自考概率论课件第一章事件及其概率

1、自考概率论课件第一章事件自考概率论课件第一章事件及其概率及其概率2021年年7月月12日日自考概率论课件第一章事件及其概率自考概率论课件第一章事件及其概率22021年年7月月12日日自考概率论课件第一章事件及其概率自考概率论课件第一章事件及其概率3 引引 言言一、概率论的发展史一、概率论的发展史1 1. .起源阶段起源阶段 17 17世纪中叶，赌博已风靡了欧洲。摩纳哥的蒙特卡洛城世纪中叶，赌博已风靡了欧洲。摩纳哥的蒙特卡洛城是世界闻名的大赌城，那里云集了世界各国的赌徒们是世界闻名的大赌城，那里云集了世界各国的赌徒们. .他他们提出了一些赌博中的难题求教于当时的数学家：帕斯卡们提出了一些赌博中的

2、难题求教于当时的数学家：帕斯卡、费马、高斯等，希望他们能揭示其中的弊端，指点迷津、费马、高斯等，希望他们能揭示其中的弊端，指点迷津. .为此数学家们进行了探讨，从而开创了一门新的数学分为此数学家们进行了探讨，从而开创了一门新的数学分支支概率论概率论.1657.1657年荷兰的惠更斯发表的论赌博中的年荷兰的惠更斯发表的论赌博中的计算大概要算古典概率中的最早的著作计算大概要算古典概率中的最早的著作. .2021年年7月月12日日自考概率论课件第一章事件及其概率自考概率论课件第一章事件及其概率42 2. .直观认识阶段直观认识阶段 概率论的蓬勃发展是概率论的蓬勃发展是1919世纪末的事情，随着生产世

3、纪末的事情，随着生产和自然科学的发展，概率论在物理学、社会保险事业和自然科学的发展，概率论在物理学、社会保险事业（人寿保险）和大规模的工业生产中得到应用，应用（人寿保险）和大规模的工业生产中得到应用，应用的同时使之得到发展，广泛地应用了微积分、微分方的同时使之得到发展，广泛地应用了微积分、微分方程、代数和几何的工具。但此时概率论不是一门成熟程、代数和几何的工具。但此时概率论不是一门成熟的学科，它的基本概念缺乏严格定义，仅仅停留在直的学科，它的基本概念缺乏严格定义，仅仅停留在直观的基础上。观的基础上。2021年年7月月12日日自考概率论课件第一章事件及其概率自考概率论课件第一章事件及其概率53

4、3. .公理化阶段公理化阶段 20 20世纪世纪3030年代，概率论建立了严格的公理化系统（年代，概率论建立了严格的公理化系统（柯尔莫哥洛夫）。具体地说：用集合定义了事件，用测度柯尔莫哥洛夫）。具体地说：用集合定义了事件，用测度定义概率，用可测函数定义随机变量和随机过程，用积分定义概率，用可测函数定义随机变量和随机过程，用积分定义数学期望等，使概率论日趋成熟与完善。定义数学期望等，使概率论日趋成熟与完善。应用概率论解决实际问题的方法称为统计方法。应用概率论解决实际问题的方法称为统计方法。2021年年7月月12日日自考概率论课件第一章事件及其概率自考概率论课件第一章事件及其概率6二、应用二、应用

5、1.大批产品的质量估计与控制大批产品的质量估计与控制2.误差理论误差理论3.气象、地震的预测（如：气象统计学）气象、地震的预测（如：气象统计学）4.水文水文“水文统计学水文统计学”5.公共服务事业：保险（保险精算）、排队论公共服务事业：保险（保险精算）、排队论6.投资理论投资理论2021年年7月月12日日自考概率论课件第一章事件及其概率自考概率论课件第一章事件及其概率7三、概率论研究的对象三、概率论研究的对象 概率论与数理统计是一门研究随机现象量的规律性的概率论与数理统计是一门研究随机现象量的规律性的数学学科。数学学科。 那么，什么叫随机现象？请看下面两个试验：那么，什么叫随机现象？请看下面两

6、个试验： 试验试验1 1. .一个盒子有一个盒子有1010个完全相同的白球，搅匀从中任个完全相同的白球，搅匀从中任取一个球。结果如何？取一个球。结果如何？ 试验试验2 2. .一个盒子有一个盒子有1010个大小、质地完全相同的球个大小、质地完全相同的球, ,其中其中5 5个白球，个白球，5 5个黑球个黑球, ,搅匀从中任取一个球。结果又如何搅匀从中任取一个球。结果又如何? ?试验试验1 1的结果是确定性现象，试验的结果是确定性现象，试验2 2的结果就是随机现象。的结果就是随机现象。2021年年7月月12日日自考概率论课件第一章事件及其概率自考概率论课件第一章事件及其概率8 确定性现象：在给定条

7、件下一定会发生或一定不会发生的现象确定性现象：在给定条件下一定会发生或一定不会发生的现象. 随机现象：在给定条件下可能发生也可能不发生的现象随机现象：在给定条件下可能发生也可能不发生的现象.例例 1 (1)太阳从东方升起；太阳从东方升起； (2)边长为边长为a的正方形的面积为的正方形的面积为a2 ； (3)一袋中有一袋中有10个白球，今从中任取一球为白球；个白球，今从中任取一球为白球；例例 2 (4)掷一枚硬币，正面向上；掷一枚硬币，正面向上； (5)掷一枚骰子，向上的点数为掷一枚骰子，向上的点数为2 ； (6)一袋中有一袋中有5个白球个白球3个黑球，今从中任取一球为白球个黑球，今从中任取一球

