kTzndd P5.重力场中粒子的分布：重力场中粒子的分布：kTmghenn/0/00mgh kTgh RTpn kTen kTe00lnlnppkTRThmgpgp波尔兹曼能量分布波尔兹曼能量分布6 6. .分子碰撞的统计规律分子碰撞的统计规律( (推导推导) )忽略忽略粒子间的相互作粒子间的相互作用用 处于重力场中的某种气体，在高度处于重力场中的某种气体，在高度Z 处单位体积内的分处单位体积内的分子数即分子数密度为子数即分子数密度为 n 。若。若f（v）是分

9、子的速率分布函）是分子的速率分布函数，则坐标数，则坐标 x x + dx 、y y + dy 、z z + dz 介于区间介于区间内，速率介于内，速率介于v v + dv 区间内的分子数区间内的分子数 dN =（ ）zyxvvnfdddd)(iER T2 内能增量内能增量定体摩尔热容定体摩尔热容系统对外做功系统对外做功VW0,0 外界对系统做功外界对系统做功VW0,0 ViCR2 VCT 定压摩尔热容定压摩尔热容pVCCR温度升高温度升高温度降低温度降低TE0,0 系统吸热系统吸热Q0 系统放热系统放热Q0 TE0,0 摩尔热容比摩尔热容比pVCC/ 一、一、热力学第一定律热力学第一定律QEW

10、 过程量过程量状态量状态量状态量状态量只决定于（只决定于（ ），），而与（而与（ ）无关无关始末状态，过程始末状态，过程迈耶公式迈耶公式(推导过程要掌握推导过程要掌握)过程过程等体等体等压等压等温等温绝热绝热W EQ方程方程 VpP-V图图VpVpVp000ppTT1212 恒恒量量VCT VCT VVTT1212 恒恒量量VCT pCT p V pVpV1 12 2 恒恒 量量VRTV21ln pV 恒恒量量TV1 恒恒量量pT1 恒恒量量VCT pVp VE11221 二、四种过程二、四种过程VRTV21ln 三、循环过程三、循环过程pVOAa21QQE0正循环：正循环： 顺时针顺时针WQ

11、Q12 净净0 pVOAa21QQ逆循环：逆循环： 逆时针逆时针WQQ21净净0 W净净= 曲线所围的面积曲线所围的面积nQQQ12正循环：正循环： 顺时针顺时针WQQ12 净净0 逆循环：逆循环： 逆时针逆时针WQQ21净净0 W净净= 曲线所围的面积曲线所围的面积nQQQ121. 热机循环热机循环pVOAa21QQ热机热机高温热源高温热源低温热源低温热源T1T2WQ1Q2热机效率热机效率 WQ1QQ211WQQ12 1. 热机循环热机循环pVOAa21QQ热机热机高温热源高温热源低温热源低温热源T1T2WQ1Q2热机效率热机效率 WQ1QQ211WQQ12 2. 制冷循环制冷循环pVOAa

12、21QQ致冷机致冷机高温热源高温热源低温热源低温热源T1T2WQ1Q2致冷机致冷系数致冷机致冷系数 WQ2WQQ12 QQQ212 2. 致冷循环致冷循环pVOAa21QQ致冷机致冷机高温热源高温热源低温热源低温热源T1T2WQ1Q2致冷机致冷系数致冷机致冷系数e WQ2WQQ12 QQQ212 3. 卡诺循环卡诺循环Vop2TW1TABCD1p2p4p3p1V4V2V3V21TT 卡诺循环由两个等温过程和两个卡诺循环由两个等温过程和两个绝热过程组成绝热过程组成卡诺热机卡诺热机QTQT221111 卡卡诺诺TTT212 3. 卡诺循环卡诺循环Vop2TW1TABCD1p2p4p3p1V4V2V

