简支梁在移动载荷作用下的最大剪力和最大弯矩

1、第 1 期 (总第 102 期)1999 年 3 月山 西 机 械sha n x i m a ch in er yn o 11m a r1简支梁在移动载荷作用下的最大剪力和最大弯矩李英华1)摘要应用剪力图、弯矩图和代数二次函数极值的知识, 对简支梁受移动载荷作用时的最大剪力和最大弯矩的计算方法进行了论证。关键词: 材料力学 剪应力 弯矩中国图书资料分类号: tb 301载荷平面弯曲的内力计算是材料力学非常重要的一部分内容。 计算梁横截面的剪力 和弯矩时, 梁上载荷的位置都假设是固定的, 这在很多情况下是不符合实际的。 例如: 载 重卡车或火车过桥、 桥式起重机或龙门起重 机的起重小车在横梁上运

2、动, 就是典型的移 动载荷的例子, 它们通过等距离的轮子传递 着载荷。 当载荷移动着经过梁时, 梁每一横 截面上的剪力和弯矩的大小将发生变化。 那 么, 梁的最大剪力和最大弯矩的数值是多少, 移动载荷运行到梁上什么位置会产生最大剪件下, 将载荷向右或向左任一方向移动, 把两边的载荷轮换放到支座上计算反力大小,最大支座反力即为简支梁截面的最大剪力,而此时移动载荷在梁上的位置即是产生最大 剪力的位置。2最大弯矩由弯矩图可知, 简支梁在集中载荷作用下的最大弯矩发生在集中载荷作用的载面。只需计算出每一个载荷下的最大弯矩值, 即可找到简支梁的最大弯矩。 但由于载荷是移 动的, 载荷作用截面的弯矩在发生变

3、化, 下 面以简支梁上承受三个距离不变的移动载荷 为例进行论证。简支梁上的移动载荷见图 1。力和最大弯矩,上的情况较多,作一叙述。1最大剪力由于移动载荷作用在简支梁下面仅对简支梁的上述问题由于简支梁的截面最大剪力等于最大支座反力。 因此, 要确定最大剪力, 只需求出 最大支座反力即可。 但反力的大小是随载荷 在梁上移动而发生变化的, 为确定支座反力, 必须考虑载荷的不同位置。 我们知道, 当载 荷作用在支座上时, 支座反力最大。 对于移 动载荷, 在保证载荷间的距离不能改变的条图 1 简支梁上的移动载荷f 为其合力。支座反力r a =f 2 到梁中点的距离 d 1 为f (l - x - l)

4、l l - l- s 1l ,(x + s 1 ) = 2 -d 1 = 2 -lf (x + l)2l- s 1。r b =s 1 =,l2211f 1 作用截面的弯矩考虑 f 1 左边梁的截面, 其弯矩为f 到梁中点的距离 d 2 为l - l- s 1l l d 2 = ( l+ x )-=l +-=222 (l - x - l)m 1 = r a ·x = ff x = -·l- s 1。ll2即当 f 2 作用截面处有最大弯矩时, f 2和 f 到梁中点的距离相等。(l - l)x 。x 2 + f(1)l由于l 、f、 l 是常数, 所以, 这是一个二次函数。由

5、代数二次函数可知, y = a x 2 + bx作用截面的弯矩213f 3b 处,+ c 中,大值。若 a < 0,则在 x = -函数有极考虑 f 3右边梁的截面, 其弯矩为2a (x + l)fm 3 = r b (l -x - s 1 - s 2 ) =·lf < 0, 所以m 1在式 (1) 中, 因为 a = -有极大值存在, 且此时()经化简得:l -x -s 1 - s 2 ,lff m 3 = -x 2 +(l - l-s 1 - s 2 ) x +lls 1 -f(l -l)= l -x = -b = -ll ,f l合力 f(l -s 2 )。(3)f

6、 < 0, 所以,2a2 f2l-l在式 (3) 中,m 3 有极大值存在,因为 a = -且此时l= l -l + l= l +l。l到 r a 的距离为 x +22很明显, 当 f 1 作用截面处存在有最大弯矩时, 梁的中点在载荷 f 1 和所有载荷的合力f 中间, 即 f 1 和 f 到梁中点的距离相等。f(l -l-2 )ss1blx =-= -=2af-2 lf 2 作用截面的弯矩考虑 f 2 左边梁的截面,212l - l- s 1 -s 2。其弯矩为-f 1 · s 12f 3 到梁中点的距离 d 3 为( xs 1 )l)m 2 = r a+=l l - l-

7、s 1 - s 2f (l - x -d 3 =x + s 1 + s 2 -=+(x + s1 )-1 ,f s221ll s 1 + s 2 - l 。经化简得:m 2 = -s 1 + s 2 -=22f x 2 +ff 到梁中点的距离 d 4 为(l -s 1 )l-x +lll - l- s 1 - s 2l l f l )。d 4 =2 -x - l=2 -s 1 (f - f 1 -(2)2ls 1 + s 2 - lf < 0,l=在式 (2) 中,因为 a = -所以,2l即当 f 3 作用截面存在最大弯矩时, f 3 和 f到梁中点的距离相等。由以上论证可得, 当载荷