8、为白球. 确定性现象与随机现象确定性现象与随机现象2021年年7月月12日日自考概率论课件第一章事件及其概率自考概率论课件第一章事件及其概率9第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率 1.1 1.1 随机事件及其运算随机事件及其运算试验：为了研究随机现象，对客观事物进行观察的过程试验：为了研究随机现象，对客观事物进行观察的过程. 1. 随机试验随机试验随机试验：具有以下特点的试验称为随机试验，用随机试验：具有以下特点的试验称为随机试验，用E表示表示. （1）在相同的条件下可以重复进行；（可重复性）在相同的条件下可以重复进行；（可重复性） （2）每次试验的结果不止一个，并且在试验之前可以明

9、确）每次试验的结果不止一个，并且在试验之前可以明确 试验所有可能的结果；（结果的非单一性或多结果性）试验所有可能的结果；（结果的非单一性或多结果性） （3）在每次试验之前不能准确地预言该次试验将出现哪一在每次试验之前不能准确地预言该次试验将出现哪一 种结果。（随机性）种结果。（随机性）注意：注意：今后所说的试验今后所说的试验 均指随机试验，且是广泛的术语均指随机试验，且是广泛的术语. .一、随机事件一、随机事件2021年年7月月12日日自考概率论课件第一章事件及其概率自考概率论课件第一章事件及其概率102. 随机事件：随机试验的结果称为事件随机事件：随机试验的结果称为事件. 每每 次试验中，可

10、能发生也可能不发生，而在大量试次试验中，可能发生也可能不发生，而在大量试验中具有某种规律性的现象称为随机事件验中具有某种规律性的现象称为随机事件.用用A,B,C等表示等表示.注意：注意：1.今后所指的事件均指随机事件今后所指的事件均指随机事件. 2.试验的结果也叫随机现象，随机现象即试验的结果也叫随机现象，随机现象即 随机事件随机事件. .2021年年7月月12日日自考概率论课件第一章事件及其概率自考概率论课件第一章事件及其概率11随机事件的分类：随机事件的分类：(1)基本事件：对于试验目的而言不可再细分的试验结果基本事件：对于试验目的而言不可再细分的试验结果.(2)复合事件：由若干个基本事件

11、构成的事件复合事件：由若干个基本事件构成的事件.(3)必然事件：每次试验中一定发生的事件必然事件：每次试验中一定发生的事件.(4)不可能事件：每次试验中一定不发生的事件不可能事件：每次试验中一定不发生的事件.例例1. 掷一枚均匀的骰子，掷一枚均匀的骰子， =点数小于等于点数小于等于6,A=点数为点数为4, B=偶数点偶数点，C=点数不大于点数不大于3, =点数为点数为8则基本事件为则基本事件为? 复合事件为？必然事件为？不可能事件为？复合事件为？必然事件为？不可能事件为？注意：（注意：（1）基本事件、复合事件、必然事件、不可能事件是相对）基本事件、复合事件、必然事件、不可能事件是相对 于试验条

12、件而言于试验条件而言. （2）必然事件、不可能事件是确定性事件，是随机事件的必然事件、不可能事件是确定性事件，是随机事件的 极端情况极端情况. （3）事件）事件A发生：当且仅当事件发生：当且仅当事件A中的一个基本事件出现中的一个基本事件出现.2021年年7月月12日日自考概率论课件第一章事件及其概率自考概率论课件第一章事件及其概率123. 样本空间：所有的基本事件组成的集合，用样本空间：所有的基本事件组成的集合，用 表示表示. 样本点：样本空间中的每一个元素为一个样本点样本点：样本空间中的每一个元素为一个样本点. 用用 表示表示.例例:掷硬币掷硬币 =正面，反面正面，反面；“正面正面”是一个样

13、本点是一个样本点. 掷骰子掷骰子 =1,2,3,4,5,6；“1”是一个样本点是一个样本点.可见：可见：样本空间作为事件即必然事件；样本空间作为事件即必然事件； 样本点即基本事件样本点即基本事件. . 2021年年7月月12日日自考概率论课件第一章事件及其概率自考概率论课件第一章事件及其概率13例例1. 掷一枚均匀的骰子，观察向上的点数，掷一枚均匀的骰子，观察向上的点数， =？ =1，2，3，4，5，6例例2 .在某段时间内，考察车站候车的旅客数，在某段时间内，考察车站候车的旅客数， =？ =0，1，2，3. 例例3 .向区间向区间a, b内随机的投一质点，观察落点的坐标，内随机的投一质点，观

14、察落点的坐标， =a, b例例4 .同时掷两枚均匀的硬币，同时掷两枚均匀的硬币， 1表示表示“正面向上正面向上”， 0表示表示“反面向上反面向上”， =？ =( 0 , 0 ), ( 1 , 0 ), ( 0 , 1 ), ( 1 , 1 ) 例例5 .向平面上随机的投一质点，观察落点的坐标，向平面上随机的投一质点，观察落点的坐标， =？ =(x,y)2021年年7月月12日日自考概率论课件第一章事件及其概率自考概率论课件第一章事件及其概率14二、事件的集合表示二、事件的集合表示 我们用点集的概念与图示方法来研究事件之间的关系和运算，我们用点集的概念与图示方法来研究事件之间的关系和运算，会比较