13、3V21TT 卡诺循环由两个等温过程和两个卡诺循环由两个等温过程和两个绝热过程组成绝热过程组成卡诺热机卡诺热机QTQT221111 卡卡诺诺卡诺致冷机卡诺致冷机212QQQ 卡卡诺诺2T1T121TT关于可逆过程和不可逆过程的判断：关于可逆过程和不可逆过程的判断： (1) 可逆热力学过程一定是准静态过可逆热力学过程一定是准静态过(2) 准静态过程一定是可逆过程准静态过程一定是可逆过程(3) 不可逆过程就是不能向相反方向进行的过程不可逆过程就是不能向相反方向进行的过程(4) 凡有摩擦的过程凡有摩擦的过程,一定是不可逆过程一定是不可逆过程以上四种判断，其中正确的是以上四种判断，其中正确的是 6 .

14、6 .熵熵玻尔兹曼熵公式玻尔兹曼熵公式 lnkS克劳修斯熵公式克劳修斯熵公式 TQSd熵增加原理熵增加原理孤立系统孤立系统自发过程自发过程0 S过程等容等温等压绝热可逆过程0绝热自由膨胀(证明其不可逆证明其不可逆)12VVlnR PdVT2ln1VCPV pC dTTvC dTT12vTTlnC 12VVlnR PdVTdQSdT不同过程的熵变不同过程的熵变例例 解：（解：（1）过程过程：过程过程 ：abc0P09P0VVP03V 1mol单原子单原子分子的理想气体，经历如图所示的可逆循分子的理想气体，经历如图所示的可逆循环，连接环，连接ac两点的曲线两点的曲线的方程为的方程为 ，a点点的温度

15、为的温度为 。（。（ 1）试以）试以 、R表示表示、过程中气过程中气体吸收的热量。（体吸收的热量。（2）求此循环的效率。）求此循环的效率。 200/pV Vp 0T0T IVbaQCTT 32VCR 32baR TT 32bbaVpp0012p V 012RT IIpcbQCTT 52pCR 52cbR TT 52bcbpVV 00ccpVVp 03V 0045p V 045RT 过程过程 ： IIIVacECTT 32acR TT 32aaccp VpV 0039pV 039RT 例例:1千克千克0的水和一个的水和一个100的热源接触，当水温达到的热源接触，当水温达到100时，水的熵增加多少

16、时，水的熵增加多少?热源的熵增加多少热源的熵增加多少?水和热源的水和热源的总熵增加多少总熵增加多少(水的定压比热容为水的定压比热容为4.187103Jkg-1K-1 )? 解解 水的熵的增加量为水的熵的增加量为 373.151273.1533-1d373.15ln273.15 4.187 10 ln1.3661.306 10 J KppCTSCT热源的熵的增量为热源的熵的增量为 53-121004.187 101.122 10 J K373.15373.15pCS 水和热源的总熵的增加量为水和热源的总熵的增加量为 3-1120.184 10 J KSSS 因因 ，所以这个过程是不可逆的。，所以

17、这个过程是不可逆的。 0S 例：理想气体开始处于例：理想气体开始处于T T1 1=300K, p=300K, p1 1=3.039=3.039 10105 5Pa, Pa, V V1 1=4m=4m3 3状态，先等温膨胀至状态，先等温膨胀至16m16m3 3，接着经过一等体过，接着经过一等体过程达到某一压强，再经绝热压缩回到初态。设全部程达到某一压强，再经绝热压缩回到初态。设全部过程都是可逆的且过程都是可逆的且 =1.4=1.4在在P-VP-V图和图和T-ST-S图上分别画出图上分别画出上述循环。（上述循环。（2 2）计算每段过程和循环过程所做的功）计算每段过程和循环过程所做的功和熵变。和熵变。解：（解：（1）ST123Vconst.T const.V const.Q 2d0T 13d0Q d/SQ T ddd,V mCTESTT 0,0( )ln(/)V mS TSCT T 12等温过程，气体对外做功：等温过程，气体对外做功：23等容过程，气体对外做功等容过程，气体对外做功A2=0熵的增加：熵的增加：熵的增加：熵的增加： 221162111111ddln1.685 10JVVVVVVAp VpVpVVV -1