8、作用处产生最 大弯矩时, 梁的中点到该载荷和所有载荷的 合力的距离相等。尽管只考虑了三个载荷, 但b =m 2 有极大值存在,且此时 x = -2af(l - l- s 1 )= l -l-ls 1。-22 f-l© 1994-2013 china academic journal electronic publishing house. all rights reserved. ki.ne引出的结论是普遍的, 并能应用于任何多个的移动载荷中。该定理可叙述如下: 在一组移动的集中 载荷的任一载荷下产生最大弯矩时, 该载荷 到梁中点的距离等于所有载荷的合力到梁中 点的距离。计算梁的最大

9、弯矩时, 应将每一个移动 载荷放置在产生最大弯矩的位置上来确定最 大弯矩, 所求出数值中的最大值, 即为整个 梁的最大弯矩。3应用举例已知: f 1 = 40kn , f 2 = 20kn , 两个载荷 间隔为 3m , 滚过 10m 长的梁, 产生最大剪力 和弯矩时载荷的位置见图 2。试求: 最大剪力, 最大弯矩。311求最大剪力最大弯矩位置, 此时, 梁中点到 f 和 f 2 的距离均为 1m 。由m b = 0,r a ×10+支座反力:-a40×7+ 20×4= 0, 得 r a = 36kn 。f 2 作用截面的最大弯矩 (kn ·m ) :m

10、 2 = 36×6- 40×3= 96。由 于 m 1 > m 2 , 故 梁 的 最 大 弯 矩 m m ax =12115kn ·m , 载荷作用位置如图 2 (c) 所示。图 2 (a) 为 f 1 作用在a 支座上, a支座反力具有最大值, 此时a 支座反力 (kn ) 为7×20= 54。r a = 40+10图 2 (b ) 为 f 2 作用在b 支座上, b 支座反力具有最大值, 此时b 支座反力 (kn ) 为7×40= 48。由于 r a > r b ,因r b = 20+10此,梁的最大剪力q m ax = 54

11、kn ,载荷作用位置见图 2(a)所示。312求最大弯矩求合力位置: 设合力到 f 1 作用点距离为则:f 2 ×3- f ·l= 0l,l= f 2 ×3= 20×3= 1(m )60f图 2 (c) 为移动载荷在 f 1 作用截面产生最大弯矩位置, 此时, 梁中点到 f 1 和 f 的距 离均为 l2, 即 015m 。由m b = 0,r a ×10a 处支座反力:-+ 40×415+ 20×215= 0, 得: r a = 27kn 。f 1 作用截面的最大弯矩 (kn ·m ) :m 1 = 217

12、15;415= 12115。图 2 (d) 为移动载荷在 f 2 作用截面产生图 2 产生最大剪力和弯矩时载荷的位置( 收稿日期: 1998210230; 英文摘要见第 23 页)3 结论本算法从原理上提高了解题精度, 降低 了计算机时。 当问题的边界条件可用不多几个付立叶项表示时, 这种算法较三维算法有 较多的优点, 否则情况就不同了。 实际工程 中的拉、 弯、 扭问题用本算法是非常好的。参 考 文 献r izzo f j 1a n in teg ra l equa t io n app ro ach to1bo unda ryva lauep ro b lemo fc la ssica l

13、e la sto sta t ic s1q ua r te r ly o f a pp l m a th ,19671252 r b p e te r so n1 设计中的应力集中系数 1 刘纯仆译 1 北京: 机械工业出版社, 1965131 953 于 军 1 用边界元法进行受弯回转体形状优化 设计 1 硕士论文1 太原: 太原工业大学, 1990( 收稿日期: 1998208220)图 4 减速器轴分多钟 cp u , 优化完毕约 25 分钟 cp u。shape o p t im iza t ion an d cad of a x isymm e tr icbod ie s un de

14、r ben d in g by m ean s ofboun dary e lem en t m e thod (bem )y u y on gq in g y u jun sh i d af ua bstrac t:3 -1 -d bo unda ry in teg ra l equa t io n fo r ax isymm e t r ic bo dy can be reduced tod in po la rcoo rd ina te s1t h is is benef ic ia l to cu t t ing dow n th e co st o f eng inee r ing

15、ca lcu la t io n1t h e b em fo rm u la t io n and num e r ica l im p lem e ta t io n fo r th e e la st ic st re ss ana ly sis o f an ax isymm e t r ic bo dy sub jec ted to bend ing a re g iven 1key words: bem stre ss ana ly s is ben d in g o p t im iza t ion d e s ign a x isymm e tr ic bod ie s(上接第

16、19 页)the m ax im um shear force an d them ax im um ben d in g m om en t of freebeam un der the fun c t ion of m ov in g l oadl i y in ghuaa bstrac t: b y m ak ing u se o f th e k now ledge o f sh ea r fo rce cu rve, bend ing m om en t cu rve, a lgeb ra, quad ra t icfunc t io n and ex t rem e va lue, th is a r t ic le m ak e s a d iscu ssio n o n ca lcu la t ing th e m ax im um sh ea r fo rce and th e m ax