15、直观，容易理解会比较直观，容易理解. 规定：规定：样本空间样本空间 全部样本点的集合全部样本点的集合 全集全集 基本事件基本事件 一个样本点的集合，即单点集一个样本点的集合，即单点集. 复合事件复合事件 多个样本点的集合多个样本点的集合 不可能事件不可能事件 不含任何样本点的集合不含任何样本点的集合 空集空集所谓事件所谓事件A发生，当且仅当发生，当且仅当A中的某个样本点出现中的某个样本点出现. .2021年年7月月12日日自考概率论课件第一章事件及其概率自考概率论课件第一章事件及其概率15三、事件间的关系及运算三、事件间的关系及运算 因为任一随机事件因为任一随机事件都是样本空间的一个子集，所以

16、事都是样本空间的一个子集，所以事件的关系和运算与集合的关系和运算完全类似件的关系和运算与集合的关系和运算完全类似. .1 1. .事件的包含与相等事件的包含与相等 事件事件A发生必然导致事件发生必然导致事件B发生发生，则称事件，则称事件B 包含事件包含事件A，或称事件称事件A包含于事件包含于事件B ，记为，记为A B 或或 B A.样本空间样本空间BA属于属于 A 的的 必然属于必然属于 B 注：对注：对任一事件任一事件 A 有：有： A 当事件包含事件当事件包含事件且且事件也包含事件也包含事件时事件时，则称事件与事件，则称事件与事件相等相等. .记为记为= =. .2021年年7月月12日日

17、自考概率论课件第一章事件及其概率自考概率论课件第一章事件及其概率16样本空间 2. 事件的并（和）事件的并（和） “两事件与中至少有一个发生两事件与中至少有一个发生” 这一事件称为事这一事件称为事件与的并（件与的并（和）和）. .记为：记为： 或或+ +. .中的样本点是中的样中的样本点是中的样本点与中的样本点的合并本点与中的样本点的合并 例如：掷一枚例如：掷一枚骰子骰子，A =奇数点奇数点 ，B=点数小于点数小于4.4.则：则：AB= =1，3，51，2，3注意=1，2，3，5(1)+ A, A+A=A, A+ = .2021年年7月月12日日自考概率论课件第一章事件及其概率自考概率论课件第

18、一章事件及其概率17样本空间A B3. 事件的交（积）事件的交（积） “两事件与都发生两事件与都发生” 这一事件称为这一事件称为事件与的事件与的交（积）交（积）. .记为：记为：或或. .是由与中公是由与中公共的样本点构成共的样本点构成. .A BA则则=1, 3, 51, 2, 3 =1， 3 例如：掷一枚例如：掷一枚骰子骰子，A =奇数点奇数点 ，B=点数小于点数小于4.4.注意注意 A，A=A， = ， =A .事件的并与交可推广：事件的并与交可推广：niiniiAA11或niiniiAA11或2021年年7月月12日日自考概率论课件第一章事件及其概率自考概率论课件第一章事件及其概率18

19、4.事件事件的差的差 事件发生而事件不发生事件发生而事件不发生，这一事件称为事件这一事件称为事件A与事与事件件B的差，记为：的差，记为：AB.即：即：AB是把是把A中属于中属于B的元素去的元素去掉掉.5. 事件的互不相容（互斥）事件的互不相容（互斥） 若两事件与不能同时发生若两事件与不能同时发生，即，即AB=，则则称事件与是互不称事件与是互不相容的（或互斥的）相容的（或互斥的）.注：任意两个注：任意两个基本事件之间互不相容基本事件之间互不相容, ,样本空间样本空间AB如：掷一枚如：掷一枚骰骰子，子，A=偶数点偶数点，B=小于小于5的奇数点的奇数点，A与与B互斥互斥.注意注意 一般地一般地AB=

20、AAB2021年年7月月12日日自考概率论课件第一章事件及其概率自考概率论课件第一章事件及其概率19 若若 n 个事件个事件 A1，A2，An 中任两个都不可能同中任两个都不可能同时发生时发生，即：，即：AiAj=，(1ijn)，则称则称这这 n 个事件个事件是两两互不是两两互不相容的（或互斥的）相容的（或互斥的）. 可以进一步推广到无穷可列个事件两两互不相容可以进一步推广到无穷可列个事件两两互不相容.*事件的互不相容的推广事件的互不相容的推广书上说书上说“A1，A2，An互不相容互不相容”2021年年7月月12日日自考概率论课件第一章事件及其概率自考概率论课件第一章事件及其概率20样本空间样

21、本空间 A6. 对立事件（逆事件）对立事件（逆事件） 若事件与互不相容，若事件与互不相容，且且它们的和是必然事件它们的和是必然事件，即即 （1） AB=（2） AB=（或或A+B=）则则 称事件与是对立事件，称事件称事件与是对立事件，称事件(事件事件)是事件是事件 (事件事件)的对立事件的对立事件(逆事件逆事件).记为：记为：AABBA或,2021年年7月月12日日自考概率论课件第一章事件及其概率自考概率论课件第一章事件及其概率21 注注 (1 (1）对立事件是相互的对立事件是相互的: :A是是A的对立事件，的对立事件，A也是也是A的对立事件的对立事件 ，即：，即：AA （2 2）一般一般 A

22、 B = A AB = =BA（3） 对立事件与互不相容事件的联系与区别对立事件与互不相容事件的联系与区别10 两事件对立，必互不相容，反之不然两事件对立，必互不相容，反之不然. . A与与B对立对立 AB=且且 AB=2021年年7月月12日日自考概率论课件第一章事件及其概率自考概率论课件第一章事件及其概率22在例在例1 1中，设中，设Ai=取到取到i号球号球 ，( (i=1,2,=1,2,10),10)7. 完备事件组完备事件组若若 n个事件个事件A1，A2，An两两两两互不相容互不相容，且，且 Ai = = 即：即： (1) A1A2An = = (2) AiAj=，(1i0，在事件在事

23、件B已经发生的条件下已经发生的条件下,事件事件A发生的概率发生的概率,称为事件称为事件A对对B的条件概率的条件概率, 记记P(A|B).注注 (1) P(A)称为无条件概率，一般称为无条件概率，一般 P(A)P(A|B).(2)性质：设性质：设P(B)0， P(|B)=1， P(|B)=0. 对于任一事件对于任一事件A,都有都有 0P(A|B)1.(|)(|)1P A BP A B2 2. . 条件概率的计算条件概率的计算两种方法：按定义直接计算；按公式计算两种方法：按定义直接计算；按公式计算2021年年7月月12日日自考概率论课件第一章事件及其概率自考概率论课件第一章事件及其概率39 例例1

24、 全年级全年级100名学生中，有男生（名学生中，有男生（A表示）表示）80人，女生人，女生20人；人；来自北京的（来自北京的（B表示）有表示）有20人，其中男生人，其中男生12人，女生人，女生8人；免修英语人；免修英语的（的（C表示）表示）40人中有人中有32名男生名男生.求下列事件的概率：求下列事件的概率：P(A),P(B),P(C)，P(AB), P(AC), P(A|B), P(B|A), P(C|A),(|).P A B解：解：. 4 . 010040)(, 2 . 010020)(, 8 . 010080)(CPBPAPP(A|B)=12/20，P(B|A)=12/80，(|)P A

25、 B=12/80.P(AB)=12/100，12()20P A B 12/10020/100()( )P ABP BP(AC)=32/100.P(C|A)=32/80，()(|)( )P ABP A BP B()(|)( )P ABP B AP A2021年年7月月12日日自考概率论课件第一章事件及其概率自考概率论课件第一章事件及其概率40 例例2 在全部产品中，有在全部产品中，有4%是废品，有是废品，有72%为一等品为一等品.现从其中任取一件为合格品，求它是一等品的概率现从其中任取一件为合格品，求它是一等品的概率.解：设解：设A表示表示“合格品合格品”，B“一等品一等品”.()(|)()P

26、ABP B AP AP14例例1-18由题设知，由题设知，P(A)=1-4%=96%, P(AB)=72%,0.720.750.96()(|)( )P ABP A BP B()(|)( )P ABP B AP A练习：练习：P14例例1-19,1-20.2021年年7月月12日日自考概率论课件第一章事件及其概率自考概率论课件第一章事件及其概率41 对任意两事件对任意两事件A、B，都有都有 P(AB)=P(A)P(B|A) ( P(A)0 )2.2.乘乘 法法 公公 式式P(AB)=P(B)P(A|B) ( P(B)0 )推广推广 P(ABC)= P(A)P(B|A)P(C|AB)()(|)()

27、()(|)()P ABP B AP AP ABP A BP B例例1-21 在在10个产品中，有个产品中，有2个次品，不放回抽取个次品，不放回抽取2次，每次，每次取一个，求取到的次取一个，求取到的2件都是次品的概率件都是次品的概率.解：设解：设A“第一次取到次品第一次取到次品”，B“第二次取到次品第二次取到次品”AB由乘法公式：由乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)21109145再求第二次才取到次品的概率？再求第二次才取到次品的概率？()P AB( ) (|)P A P B A82810945练习：练习：P15例例1-222021年年7月月12日日自考概率论课件第一章事件及其概率自考概

28、率论课件第一章事件及其概率42例例1-23 设设P(A)=0.8, P(B)=0.4, P(B|A)=0.25，求，求P(A|B).解：解：P(AB)=P(A)P(B|A) =0.80.25=0.2()(|)( )P ABP A BP B0.20.50.4P17习题习题1.32.( )0.5, ()0.3,(|).P AP ABP B A设设求求解：解：,AB A B A AB ()( )(),P ABP AP AB0.3=0.5-P(AB),P(AB)=0.2，()(|)( )P ABP B AP A0.20.40.51113.( ), (|), (|)().432P AP B AP A B

29、P AB设设, ,求求P(AB)=P(A)P(B|A)解：解：=1/12，()(|),( )P ABP A BP BP(B)=1/2P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)= 2/32021年年7月月12日日自考概率论课件第一章事件及其概率自考概率论课件第一章事件及其概率43例例 市场上供应的灯泡中，甲厂占市场上供应的灯泡中，甲厂占60%，乙厂占，乙厂占40%.甲厂甲厂产品的合格品率为产品的合格品率为90%，乙厂产品的合格品率为，乙厂产品的合格品率为80%.求：求：(1)从市场上买一灯泡是甲厂生产的合格品的概率；从市场上买一灯泡是甲厂生产的合格品的概率；(2)从从市场上买一灯泡是乙厂生产的合

30、格品的概率市场上买一灯泡是乙厂生产的合格品的概率. 解解: :记记A“甲厂生产的灯泡甲厂生产的灯泡”, B“合格灯泡合格灯泡”. 由已知由已知: :( | )0.8P B A (1) P(AB)= P(A)P(B|A) AB“甲厂产的合格品甲厂产的合格品”, AB“乙厂产的合格品乙厂产的合格品”= 0.60.9 = 0.54 . (2) ()( ) (|)P ABP A P B A= 0.40.8 = 0.32 . 问题：如何求市场上灯泡的合格品率问题：如何求市场上灯泡的合格品率P(B)？全概率公式全概率公式( )0.6, ( )0.4,P AP A(|)0.9,P B A BB ( )()(

31、)P BP ABP AB( ) (|)( ) (|)P A P B AP A P B A()AA BABAB= 0.60.9+0.40.8=0.86.2021年年7月月12日日自考概率论课件第一章事件及其概率自考概率论课件第一章事件及其概率44二、全概率公式与二、全概率公式与BayesBayes公式公式全概率公式全概率公式 设设A1, A2, , An 构成一个完备事件组，并且构成一个完备事件组，并且 P(Ai)0, i=1,2, n, 则任意事件则任意事件B的概率为的概率为1( )() (|)niiiP BP A P B A证明：证明：1niiBAP) ()(BPBP)|()(1iniiAB

32、PAP)(1niiABPniiBAP1)()(|)( )kkP A BP ABP BBayes公式公式1() ( |)(| )( ) ( |)kkkniiiP A P B AP A BP A P B A2021年年7月月12日日自考概率论课件第一章事件及其概率自考概率论课件第一章事件及其概率45使用全概率公式时，应注意以下三点：使用全概率公式时，应注意以下三点： 1.在较复杂情况下直接计算在较复杂情况下直接计算P(B)不易，将不易，将B分解成互斥事件分解成互斥事件AiB的和，所以在使用全概率公式时，关键在于寻找完备事件组的和，所以在使用全概率公式时，关键在于寻找完备事件组A1，A2，就是寻找导

33、致，就是寻找导致B发生的各种原因，或伴随发生的各种原因，或伴随B发生的各种情发生的各种情况况. 2.定理的条件可以降低为定理的条件可以降低为 ： 3.若试验可看作分两个阶段进行，而第一阶段有多种可能的结果若试验可看作分两个阶段进行，而第一阶段有多种可能的结果（即不确定的），要求的是第二阶段中某个结果（即不确定的），要求的是第二阶段中某个结果B发生的概率，发生的概率，就用全概率公式就用全概率公式. .两两互斥。且,.,21BABABAii2021年年7月月12日日自考概率论课件第一章事件及其概率自考概率论课件第一章事件及其概率46 解：解： 设设A“第一次取出的是白球；第一次取出的是白球； 例例

34、1-24（P15）盒中有盒中有5 5个白球个白球3 3个黑球，连续不放回地从个黑球，连续不放回地从中取两次，每次取一个球，求第二次取到白球的概率中取两次，每次取一个球，求第二次取到白球的概率. .A“第一次取出的球是黑球第一次取出的球是黑球. .B“第二次取出的球是白球第二次取出的球是白球”. .由全概率公式得：由全概率公式得：)()()()()(ABPAPABPAPBP58473857582021年年7月月12日日自考概率论课件第一章事件及其概率自考概率论课件第一章事件及其概率47 例例1-25（P162）某工厂中有甲、某工厂中有甲、 乙、丙三台机器生产同乙、丙三台机器生产同一型号的产品，它

35、们的产量各占一型号的产品，它们的产量各占30%，35%，35%，且，且各自生产的产品中废品率分别占各自生产的产品中废品率分别占5%，4%，3%.求从该求从该厂的这种产品中任取一件是废品的概率厂的这种产品中任取一件是废品的概率.设设A1,A2,A3分别表示分别表示“甲甲,乙乙,丙三台机器生产的产品丙三台机器生产的产品” ，解解由全概率公式得：由全概率公式得：=0.30.05+0.350.04+0.350.03= 0.0395B “废品废品”P(B)= P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)2021年年7月月12日日自考概率论课件第一章事件及其概率自考概率论

36、课件第一章事件及其概率48 例例(补补)某厂有四条流水线生产同一种产品，其产量分某厂有四条流水线生产同一种产品，其产量分别占总产量的别占总产量的15%，20%，30%，35%.又这四条流水线又这四条流水线的不合格率依次为的不合格率依次为0.05，0.04，0.03，0.02.现从出厂产品现从出厂产品中任取一件，求恰好取到不合格品的概率中任取一件，求恰好取到不合格品的概率; 解解: Ai“第第i条流水线生产的产品条流水线生产的产品” (i=1，2，3，4), B “不合格品不合格品”. 由题设知：由题设知： P(A1)=0.15, P(A2)=0.2, P(A3)=0.3, P(A4)=0.35

37、; P(B|A1)=0.05, P(B|A2)=0.04, P(B|A3)=0.03, P(B|A4)=0.02 .则则41( )() (|)iiiP BP A P B A =0.150.05 +0.20.04+0.30.03+0.350.02=0.03152021年年7月月12日日自考概率论课件第一章事件及其概率自考概率论课件第一章事件及其概率49 实际中还有一类问题实际中还有一类问题“已知结果求原因已知结果求原因”. .这类问题在实际中常这类问题在实际中常见见( (如流水线追究责任问题如流水线追究责任问题), ),已知某结果发生的条件下，求各原因发已知某结果发生的条件下，求各原因发生的可能

38、性大小，即求条件概率生的可能性大小，即求条件概率. .贝叶斯公式就解决这类问题贝叶斯公式就解决这类问题. . 某厂有四条流水线生产同一种产品，其产量分别占总产量的某厂有四条流水线生产同一种产品，其产量分别占总产量的15%，20%，30%，35%.又这四条流水线的不合格率依次为又这四条流水线的不合格率依次为0.05，0.04，0.03，0.02.现从出厂产品中任取一件现从出厂产品中任取一件,结果是次品结果是次品,问该次品属问该次品属于第四条流水线生产的可能性有多大？于第四条流水线生产的可能性有多大？BP(A4|B)=4()( )P A BP B4441() (|)() (|)iiiP A P B

39、 AP A P B A0.35 0.020.2220.03152021年年7月月12日日自考概率论课件第一章事件及其概率自考概率论课件第一章事件及其概率50 例例1-29 (P17) 针对某疾病进行一种化验，患该病的人针对某疾病进行一种化验，患该病的人中有中有90%呈阳性反应，而未患该病的人中有呈阳性反应，而未患该病的人中有5%呈现阳呈现阳性反应性反应.设人群中有设人群中有1%的人患有这种病的人患有这种病.若某人做化验呈若某人做化验呈现阳性反应，则他确患该病的概率是多少？现阳性反应，则他确患该病的概率是多少？()(|)( )P ABP A BP B要求要求P(A|B).解：设解：设A“患病患病

40、”, ,B“化验呈阳性反应化验呈阳性反应”. . 人人有病有病无病无病阳性阳性阴性阴性阳性阳性阴性阴性1%90%5%由全概率公式得：由全概率公式得：( )( ) ()( ) ()P BP A P B AP A P B A=1%90%+ 99%5%=0.05851% 90%0.150.05852021年年7月月12日日自考概率论课件第一章事件及其概率自考概率论课件第一章事件及其概率51练习：有朋友自远方来，他坐火车、船、汽车、飞机的可能性练习：有朋友自远方来，他坐火车、船、汽车、飞机的可能性分别是分别是0.3、0.2、0.1和和0.4，如果他坐火车、船、汽车来的话，如果他坐火车、船、汽车来的话，

41、 迟到的概率分别是迟到的概率分别是 1/4、1/3、1/12，而坐飞机不会迟到，而坐飞机不会迟到.结果结果他迟到了，问他坐火车来的概率是多少？他迟到了，问他坐火车来的概率是多少？解：设解：设A1“坐火车坐火车”，A2“坐船坐船”，A3“坐汽车坐汽车”，A4“坐飞机坐飞机”， B“迟到迟到”. 由贝叶斯公式得：由贝叶斯公式得：10.340.51110.30.20.10.4 04312 P(A1)=0.3， P(A2)=0.2， P(A3)=0.1， P(A4)=0.4 P(B|A1)=1/4， P(B|A2)=1/3， P(B|A3)=1/12， P(B|A4)=0 11()(|) ( )P A

42、 BP A BP B要求要求P(A1|B)1141() (|)() (|)iiiP A P B AP A P B A2021年年7月月12日日自考概率论课件第一章事件及其概率自考概率论课件第一章事件及其概率52 用用P(AB)=P(A)P(B)来刻划独立性更方便，它不受来刻划独立性更方便，它不受P(B)是否为是否为0 0的制约，而且，式中事件的制约，而且，式中事件A与与B的地位对称，反映的地位对称，反映了独立的相互性了独立的相互性. . 一般地，一般地，P(A|B) P(A) ，当，当P(A|B) =P(A) 时，意味着事件时，意味着事件B发发生与否不影响事件生与否不影响事件A的概率，从这个意

43、义上讲，的概率，从这个意义上讲，A对于对于B是独立是独立的的. 反之亦然反之亦然.P(A)=P(A|B)1.4 事件的独立性事件的独立性P(AB)=P(A)P(B) ( P(A)0, P(B) 0 )一、事件的独立性一、事件的独立性 1.1.定义定义 若若P(AB)=P(A)P(B)， 则称事件则称事件A与与B相互独立相互独立.必然事件必然事件与任意事件与任意事件A独立；不可能事件独立；不可能事件与与A独立独立.2021年年7月月12日日自考概率论课件第一章事件及其概率自考概率论课件第一章事件及其概率533 3. .多个事件的独立性多个事件的独立性（1 1）三个事件独立的定义：）三个事件独立的

44、定义：若事件若事件A A、B B、C C满足下列等式满足下列等式)()()()()()()()()()()()()(CPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABP则称则称A A、B B、C C相互独立相互独立. .A、B、C两两独立两两独立.注注 (1)由由A、B、C独立，可得两两独立；反之不然独立，可得两两独立；反之不然.(2)由由A、B、C独立独立P(ABC)=P(A)P(B)P(C)；反之不然反之不然. .(3)若若A、B、C独立，则它们及它们的对立事件中任一部分也独立独立，则它们及它们的对立事件中任一部分也独立.CBA,也独立也独立. . (4)若若A、B、C独立，则独

45、立，则)()()(1)(CPBPAPCBAP如：如：2021年年7月月12日日自考概率论课件第一章事件及其概率自考概率论课件第一章事件及其概率542.事件事件A与与B独立的性质独立的性质 若事件若事件A与与B独立，则以下各对事件独立，则以下各对事件证证: :()P AB =P(A)- -P(AB) =P(A) 1-P(B)( ) ( )P A P B;AB AB AB与与与都相互独立都相互独立.()( ) ( )P ABP A P B需证需证P(A- -AB) =P(A)- -P(A)P(B)独立的问题有很多：射击、投篮、有放回地抽取独立的问题有很多：射击、投篮、有放回地抽取2021年年7月月

46、12日日自考概率论课件第一章事件及其概率自考概率论课件第一章事件及其概率55(2) (2) n 个事件的独立性个事件的独立性则称则称事件事件A1 ,A2 ,An 互相独立互相独立. 定义定义 对于事件对于事件A1 ,A2 ,An ,若满足若满足: : P(AiAj)=P(Ai)P(Aj) (1ij n) P(AiAjAk)=P(Ai)P(Aj)P(Ak) (1ij kn) P(A1A2 An)=P(A1)P(A2)P(An)（1 1）它们及它们的对立事件中任意一部分也是互相独立）它们及它们的对立事件中任意一部分也是互相独立. .（2 2）注注 若事件若事件A A1 1 ,A,A2 2 ,A ,

47、An 互相独立，则互相独立，则121()1(.)nniiPAP A AA 121() (). ()nP A P AP A 两两独立两两独立. .2021年年7月月12日日自考概率论课件第一章事件及其概率自考概率论课件第一章事件及其概率56甲乙丙三人独立地破译密码，他们能破译出密码甲乙丙三人独立地破译密码，他们能破译出密码的概率分别为的概率分别为0.45,0.55,0.6.求密码被破译的概率求密码被破译的概率.例例1 1-33-33则则A+B+C表示表示“密码被破译密码被破译”. 这就从概率的计算上证实了三个并不聪明的这就从概率的计算上证实了三个并不聪明的“臭皮匠臭皮匠”居然能解出居然能解出90

48、%90%以上的问题，聪明的诸葛亮也不过如此以上的问题，聪明的诸葛亮也不过如此. . “三三个臭皮匠，顶一个诸葛亮个臭皮匠，顶一个诸葛亮”，这是对人多办法多，人多智慧，这是对人多办法多，人多智慧高的一种赞誉高的一种赞誉.P(A+B+C) = 解：解：用用 A，B，C分别分别 表示表示“甲、乙、丙破译出密码甲、乙、丙破译出密码”.1( ) ( ) ( )P A P B P C且且A，B，C相互独立相互独立.= 1- - (1- - 0.45) (1- - 0.55) (1- - 0.60) = 0.9012021年年7月月12日日自考概率论课件第一章事件及其概率自考概率论课件第一章事件及其概率57

49、解：设解：设A“甲投中甲投中”，B“乙投中乙投中”，C“丙投中丙投中”. 例（补）例（补）甲、乙、丙三人各投篮一次甲、乙、丙三人各投篮一次, ,他们投中的概率他们投中的概率分别为分别为 0.7 0.7,0.8,0.75, ,0.8,0.75, 求：（求：（1 1）三人中恰好有一人投中的概率；）三人中恰好有一人投中的概率；（2 2）三人都投中的概率；（）三人都投中的概率；（3 3）三人中至少有一人投中的概）三人中至少有一人投中的概 . .ABC“三人都投中三人都投中” ；A+B+C“三人至少有一人投中三人至少有一人投中”.(2) P(ABC)=P(A)P(B)P(C)“三人恰有一人投中三人恰有一

50、人投中”；=0.7 0.2 0.25+0.3 0.8 0.25+0.3 0.2 0.75=0.14ABCABCABC(1)()P ABCABCABC()()()P ABCP ABCP ABC( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )P A P B P CP A P B P CP A P B P C=0.7 0.8 0.75=0.42(3) P(A+B+C)=1- -( ) ( ) ( )P A P B P C=1-0.3 0.2 0.25=0.985A、B、C 独立独立.2021年年7月月12日日自考概率论课件第一章事件及其概率自考概率论课件第一章事件及其概率58独立性

51、独立性: :是相对于概率而言的是相对于概率而言的, ,指两事件发生的可能性互不影响指两事件发生的可能性互不影响. .互不相容互不相容: : 是两个事件不可能同时发生，即没有公共的样本点，是两个事件不可能同时发生，即没有公共的样本点， 仅就事件的结构而言的，并不涉及到事件的概率仅就事件的结构而言的，并不涉及到事件的概率. .事件独立事件独立与与事件互不相容事件互不相容的区别的区别P(A+B)=P(A)+P(B)- -P(AB)A,B互斥互斥P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A)P(B|A)A,B独立独立P(AB) = P(A) P(B) 对对照照区区别别使使用用. .2021年年7

52、月月12日日自考概率论课件第一章事件及其概率自考概率论课件第一章事件及其概率59解：解：(1)当当事件事件A与与B 互不相容时，互不相容时，例例(P22 1.)已知已知 P(A+B)=0.7, P(A)=0.4,在下列两种情况下，在下列两种情况下，求求 P(B). (1)当事件当事件A与与B互不相容时；互不相容时；(2)当事件当事件A与与B独立时独立时. (2)当当事件事件A与与B独立时，则独立时，则P(AB) = P(A)P(B)= 0.4 P(B) P(A+B)=P(A)+P(B)- -P(AB) 0.7=0.4+P(B)-0.4P(B) 故故 P(B)=0.7- -0.4=0.3P(B)

53、=0.5 .P(A+B)=P(A)+P(B)2021年年7月月12日日自考概率论课件第一章事件及其概率自考概率论课件第一章事件及其概率60事件的独立事件的独立与与互不相容互不相容的联系：的联系： 设两事件设两事件A、B满足：满足：0P(A)1, 0P(B)0.说明事件说明事件A与与B能同时发生，即能同时发生，即A、B相容相容.等价命题：若等价命题：若A与与B不相容，则不相容，则A、B必不独立必不独立.（不相容必不独立）（不相容必不独立）2021年年7月月12日日自考概率论课件第一章事件及其概率自考概率论课件第一章事件及其概率61二、二、Bernoulli 概型概型若试验若试验 E 的的样本空间

54、样本空间 = A , A ,则称则称E为为贝努里试验贝努里试验 .将试验将试验E独立重复进行独立重复进行n次，称为次，称为n重重Bernoulli试验试验.且在且在n重重Bernoulli试验中，试验中，P(A)=p保持不变保持不变.问题：在问题：在n重贝努里试验中重贝努里试验中,事件事件A发生发生k次的概率次的概率(0 k n)？引例：一批产品的废品率为引例：一批产品的废品率为0.1,每次取一个每次取一个,观察后放回观察后放回,下一次再取下一次再取一个一个,共重复取三次共重复取三次,求下列事件的概率求下列事件的概率: (1)三次都没有取到废品的概三次都没有取到废品的概率；率；(2)三次恰有一

55、次取到废品的概率；三次恰有一次取到废品的概率；(3)三次恰有两次取到废品三次恰有两次取到废品的概率；的概率；(4)三次都取废品的概率三次都取废品的概率.解：解：Ai表示三次中恰有表示三次中恰有i次取到废品（次取到废品（i= =0，1，2，3）（1）P(A0)=P(正，正，正正，正，正)= 0.93 =30039 . 01 . 0C2021年年7月月12日日自考概率论课件第一章事件及其概率自考概率论课件第一章事件及其概率62 （2）A1=(废，正，正废，正，正)+(正，废，正正，废，正)+(正，正，废正，正，废)P(A1)=P(废，正，正废，正，正)+P(正，废，正正，废，正)+P(正，正，废正

56、，正，废)1230.1 0.9C引例：一批产品的废品率为引例：一批产品的废品率为0.1,每次取一个每次取一个,观察后放回观察后放回,下一次再取下一次再取一个一个,共重复取三次共重复取三次,求下列事件的概率求下列事件的概率: (1)三次都没有取到废品的概三次都没有取到废品的概率；率；(2)三次恰有一次取到废品的概率；三次恰有一次取到废品的概率；(3)三次恰有两次取到废品三次恰有两次取到废品的概率；的概率；(4)三次都取废品的概率三次都取废品的概率.= 0.10.90.9 + 0.90.10.9 + 0.90.9 0.1(3)P(A2)= P(废，废，正废，废，正) + P(废，正，废废，正，废)

57、 + P(正，废，废正，废，废)= 0.10.10.9 + 0.10.90.1 + 0.90.1 0.12230.10.9C（4）P(A3)=P(废，废，废废，废，废)33030.10.9C= 0.13 一般地，有如下定理：一般地，有如下定理：2021年年7月月12日日自考概率论课件第一章事件及其概率自考概率论课件第一章事件及其概率63 定理定理1-1 设设P(A)=p，则在则在n重贝努里试验中事件重贝努里试验中事件A恰好恰好发生发生k次的概率为：次的概率为： ( )kkn knnP kC p q(其中其中q=1-p,k=0,1,n)注：注：A至少发生一次的概率为：至少发生一次的概率为：0001nnC p q1nq 例例1-35 一射手对目标独立射击一射手对目标独立射击4次，每次射击命中率为次，每次射击命中率为0.8，求求: (1)恰好命中两次的概率；恰好命中两次的概率；(2)至少命中一次的概率至少命中一次的概率.解：设解：设A“命中命中”,则则P(A)=0.8，n=4.(1)224 244(2)0.8 0.2PC=0.1536(2)所求概率所求概率p=4444(1)(2)(3)(4)PPPP41(0)P 4